Theorem prmgaplem3 17116

Description: Lemma for prmgap 17122. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem3.a	⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4042	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ)
3		prmssnn 16737	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4		nnssre 12240	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3954	. . . 4 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3957	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ)
7		fzofi 14013	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
8		breq1 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 𝑖 < 𝑁))
9	8	elrab 3658	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁))
10		prmnn 16735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ0)
12	11	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
13		eluz3nn 12916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 < 𝑁)
16		elfzo0 13732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
17	12, 14, 15, 16	syl3anbrc 1360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
18	17	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
19	9, 18	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
20	19	ssrdv 3951	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁))
21		ssfi 9160	. . . 4 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
22	7, 20, 21	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
23		breq1 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 2 < 𝑁))
24		2prm 16753	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℙ)
26		eluz2 12871	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
27		df-3 12307	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
28	27	breq1i 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁)
29		2z 12629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
30		zltp1le 12647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
32	31	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
33	28, 32	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
34	33	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
35	34	3adant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
36	26, 35	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑁)
37	23, 25, 36	elrabd 3660	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁})
38	37	ne0d 4303	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)
39		prmgaplem3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}
40		sseq1 3970	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ))
41		eleq1 2858	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin))
42		neeq1 3027	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
43	40, 41, 42	3anbi123d 1462	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)))
44	39, 43	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
45	6, 22, 38, 44	syl3anbrc 1360	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
46		fimaxre 12162	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
47	45, 46	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ∀wral 3086  ∃wrex 3096  {crab 3423   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Fincfn 8946  ℝcr 11102  0cc0 11103  1c1 11104   + caddc 11106   < clt 11246   ≤ cle 11247  ℕcn 12236  2c2 12298  3c3 12299  ℕ₀cn0 12507  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12865  ..^cfzo 13685  ℙcprime 16732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-sup 9405  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-seq 14041  df-exp 14101  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-dvds 16314  df-prm 16733

This theorem is referenced by:  prmgaplem5  17118