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Theorem filbcmb 36199
Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
filbcmb ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem filbcmb
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11142 . . . . 5 ℝ ∈ V
21ssex 5278 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
3 indexfi 9304 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)))
433expia 1121 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
52, 4sylan2 593 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
653adant2 1131 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
7 r19.2z 4452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
8 rexn0 4468 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
98rexlimivw 3148 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → 𝑤 ≠ ∅)
1110ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
12113ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
1312ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
14 sstr 3952 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝑤 ⊆ ℝ)
1514ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) → 𝑤 ⊆ ℝ)
16 fimaxre 12099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦)
17163expia 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
1815, 17sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
1918anasss 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑤 ∈ Fin)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2019ancom2s 648 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
21203ad2antl3 1187 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2221anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2313, 22syld 47 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2423a1dd 50 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦)))
2524ex 413 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))))
26253impd 1348 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
27 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵)
28 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴
29 nfre1 3268 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3028, 29nfralw 3294 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3127, 30nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
32 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵)
33 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝐴
34 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑤
35 nfra1 3267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3634, 35nfrexw 3296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3733, 36nfralw 3294 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3832, 37nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
39 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧(𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)
4038, 39nfan 1902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧(((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦))
41 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦𝑧𝑣𝑧))
4241imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑦𝑧𝜑) ↔ (𝑣𝑧𝜑)))
4342ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑣 → (∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑)))
4443cbvrexvw 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ↔ ∃𝑣𝑤𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑))
45 rsp 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → (𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)))
46 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤𝐵𝑣𝑤) → 𝑣𝐵)
47 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
4846, 47sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑣𝑤)) → 𝑣 ∈ ℝ)
4948anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
5049adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
5150adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
52 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤𝐵𝑦𝑤) → 𝑦𝐵)
53 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
5452, 53sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑦𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5554anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
5655adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5756ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
58 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
5958adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
6059ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
62 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢𝑦𝑣𝑦))
6362rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑢𝑤 𝑢𝑦𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6463adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6564adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6665adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
67 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑦𝑧)
6851, 57, 61, 66, 67letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑧)
69 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧𝐵 → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝐵𝑦𝑧) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7170ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7268, 71mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → 𝜑))
7345, 72syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7473adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑣𝑤) → (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7574rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑣𝑤𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7644, 75biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝜑))
7776ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∀𝑥𝐴 𝜑))
7877imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∀𝑥𝐴 𝜑)
7978an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → ∀𝑥𝐴 𝜑)
8079exp32 421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (𝑧𝐵 → (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8180an32s 650 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → (𝑧𝐵 → (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8240, 81ralrimi 3240 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → ∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))
8382exp32 421 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (𝑦𝑤 → (∀𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
8431, 83reximdai 3244 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8584adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
86 ssrexv 4011 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐵 → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8786ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8885, 87syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8988exp43 437 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑤𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))))
90893impd 1348 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
91903ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
9291adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
9326, 92mpdd 43 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
9493rexlimdva 3152 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
956, 94syld 47 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  Fincfn 8883  cr 11050  cle 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-om 7803  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195
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