Theorem filbcmb 34165

Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
filbcmb	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem filbcmb

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10365	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	ssex 5041	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
3		indexfi 8564	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
4	3	3expia 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
5	2, 4	sylan2 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
6	5	3adant2 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
7		r19.2z 4283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
8		rexn0 4297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
9	8	rexlimivw 3211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → 𝑤 ≠ ∅)
11	10	ex 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
12	11	3ad2ant2 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
13	12	ad2antrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
14		sstr 3829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝑤 ⊆ ℝ)
15	14	ancoms 452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → 𝑤 ⊆ ℝ)
16		fimaxre 11324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)
17	16	3expia 1111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
18	15, 17	sylan 575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
19	18	anasss 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ Fin)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
20	19	ancom2s 640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
21	20	3ad2antl3 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
22	21	anassrs 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
23	13, 22	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
24	23	a1dd 50	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)))
25	24	ex 403	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))))
26	25	3impd 1410	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
27		nfv 1957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)
28		nfcv 2934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
29		nfre1 3186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
30	28, 29	nfral 3127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
31	27, 30	nfan 1946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
32		nfv 1957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)
33		nfcv 2934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
34		nfcv 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧𝑤
35		nfra1 3123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
36	34, 35	nfrex 3188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
37	33, 36	nfral 3127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
38	32, 37	nfan 1946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
39		nfv 1957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)
40	38, 39	nfan 1946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
41		breq1 4891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑣 ≤ 𝑧))
42	41	imbi1d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
43	42	ralbidv 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
44	43	cbvrexv 3368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑))
45		rsp 3111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
46		ssel2 3816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ 𝐵)
47		ssel2 3816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan2 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤)) → 𝑣 ∈ ℝ)
49	48	anassrs 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
50	49	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
51	50	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
52		ssel2 3816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝐵)
53		ssel2 3816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	52, 53	sylan2 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
55	54	anassrs 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
56	55	adantrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
57	56	ad2antrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
58		ssel2 3816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
59	58	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
60	59	ad2ant2r 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
61	60	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
62		breq1 4891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 ≤ 𝑦 ↔ 𝑣 ≤ 𝑦))
63	62	rspccva 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
64	63	adantll 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
65	64	adantll 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
66	65	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
67		simplrr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≤ 𝑧)
68	51, 57, 61, 66, 67	letrd 10535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑧)
69		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
70	69	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
71	70	ad2antlr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
72	68, 71	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑))
73	45, 72	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
74	73	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
75	74	rexlimdva 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
76	44, 75	syl5bi 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
77	76	ralimdva 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
78	77	imp 397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
79	78	an32s 642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
80	79	exp32 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
81	80	an32s 642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
82	40, 81	ralrimi 3139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
83	82	exp32 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑦 ∈ 𝑤 → (∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
84	31, 83	reximdai 3193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
85	84	adantrr 707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
86		ssrexv 3886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
87	86	ad2antlr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
88	85, 87	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
89	88	exp43 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))))
90	89	3impd 1410	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
91	90	3ad2ant3 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
92	91	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
93	26, 92	mpdd 43	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
94	93	rexlimdva 3213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
95	6, 94	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141   class class class wbr 4888  Fincfn 8243  ℝcr 10273   ≤ cle 10414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-om 7346  df-1o 7845  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419

This theorem is referenced by: (None)