MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem3 16377
Description: Lemma for prmgap 16383. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
prmgaplem3.a 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}
Assertion
Ref Expression
prmgaplem3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4053 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ)
3 prmssnn 16008 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
4 nnssre 11630 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3973 . . . 4 ℙ ⊆ ℝ
62, 5sstrdi 3976 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ)
7 fzofi 13330 . . . 4 (0..^𝑁) ∈ Fin
8 breq1 5060 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 < 𝑁𝑖 < 𝑁))
98elrab 3677 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁))
10 prmnn 16006 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 11943 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ0)
1211ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
13 eluzge3nn 12278 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 < 𝑁)
16 elfzo0 13066 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
1712, 14, 15, 16syl3anbrc 1335 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
1817ex 413 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
199, 18syl5bi 243 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
2019ssrdv 3970 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁))
21 ssfi 8726 . . . 4 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
227, 20, 21sylancr 587 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
23 breq1 5060 . . . . 5 (𝑝 = 2 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 2 < 𝑁))
24 2prm 16024 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
2524a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℙ)
26 eluz2 12237 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
27 df-3 11689 . . . . . . . . . 10 3 = (2 + 1)
2827breq1i 5064 . . . . . . . . 9 (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁)
29 2z 12002 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
30 zltp1le 12020 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
3129, 30mpan 686 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
3231biimprd 249 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
3328, 32syl5bi 243 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
3433imp 407 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
35343adant1 1122 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
3626, 35sylbi 218 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 < 𝑁)
3723, 25, 36elrabd 3679 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁})
3837ne0d 4298 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)
39 prmgaplem3.a . . . 4 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}
40 sseq1 3989 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ))
41 eleq1 2897 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin))
42 neeq1 3075 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
4340, 41, 423anbi123d 1427 . . . 4 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)))
4439, 43ax-mp 5 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
456, 22, 38, 44syl3anbrc 1335 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
46 fimaxre 11572 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4745, 46syl 17 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ..^cfzo 13021  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  prmgaplem5  16379
  Copyright terms: Public domain W3C validator