Theorem filbcmb 38061

Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
filbcmb	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem filbcmb

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11129	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	ssex 5262	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
3		indexfi 9270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
4	3	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
5	2, 4	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
6	5	3adant2 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
7		r19.2z 4439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
8		rexn0 4436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
9	8	rexlimivw 3134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → 𝑤 ≠ ∅)
11	10	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
12	11	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
13	12	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
14		sstr 3930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝑤 ⊆ ℝ)
15	14	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → 𝑤 ⊆ ℝ)
16		fimaxre 12100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)
17	16	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
18	15, 17	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
19	18	anasss 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ Fin)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
20	19	ancom2s 651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
21	20	3ad2antl3 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
22	21	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
23	13, 22	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
24	23	a1dd 50	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)))
25	24	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))))
26	25	3impd 1350	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
27		nfv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)
28		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
29		nfre1 3262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
30	28, 29	nfralw 3284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
31	27, 30	nfan 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
32		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)
33		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
34		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧𝑤
35		nfra1 3261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
36	34, 35	nfrexw 3285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
37	33, 36	nfralw 3284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
38	32, 37	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
39		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)
40	38, 39	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
41		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑣 ≤ 𝑧))
42	41	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
43	42	ralbidv 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
44	43	cbvrexvw 3216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑))
45		rsp 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
46		ssel2 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ 𝐵)
47		ssel2 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤)) → 𝑣 ∈ ℝ)
49	48	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
50	49	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
51	50	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
52		ssel2 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝐵)
53		ssel2 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	52, 53	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
55	54	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
56	55	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
57	56	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
58		ssel2 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
59	58	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
60	59	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
62		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 ≤ 𝑦 ↔ 𝑣 ≤ 𝑦))
63	62	rspccva 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
64	63	adantll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
65	64	adantll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
66	65	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
67		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≤ 𝑧)
68	51, 57, 61, 66, 67	letrd 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑧)
69		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
71	70	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
72	68, 71	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑))
73	45, 72	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
74	73	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
75	74	rexlimdva 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
76	44, 75	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
77	76	ralimdva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
78	77	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
79	78	an32s 653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
80	79	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
81	80	an32s 653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
82	40, 81	ralrimi 3235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
83	82	exp32 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑦 ∈ 𝑤 → (∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
84	31, 83	reximdai 3239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
85	84	adantrr 718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
86		ssrexv 3991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
87	86	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
88	85, 87	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
89	88	exp43 436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))))
90	89	3impd 1350	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
91	90	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
92	91	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
93	26, 92	mpdd 43	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
94	93	rexlimdva 3138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
95	6, 94	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  Fincfn 8893  ℝcr 11037   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by: (None)