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Theorem filbcmb 37748
Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
filbcmb ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem filbcmb
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11247 . . . . 5 ℝ ∈ V
21ssex 5320 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
3 indexfi 9401 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)))
433expia 1121 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
52, 4sylan2 593 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
653adant2 1131 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
7 r19.2z 4494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
8 rexn0 4510 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
98rexlimivw 3150 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → 𝑤 ≠ ∅)
1110ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
12113ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
1312ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
14 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝑤 ⊆ ℝ)
1514ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) → 𝑤 ⊆ ℝ)
16 fimaxre 12213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦)
17163expia 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
1815, 17sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
1918anasss 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑤 ∈ Fin)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2019ancom2s 650 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
21203ad2antl3 1187 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2221anassrs 467 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2313, 22syld 47 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2423a1dd 50 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦)))
2524ex 412 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))))
26253impd 1348 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
27 nfv 1913 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵)
28 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴
29 nfre1 3284 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3028, 29nfralw 3310 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3127, 30nfan 1898 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
32 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵)
33 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝐴
34 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑤
35 nfra1 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3634, 35nfrexw 3312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3733, 36nfralw 3310 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3832, 37nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
39 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧(𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)
4038, 39nfan 1898 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧(((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦))
41 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦𝑧𝑣𝑧))
4241imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑦𝑧𝜑) ↔ (𝑣𝑧𝜑)))
4342ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑣 → (∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑)))
4443cbvrexvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ↔ ∃𝑣𝑤𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑))
45 rsp 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → (𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)))
46 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤𝐵𝑣𝑤) → 𝑣𝐵)
47 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
4846, 47sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑣𝑤)) → 𝑣 ∈ ℝ)
4948anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
5049adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
5150adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
52 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤𝐵𝑦𝑤) → 𝑦𝐵)
53 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
5452, 53sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑦𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5554anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
5655adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5756ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
58 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
5958adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
6059ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
62 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢𝑦𝑣𝑦))
6362rspccva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑢𝑤 𝑢𝑦𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6463adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6564adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6665adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
67 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑦𝑧)
6851, 57, 61, 66, 67letrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑧)
69 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧𝐵 → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝐵𝑦𝑧) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7170ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7268, 71mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → 𝜑))
7345, 72syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7473adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑣𝑤) → (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7574rexlimdva 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑣𝑤𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7644, 75biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝜑))
7776ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∀𝑥𝐴 𝜑))
7877imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∀𝑥𝐴 𝜑)
7978an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → ∀𝑥𝐴 𝜑)
8079exp32 420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (𝑧𝐵 → (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8180an32s 652 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → (𝑧𝐵 → (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8240, 81ralrimi 3256 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → ∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))
8382exp32 420 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (𝑦𝑤 → (∀𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
8431, 83reximdai 3260 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8584adantrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
86 ssrexv 4052 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐵 → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8786ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8885, 87syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8988exp43 436 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑤𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))))
90893impd 1348 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
91903ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
9291adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
9326, 92mpdd 43 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
9493rexlimdva 3154 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
956, 94syld 47 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  c0 4332   class class class wbr 5142  Fincfn 8986  cr 11155  cle 11297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302
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