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Theorem filbcmb 35014
Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
filbcmb ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem filbcmb
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10627 . . . . 5 ℝ ∈ V
21ssex 5224 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
3 indexfi 8831 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)))
433expia 1117 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
52, 4sylan2 594 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
653adant2 1127 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
7 r19.2z 4439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
8 rexn0 4453 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
98rexlimivw 3282 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → 𝑤 ≠ ∅)
1110ex 415 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
12113ad2ant2 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
1312ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
14 sstr 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝑤 ⊆ ℝ)
1514ancoms 461 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) → 𝑤 ⊆ ℝ)
16 fimaxre 11583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦)
17163expia 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
1815, 17sylan 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
1918anasss 469 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑤 ∈ Fin)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2019ancom2s 648 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
21203ad2antl3 1183 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2221anassrs 470 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2313, 22syld 47 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2423a1dd 50 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦)))
2524ex 415 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))))
26253impd 1344 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
27 nfv 1911 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵)
28 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴
29 nfre1 3306 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3028, 29nfralw 3225 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3127, 30nfan 1896 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
32 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵)
33 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝐴
34 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑤
35 nfra1 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3634, 35nfrex 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3733, 36nfralw 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3832, 37nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
39 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧(𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)
4038, 39nfan 1896 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧(((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦))
41 breq1 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦𝑧𝑣𝑧))
4241imbi1d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑦𝑧𝜑) ↔ (𝑣𝑧𝜑)))
4342ralbidv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑣 → (∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑)))
4443cbvrexvw 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ↔ ∃𝑣𝑤𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑))
45 rsp 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → (𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)))
46 ssel2 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤𝐵𝑣𝑤) → 𝑣𝐵)
47 ssel2 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
4846, 47sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑣𝑤)) → 𝑣 ∈ ℝ)
4948anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
5049adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
5150adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
52 ssel2 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤𝐵𝑦𝑤) → 𝑦𝐵)
53 ssel2 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
5452, 53sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑦𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5554anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
5655adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5756ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
58 ssel2 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
5958adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
6059ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
6160adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
62 breq1 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢𝑦𝑣𝑦))
6362rspccva 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑢𝑤 𝑢𝑦𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6463adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6564adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6665adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
67 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑦𝑧)
6851, 57, 61, 66, 67letrd 10796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑧)
69 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧𝐵 → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7069adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝐵𝑦𝑧) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7170ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7268, 71mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → 𝜑))
7345, 72syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7473adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑣𝑤) → (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7574rexlimdva 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑣𝑤𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7644, 75syl5bi 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝜑))
7776ralimdva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∀𝑥𝐴 𝜑))
7877imp 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∀𝑥𝐴 𝜑)
7978an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → ∀𝑥𝐴 𝜑)
8079exp32 423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (𝑧𝐵 → (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8180an32s 650 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → (𝑧𝐵 → (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8240, 81ralrimi 3216 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → ∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))
8382exp32 423 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (𝑦𝑤 → (∀𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
8431, 83reximdai 3311 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8584adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
86 ssrexv 4033 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐵 → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8786ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8885, 87syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8988exp43 439 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑤𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))))
90893impd 1344 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
91903ad2ant3 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
9291adantr 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
9326, 92mpdd 43 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
9493rexlimdva 3284 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
956, 94syld 47 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  Vcvv 3494  wss 3935  c0 4290   class class class wbr 5065  Fincfn 8508  cr 10535  cle 10675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-om 7580  df-1o 8101  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680
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