Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfc0 33491
Description: 𝐹 takes value 0 between negative and positive values. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ β„•
ballotth.n 𝑁 ∈ β„•
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((β™―β€˜π‘₯) / (β™―β€˜π‘‚)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ β„€ ↦ ((β™―β€˜((1...𝑖) ∩ 𝑐)) βˆ’ (β™―β€˜((1...𝑖) βˆ– 𝑐)))))
ballotlemfp1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑂)
ballotlemfp1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„•)
ballotlemfc0.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝐽)((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0)
ballotlemfc0.4 (πœ‘ β†’ 0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfc0 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (1...𝐽)((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹   π‘˜,𝐹   𝐢,𝑖   𝑖,𝐽   πœ‘,𝑖,π‘˜   π‘˜,𝐽   𝐢,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑐)   𝐢(π‘₯,𝑐)   𝑃(π‘₯,𝑖,π‘˜,𝑐)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯,𝑐)   𝑀(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   𝑂(π‘₯)

Proof of Theorem ballotlemfc0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜))
21breq1d 5159 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0))
32elrab 3684 . . . . 5 (π‘˜ ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ↔ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0))
43anbi1i 625 . . . 4 ((π‘˜ ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜) ↔ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜))
5 simprlr 779 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)
6 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝐽))
76adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝐽))
8 fzssuz 13542 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝐽) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
9 uzssz 12843 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„€
108, 9sstri 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝐽) βŠ† β„€
11 zssre 12565 . . . . . . . . . . . . 13 β„€ βŠ† ℝ
1210, 11sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝐽) βŠ† ℝ
1312sseli 3979 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
1413ltp1d 12144 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ π‘˜ < (π‘˜ + 1))
15 1red 11215 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ 1 ∈ ℝ)
1613, 15readdcld 11243 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
1713, 16ltnled 11361 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ (π‘˜ < (π‘˜ + 1) ↔ Β¬ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜))
1814, 17mpbid 231 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ Β¬ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜)
197, 18syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ Β¬ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜)
20 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)
21 ballotlemfc0.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐽) β†’ 0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½))
23 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐽) β†’ π‘˜ = 𝐽)
2423fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐽) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½))
2524breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐽) β†’ (0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ↔ 0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½)))
26 ballotlemfp1.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„•)
27 elnnuz 12866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐽 ∈ β„• ↔ 𝐽 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
29 eluzfz2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐽 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝐽 ∈ (1...𝐽))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (1...𝐽))
31 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝐽 β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ↔ 𝐽 ∈ (1...𝐽)))
3230, 31syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = 𝐽 β†’ π‘˜ ∈ (1...𝐽)))
3332anc2li 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = 𝐽 β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐽))))
34 1eluzge0 12876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
35 fzss1 13540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (1...𝐽) βŠ† (0...𝐽))
3635sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝐽)))
3734, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝐽))
38 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 0 ∈ ℝ)
39 ballotth.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑀 ∈ β„•
40 ballotth.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑁 ∈ β„•
41 ballotth.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑀}
42 ballotth.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑃 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((β™―β€˜π‘₯) / (β™―β€˜π‘‚)))
43 ballotth.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ β„€ ↦ ((β™―β€˜((1...𝑖) ∩ 𝑐)) βˆ’ (β™―β€˜((1...𝑖) βˆ– 𝑐)))))
44 ballotlemfp1.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑂)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑂)
46 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4746adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4839, 40, 41, 42, 43, 45, 47ballotlemfelz 33489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€)
4948zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5038, 49ltnled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0))
5137, 50sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐽)) β†’ (0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0))
5233, 51syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = 𝐽 β†’ (0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)))
5352imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐽) β†’ (0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0))
5425, 53bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐽) β†’ (0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0))
5522, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐽) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)
5655ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = 𝐽 β†’ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0))
5756con2d 134 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0 β†’ Β¬ π‘˜ = 𝐽))
58 nn1m1nn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐽 ∈ β„• β†’ (𝐽 = 1 ∨ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„•))
5926, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐽 = 1 ∨ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„•))
60 ballotlemfc0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝐽)((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝐽)((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0)
62 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 = 1 β†’ (𝐽...𝐽) = (1...𝐽))
6362adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ (𝐽...𝐽) = (1...𝐽))
6426nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
65 fzsn 13543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐽 ∈ β„€ β†’ (𝐽...𝐽) = {𝐽})
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (𝐽...𝐽) = {𝐽})
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ (𝐽...𝐽) = {𝐽})
6863, 67eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ (1...𝐽) = {𝐽})
6968rexeqdv 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝐽)((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ βˆƒπ‘– ∈ {𝐽} ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0))
7061, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ βˆƒπ‘– ∈ {𝐽} ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0)
71 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝐽 β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½))
7271breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝐽 β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ≀ 0))
7372rexsng 4679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐽 ∈ β„• β†’ (βˆƒπ‘– ∈ {𝐽} ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ≀ 0))
7426, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ {𝐽} ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ≀ 0))
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ {𝐽} ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ≀ 0))
7670, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ≀ 0)
7721adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ 0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½))
78 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
7939, 40, 41, 42, 43, 44, 64ballotlemfelz 33489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ∈ β„€)
8079zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ∈ ℝ)
8178, 80ltnled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ≀ 0))
8281adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ (0 < ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ≀ 0))
8377, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝐽 = 1) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π½) ≀ 0)
8476, 83pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐽 = 1)
85 biortn 937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Β¬ 𝐽 = 1 β†’ ((𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ (Β¬ Β¬ 𝐽 = 1 ∨ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„•)))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ (Β¬ Β¬ 𝐽 = 1 ∨ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„•)))
87 notnotb 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐽 = 1 ↔ Β¬ Β¬ 𝐽 = 1)
8887orbi1i 913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 = 1 ∨ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„•) ↔ (Β¬ Β¬ 𝐽 = 1 ∨ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„•))
8986, 88bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ (𝐽 = 1 ∨ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„•)))
9059, 89mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„•)
91 elnnuz 12866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
9290, 91sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
93 elfzp1 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (π‘˜ ∈ (1...((𝐽 βˆ’ 1) + 1)) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) ∨ π‘˜ = ((𝐽 βˆ’ 1) + 1))))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...((𝐽 βˆ’ 1) + 1)) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) ∨ π‘˜ = ((𝐽 βˆ’ 1) + 1))))
9526nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
96 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
9795, 96npcand 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝐽 βˆ’ 1) + 1) = 𝐽)
9897oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (1...((𝐽 βˆ’ 1) + 1)) = (1...𝐽))
9998eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...((𝐽 βˆ’ 1) + 1)) ↔ π‘˜ ∈ (1...𝐽)))
10097eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = ((𝐽 βˆ’ 1) + 1) ↔ π‘˜ = 𝐽))
101100orbi2d 915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) ∨ π‘˜ = ((𝐽 βˆ’ 1) + 1)) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) ∨ π‘˜ = 𝐽)))
10294, 99, 1013bitr3d 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) ∨ π‘˜ = 𝐽)))
103 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) ∨ π‘˜ = 𝐽) ↔ (π‘˜ = 𝐽 ∨ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1))))
104102, 103bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ↔ (π‘˜ = 𝐽 ∨ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)))))
105104biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ (π‘˜ = 𝐽 ∨ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)))))
106 pm5.6 1001 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐽) β†’ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1))) ↔ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ (π‘˜ = 𝐽 ∨ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)))))
107105, 106sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐽) β†’ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1))))
10890nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„€)
109 1z 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ β„€
110108, 109jctil 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (1 ∈ β„€ ∧ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„€))
111 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
112111, 109jctir 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€))
113 fzaddel 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1 ∈ β„€ ∧ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„€) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ + 1) ∈ ((1 + 1)...((𝐽 βˆ’ 1) + 1))))
114110, 112, 113syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ + 1) ∈ ((1 + 1)...((𝐽 βˆ’ 1) + 1))))
115114biimp3a 1470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ((1 + 1)...((𝐽 βˆ’ 1) + 1)))
1161153anidm23 1422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ((1 + 1)...((𝐽 βˆ’ 1) + 1)))
117 1p1e2 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 + 1) = 2
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (1 + 1) = 2)
119118, 97oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((1 + 1)...((𝐽 βˆ’ 1) + 1)) = (2...𝐽))
120119eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ + 1) ∈ ((1 + 1)...((𝐽 βˆ’ 1) + 1)) ↔ (π‘˜ + 1) ∈ (2...𝐽)))
121 2eluzge1 12878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
122 fzss1 13540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (2...𝐽) βŠ† (1...𝐽))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2...𝐽) βŠ† (1...𝐽)
124123sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ + 1) ∈ (2...𝐽) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽))
125120, 124syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ + 1) ∈ ((1 + 1)...((𝐽 βˆ’ 1) + 1)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)))
126125adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ + 1) ∈ ((1 + 1)...((𝐽 βˆ’ 1) + 1)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)))
127116, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽))
128127ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...(𝐽 βˆ’ 1)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)))
129107, 128syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐽) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)))
13057, 129sylan2d 606 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)))
131130imp 408 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽))
132131adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽))
133 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)))
134133breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (π‘˜ + 1) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0))
135134elrab 3684 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ + 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ↔ ((π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0))
136 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑗 ≀ π‘˜ ↔ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜))
137136rspccva 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜)
138135, 137sylan2br 596 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜ ∧ ((π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜)
139138expr 458 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0 β†’ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜))
140139con3d 152 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)) β†’ (Β¬ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜ β†’ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0))
14120, 132, 140syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ (Β¬ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜ β†’ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0))
14219, 141mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0)
143 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)
144132adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽))
145 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ πœ‘)
146131adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽))
14735sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ ((π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝐽)))
14834, 146, 147mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝐽))
14944adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑂)
150 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ + 1) ∈ (0...𝐽) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„€)
151150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝐽)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„€)
15239, 40, 41, 42, 43, 149, 151ballotlemfelz 33489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝐽)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„€)
153152zred 12666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝐽)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
154145, 148, 153syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
155 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ 0 ∈ ℝ)
156 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)
1576adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝐽))
158157, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝐽))
159130imdistani 570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)))
16044adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑂)
161 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
162161adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
16339, 40, 41, 42, 43, 160, 162ballotlemfp1 33490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)) β†’ ((Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) βˆ’ 1)) ∧ ((π‘˜ + 1) ∈ 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) + 1))))
164163simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)) β†’ (Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) βˆ’ 1)))
165164imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) βˆ’ 1))
166159, 165sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) βˆ’ 1))
167 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
168167zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
169 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ 1 ∈ β„‚)
170168, 169pncand 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1) = π‘˜)
171170fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) = ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜))
172171oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) βˆ’ 1) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1))
173172eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) βˆ’ 1) ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1)))
174157, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) βˆ’ 1) ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1)))
175166, 174mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1))
176 0z 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ β„€
177 zlem1lt 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0 ↔ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1) < 0))
17848, 176, 177sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0 ↔ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1) < 0))
179178adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1)) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0 ↔ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1) < 0))
180 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) < 0 ↔ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1) < 0))
181180adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1)) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) < 0 ↔ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1) < 0))
182179, 181bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) βˆ’ 1)) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0 ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) < 0))
183145, 158, 175, 182syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0 ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) < 0))
184156, 183mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) < 0)
185154, 155, 184ltled 11362 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0)
186185adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0)
187143, 144, 186, 138syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜)
18819adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ Β¬ (π‘˜ + 1) ≀ π‘˜)
189187, 188condan 817 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢)
190163simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)) β†’ ((π‘˜ + 1) ∈ 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) + 1)))
191190imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (1...𝐽)) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) + 1))
192159, 191sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) + 1))
1936adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝐽))
194171oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) + 1) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1))
195194eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...𝐽) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) + 1) ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1)))
196193, 195syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) + 1) ↔ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1)))
197192, 196mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1))
198197adantlrr 720 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1))
199189, 198mpdan 686 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1))
200 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0 ↔ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) ≀ 0))
201200notbid 318 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0 ↔ Β¬ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) ≀ 0))
202199, 201syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 0 ↔ Β¬ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) ≀ 0))
203142, 202mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ Β¬ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) ≀ 0)
2046, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝐽))
205204, 48syldan 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€)
206205adantrr 716 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€)
207 zleltp1 12613 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„€ ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ↔ 0 < (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1)))
208176, 207mpan 689 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€ β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ↔ 0 < (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1)))
209 0red 11217 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€ β†’ 0 ∈ ℝ)
210 zre 12562 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€ β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
211 1red 11215 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€ β†’ 1 ∈ ℝ)
212210, 211readdcld 11243 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€ β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
213209, 212ltnled 11361 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€ β†’ (0 < (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) ↔ Β¬ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) ≀ 0))
214208, 213bitrd 279 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ β„€ β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ↔ Β¬ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) ≀ 0))
215206, 214syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ↔ Β¬ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) + 1) ≀ 0))
216203, 215mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜))
217206zred 12666 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
218 0red 11217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ 0 ∈ ℝ)
219217, 218letri3d 11356 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = 0 ↔ (((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜))))
2205, 216, 219mpbir2and 712 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) ≀ 0) ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = 0)
2214, 220sylan2b 595 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ∧ βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = 0)
222 ssrab2 4078 . . . . . 6 {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} βŠ† (1...𝐽)
223222, 12sstri 3992 . . . . 5 {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} βŠ† ℝ
224223a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} βŠ† ℝ)
225 fzfi 13937 . . . . . 6 (1...𝐽) ∈ Fin
226 ssfi 9173 . . . . . 6 (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} βŠ† (1...𝐽)) β†’ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ∈ Fin)
227225, 222, 226mp2an 691 . . . . 5 {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ∈ Fin
228227a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ∈ Fin)
229 rabn0 4386 . . . . 5 ({𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝐽)((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0)
23060, 229sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} β‰  βˆ…)
231 fimaxre 12158 . . . 4 (({𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} βŠ† ℝ ∧ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)
232224, 228, 230, 231syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}βˆ€π‘— ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0}𝑗 ≀ π‘˜)
233221, 232reximddv 3172 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = 0)
234 elrabi 3678 . . . 4 (π‘˜ ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} β†’ π‘˜ ∈ (1...𝐽))
235234anim1i 616 . . 3 ((π‘˜ ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = 0) β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝐽) ∧ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = 0))
236235reximi2 3080 . 2 (βˆƒπ‘˜ ∈ {𝑖 ∈ (1...𝐽) ∣ ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘–) ≀ 0} ((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = 0 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (1...𝐽)((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = 0)
237233, 236syl 17 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (1...𝐽)((πΉβ€˜πΆ)β€˜π‘˜) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β™―chash 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291
This theorem is referenced by:  ballotlem5  33498  ballotlemic  33505
  Copyright terms: Public domain W3C validator