Theorem prmgaplem3 17246

Description: Lemma for prmgap 17252. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem3.a	⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑁(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4008	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ)
3		prmssnn 16866	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4		nnssre 12352	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3922	. . . 4 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3925	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ)
7		fzofi 14130	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
8		breq1 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 𝑖 < 𝑁))
9	8	elrab 3648	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁))
10		prmnn 16864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ0)
12	11	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
13		eluz3nn 13029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 < 𝑁)
16		elfzo0 13848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
17	12, 14, 15, 16	syl3anbrc 1362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
18	17	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
19	9, 18	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
20	19	ssrdv 3919	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁))
21		ssfi 9202	. . . 4 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
22	7, 20, 21	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
23		breq1 5109	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 2 < 𝑁))
24		2prm 16882	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℙ)
26		eluz2 12984	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
27		df-3 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
28	27	breq1i 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁)
29		2z 12741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
30		zltp1le 12759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
32	31	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
33	28, 32	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
34	33	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
35	34	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
36	26, 35	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑁)
37	23, 25, 36	elrabd 3650	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁})
38	37	ne0d 4291	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)
39		prmgaplem3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}
40		sseq1 3938	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ))
41		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin))
42		neeq1 3021	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
43	40, 41, 42	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)))
44	39, 43	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
45	6, 22, 38, 44	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
46		fimaxre 12274	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
47	45, 46	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Fincfn 8987  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   < clt 11356   ≤ cle 11357  ℕcn 12348  2c2 12410  3c3 12411  ℕ₀cn0 12619  ℤcz 12706  ℤ_≥cuz 12978  ..^cfzo 13801  ℙcprime 16861

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-dvds 16438  df-prm 16862

This theorem is used by:  prmgaplem5  17248