Theorem prmgaplem3 16682

Description: Lemma for prmgap 16688. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem3.a	⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4009	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ)
3		prmssnn 16309	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4		nnssre 11907	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3926	. . . 4 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3929	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ)
7		fzofi 13622	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
8		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 𝑖 < 𝑁))
9	8	elrab 3617	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁))
10		prmnn 16307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ0)
12	11	ad2antrl 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
13		eluzge3nn 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		simprr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 < 𝑁)
16		elfzo0 13356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
17	12, 14, 15, 16	syl3anbrc 1341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
18	17	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
19	9, 18	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
20	19	ssrdv 3923	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁))
21		ssfi 8918	. . . 4 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
22	7, 20, 21	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
23		breq1 5073	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 2 < 𝑁))
24		2prm 16325	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℙ)
26		eluz2 12517	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
27		df-3 11967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
28	27	breq1i 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁)
29		2z 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
30		zltp1le 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpan 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
32	31	biimprd 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
33	28, 32	syl5bi 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
34	33	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
35	34	3adant1 1128	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
36	26, 35	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑁)
37	23, 25, 36	elrabd 3619	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁})
38	37	ne0d 4266	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)
39		prmgaplem3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}
40		sseq1 3942	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ))
41		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin))
42		neeq1 3005	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
43	40, 41, 42	3anbi123d 1434	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)))
44	39, 43	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
45	6, 22, 38, 44	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
46		fimaxre 11849	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
47	45, 46	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ..^cfzo 13311  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  prmgaplem5  16684