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Theorem estrccatid 18119
Description: Lemma for estrccat 18120. (Contributed by AV, 8-Mar-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
estrccat.c 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
estrccatid (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem estrccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 estrccat.c . . 3 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
2 id 22 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
31, 2estrcbas 18112 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
4 eqidd 2726 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
5 eqidd 2726 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
61fvexi 6905 . . 3 𝐢 ∈ V
76a1i 11 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
8 biid 260 . 2 (((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) ↔ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))))
9 f1oi 6871 . . . 4 ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)):(Baseβ€˜π‘₯)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘₯)
10 f1of 6833 . . . 4 (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)):(Baseβ€˜π‘₯)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘₯) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)):(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘₯))
119, 10mp1i 13 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)):(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘₯))
12 simpl 481 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
13 eqid 2725 . . . 4 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
14 simpr 483 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
15 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
161, 12, 13, 14, 14, 15, 15elestrchom 18115 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↔ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)):(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘₯)))
1711, 16mpbird 256 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
18 simpl 481 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
19 eqid 2725 . . . 4 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
20 simpr1l 1227 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
21 simpr1r 1228 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
22 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
23 simpr31 1260 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
241, 18, 13, 20, 21, 22, 15elestrchom 18115 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↔ 𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯)))
2523, 24mpbid 231 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯))
269, 10mp1i 13 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)):(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘₯))
271, 18, 19, 20, 21, 21, 22, 15, 15, 25, 26estrcco 18117 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓))
28 fcoi2 6766 . . . 4 (𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)
2925, 28syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)
3027, 29eqtrd 2765 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = 𝑓)
31 simpr2l 1229 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
32 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘¦) = (Baseβ€˜π‘¦)
33 simpr32 1261 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
341, 18, 13, 21, 31, 15, 32elestrchom 18115 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
3533, 34mpbid 231 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
361, 18, 19, 21, 21, 31, 15, 15, 32, 26, 35estrcco 18117 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = (𝑔 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))))
37 fcoi1 6765 . . . 4 (𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦) β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
3835, 37syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
3936, 38eqtrd 2765 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
401, 18, 19, 20, 21, 31, 22, 15, 32, 25, 35estrcco 18117 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
41 fco 6741 . . . . 5 ((𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓):(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
4235, 25, 41syl2anc 582 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓):(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
431, 18, 13, 20, 31, 22, 32elestrchom 18115 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ (𝑔 ∘ 𝑓):(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
4442, 43mpbird 256 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4540, 44eqeltrd 2825 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦))
46 coass 6264 . . . 4 ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓))
47 simpr2r 1230 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
48 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘§) = (Baseβ€˜π‘§)
49 simpr33 1262 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
501, 18, 13, 31, 47, 32, 48elestrchom 18115 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ↔ β„Ž:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
5149, 50mpbid 231 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ β„Ž:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
52 fco 6741 . . . . . 6 ((β„Ž:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§) ∧ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔):(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘§))
5351, 35, 52syl2anc 582 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔):(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘§))
541, 18, 19, 20, 21, 47, 22, 15, 48, 25, 53estrcco 18117 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓))
551, 18, 19, 20, 31, 47, 22, 32, 48, 42, 51estrcco 18117 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓)))
5646, 54, 553eqtr4a 2791 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
571, 18, 19, 21, 31, 47, 15, 32, 48, 35, 51estrcco 18117 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔) = (β„Ž ∘ 𝑔))
5857oveq1d 7430 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓))
5940oveq2d 7431 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
6056, 58, 593eqtr4d 2775 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)))
613, 4, 5, 7, 8, 17, 30, 39, 45, 60iscatd2 17658 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  Hom chom 17241  compcco 17242  Catccat 17641  Idccid 17642  ExtStrCatcestrc 18109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-hom 17254  df-cco 17255  df-cat 17645  df-cid 17646  df-estrc 18110
This theorem is referenced by:  estrccat  18120  estrcid  18121
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