Theorem 0ram2 16722

Description: The Ramsey number when 𝑀 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0ram2	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))

Proof of Theorem 0ram2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6607	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
2	1	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
3		nn0ssz 12341	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
4	2, 3	sstrdi 3933	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℤ)
5		nn0ssre 12237	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3933	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
7		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
8		ffn 6600	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → 𝐹 Fn 𝑅)
9	8	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝐹 Fn 𝑅)
10		dffn4 6694	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑅 ↔ 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
11	9, 10	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
12		fofi 9105	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
13	7, 11, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ∈ Fin)
14		fdm 6609	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑅)
15	14	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 = 𝑅)
16		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ≠ ∅)
17	15, 16	eqnetrd 3011	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 ≠ ∅)
18		dm0rn0 5834	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
19	18	necon3bii 2996	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
20	17, 19	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ≠ ∅)
21		fimaxre 11919	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
22	6, 13, 20, 21	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
23		ssrexv 3988	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥))
24	4, 22, 23	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
25		0ram 16721	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
26	24, 25	mpdan 684	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –onto→wfo 6431  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  supcsup 9199  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319   Ramsey cram 16700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-ram 16702

This theorem is referenced by:  0ramcl  16724