Theorem 0ram2 17076

Description: The Ramsey number when 𝑀 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0ram2	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))

Proof of Theorem 0ram2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6713	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
2	1	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
3		nn0ssz 12609	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
4	2, 3	sstrdi 3949	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℤ)
5		nn0ssre 12503	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3949	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
7		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
8		ffn 6705	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → 𝐹 Fn 𝑅)
9	8	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝐹 Fn 𝑅)
10		dffn4 6798	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑅 ↔ 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
11	9, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
12		fofi 9269	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
13	7, 11, 12	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ∈ Fin)
14		fdm 6715	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑅)
15	14	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 = 𝑅)
16		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ≠ ∅)
17	15, 16	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 ≠ ∅)
18		dm0rn0 5914	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
19	18	necon3bii 3010	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
20	17, 19	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ≠ ∅)
21		fimaxre 12154	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
22	6, 13, 20, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
23		ssrexv 4007	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥))
24	4, 22, 23	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
25		0ram 17075	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
26	24, 25	mpdan 699	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  supcsup 9396  ℝcr 11094  0cc0 11095   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586   Ramsey cram 17054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363  df-ram 17056

This theorem is referenced by:  0ramcl  17078