Theorem filbcmb 38107

Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
filbcmb	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem filbcmb

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11120	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	ssex 5249	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
3		indexfi 9260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
4	3	3expia 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
5	2, 4	sylan2 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
6	5	3adant2 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
7		r19.2z 4427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
8		rexn0 4424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
9	8	rexlimivw 3136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → 𝑤 ≠ ∅)
11	10	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
12	11	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
13	12	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
14		sstr 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝑤 ⊆ ℝ)
15	14	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → 𝑤 ⊆ ℝ)
16		fimaxre 12091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)
17	16	3expia 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
18	15, 17	sylan 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
19	18	anasss 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ Fin)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
20	19	ancom2s 656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
21	20	3ad2antl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
22	21	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
23	13, 22	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
24	23	a1dd 50	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)))
25	24	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))))
26	25	3impd 1355	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
27		nfv 1921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)
28		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
29		nfre1 3264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
30	28, 29	nfralw 3286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
31	27, 30	nfan 1906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
32		nfv 1921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)
33		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
34		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧𝑤
35		nfra1 3263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
36	34, 35	nfrexw 3287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
37	33, 36	nfralw 3286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
38	32, 37	nfan 1906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
39		nfv 1921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)
40	38, 39	nfan 1906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
41		breq1 5075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑣 ≤ 𝑧))
42	41	imbi1d 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
43	42	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
44	43	cbvrexvw 3218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑))
45		rsp 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
46		ssel2 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ 𝐵)
47		ssel2 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤)) → 𝑣 ∈ ℝ)
49	48	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
50	49	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
51	50	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
52		ssel2 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝐵)
53		ssel2 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	52, 53	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
55	54	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
56	55	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
57	56	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
58		ssel2 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
59	58	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
60	59	ad2ant2r 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
62		breq1 5075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 ≤ 𝑦 ↔ 𝑣 ≤ 𝑦))
63	62	rspccva 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
64	63	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
65	64	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
66	65	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
67		simplrr 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≤ 𝑧)
68	51, 57, 61, 66, 67	letrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑧)
69		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
71	70	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
72	68, 71	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑))
73	45, 72	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
74	73	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
75	74	rexlimdva 3140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
76	44, 75	biimtrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
77	76	ralimdva 3151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
78	77	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
79	78	an32s 658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
80	79	exp32 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
81	80	an32s 658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
82	40, 81	ralrimi 3237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
83	82	exp32 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑦 ∈ 𝑤 → (∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
84	31, 83	reximdai 3241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
85	84	adantrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
86		ssrexv 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
87	86	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
88	85, 87	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
89	88	exp43 437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))))
90	89	3impd 1355	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
91	90	3ad2ant3 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
92	91	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
93	26, 92	mpdd 43	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
94	93	rexlimdva 3140	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
95	6, 94	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   class class class wbr 5072  Fincfn 8883  ℝcr 11028   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-om 7807  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by: (None)