MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem3 15964
Description: Lemma for prmgap 15970. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
prmgaplem3.a 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}
Assertion
Ref Expression
prmgaplem3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3836 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℙ)
3 prmssnn 15597 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
4 nnssre 11226 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3761 . . . 4 ℙ ⊆ ℝ
62, 5syl6ss 3764 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ)
7 fzofi 12981 . . . 4 (0..^𝑁) ∈ Fin
8 breq1 4789 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 < 𝑁𝑖 < 𝑁))
98elrab 3515 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁))
10 prmnn 15595 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 11553 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℕ0)
1211ad2antrl 707 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
13 eluzge3nn 11932 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
1413adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 simprr 756 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 < 𝑁)
16 elfzo0 12717 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
1712, 14, 15, 16syl3anbrc 1428 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
1817ex 397 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
199, 18syl5bi 232 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
2019ssrdv 3758 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁))
21 ssfi 8336 . . . 4 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
227, 20, 21sylancr 575 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin)
23 2prm 15612 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
2423a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℙ)
25 eluz2 11894 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
26 df-3 11282 . . . . . . . . . 10 3 = (2 + 1)
2726breq1i 4793 . . . . . . . . 9 (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁)
28 2z 11611 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
29 zltp1le 11629 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
3028, 29mpan 670 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
3130biimprd 238 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
3227, 31syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
3332imp 393 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
34333adant1 1124 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
3525, 34sylbi 207 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 < 𝑁)
36 breq1 4789 . . . . . 6 (𝑝 = 2 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 2 < 𝑁))
3736elrab 3515 . . . . 5 (2 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ↔ (2 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑁))
3824, 35, 37sylanbrc 572 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁})
39 ne0i 4069 . . . 4 (2 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)
4038, 39syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)
41 prmgaplem3.a . . . 4 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁}
42 sseq1 3775 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ))
43 eleq1 2838 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin))
44 neeq1 3005 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
4542, 43, 443anbi123d 1547 . . . 4 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅)))
4641, 45ax-mp 5 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 < 𝑁} ≠ ∅))
476, 22, 40, 46syl3anbrc 1428 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
48 fimaxre 11170 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4947, 48syl 17 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  cn 11222  2c2 11272  3c3 11273  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ..^cfzo 12673  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  prmgaplem5  15966
  Copyright terms: Public domain W3C validator