Theorem prmgaplem3 17139

Description: Lemma for prmgap 17145. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem3.a	⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑁(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4035	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ)
3		prmssnn 16760	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4		nnssre 12256	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3947	. . . 4 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3950	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ)
7		fzofi 14032	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
8		breq1 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 𝑖 < 𝑁))
9	8	elrab 3652	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁))
10		prmnn 16758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ0)
12	11	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
13		eluz3nn 12933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 < 𝑁)
16		elfzo0 13750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
17	12, 14, 15, 16	syl3anbrc 1362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
18	17	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
19	9, 18	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
20	19	ssrdv 3944	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁))
21		ssfi 9164	. . . 4 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
22	7, 20, 21	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
23		breq1 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 2 < 𝑁))
24		2prm 16776	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℙ)
26		eluz2 12888	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
27		df-3 12323	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
28	27	breq1i 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁)
29		2z 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
30		zltp1le 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
32	31	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
33	28, 32	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
34	33	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
35	34	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
36	26, 35	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑁)
37	23, 25, 36	elrabd 3654	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁})
38	37	ne0d 4295	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)
39		prmgaplem3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}
40		sseq1 3963	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ))
41		eleq1 2853	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin))
42		neeq1 3022	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
43	40, 41, 42	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)))
44	39, 43	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
45	6, 22, 38, 44	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
46		fimaxre 12178	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
47	45, 46	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  ℝcr 11118  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122   < clt 11262   ≤ cle 11263  ℕcn 12252  2c2 12314  3c3 12315  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12882  ..^cfzo 13703  ℙcprime 16755

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-seq 14060  df-exp 14120  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-dvds 16337  df-prm 16756

This theorem is used by:  prmgaplem5  17141