MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem3 16501
Description: Lemma for prmgap 16507. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
prmgaplem3.a 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}
Assertion
Ref Expression
prmgaplem3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3979 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ)
3 prmssnn 16129 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
4 nnssre 11732 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3896 . . . 4 ℙ ⊆ ℝ
62, 5sstrdi 3899 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ)
7 fzofi 13445 . . . 4 (0..^𝑁) ∈ Fin
8 breq1 5043 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 < 𝑁𝑖 < 𝑁))
98elrab 3593 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁))
10 prmnn 16127 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 12048 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ0)
1211ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
13 eluzge3nn 12384 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
1413adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 < 𝑁)
16 elfzo0 13181 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
1712, 14, 15, 16syl3anbrc 1344 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
1817ex 416 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
199, 18syl5bi 245 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
2019ssrdv 3893 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁))
21 ssfi 8784 . . . 4 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
227, 20, 21sylancr 590 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
23 breq1 5043 . . . . 5 (𝑝 = 2 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 2 < 𝑁))
24 2prm 16145 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
2524a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℙ)
26 eluz2 12342 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
27 df-3 11792 . . . . . . . . . 10 3 = (2 + 1)
2827breq1i 5047 . . . . . . . . 9 (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁)
29 2z 12107 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
30 zltp1le 12125 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
3129, 30mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
3231biimprd 251 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
3328, 32syl5bi 245 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
3433imp 410 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
35343adant1 1131 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
3626, 35sylbi 220 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 < 𝑁)
3723, 25, 36elrabd 3595 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁})
3837ne0d 4234 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)
39 prmgaplem3.a . . . 4 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}
40 sseq1 3912 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ))
41 eleq1 2821 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin))
42 neeq1 2997 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
4340, 41, 423anbi123d 1437 . . . 4 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)))
4439, 43ax-mp 5 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
456, 22, 38, 44syl3anbrc 1344 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
46 fimaxre 11674 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4745, 46syl 17 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  wss 3853  c0 4221   class class class wbr 5040  cfv 6349  (class class class)co 7182  Fincfn 8567  cr 10626  0cc0 10627  1c1 10628   + caddc 10630   < clt 10765  cle 10766  cn 11728  2c2 11783  3c3 11784  0cn0 11988  cz 12074  cuz 12336  ..^cfzo 13136  cprime 16124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-sup 8991  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-rp 12485  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-seq 13473  df-exp 13534  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-dvds 15712  df-prm 16125
This theorem is referenced by:  prmgaplem5  16503
  Copyright terms: Public domain W3C validator