Theorem filbcmb 38490

Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
filbcmb	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem filbcmb

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11215	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	ssex 5285	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
3		indexfi 9327	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
4	3	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
5	2, 4	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
6	5	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))))
7		r19.2z 4455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
8		rexn0 4452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
9	8	rexlimivw 3159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → 𝑤 ≠ ∅)
11	10	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
12	11	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
14		sstr 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝑤 ⊆ ℝ)
15	14	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → 𝑤 ⊆ ℝ)
16		fimaxre 12183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)
17	16	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
18	15, 17	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
19	18	anasss 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ Fin)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
20	19	ancom2s 663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
21	20	3ad2antl3 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
22	21	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
23	13, 22	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
24	23	a1dd 51	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)))
25	24	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))))
26	25	3impd 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
27		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)
28		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
29		nfre1 3287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
30	28, 29	nfralw 3309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
31	27, 30	nfan 1932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
32		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵)
33		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
34		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧𝑤
35		nfra1 3286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
36	34, 35	nfrexw 3310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
37	33, 36	nfralw 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)
38	32, 37	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))
39		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)
40	38, 39	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦))
41		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑣 ≤ 𝑧))
42	41	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
43	42	ralbidv 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
44	43	cbvrexvw 3241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑))
45		rsp 3250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
46		ssel2 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ 𝐵)
47		ssel2 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤)) → 𝑣 ∈ ℝ)
49	48	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
50	49	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
51	50	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
52		ssel2 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝐵)
53		ssel2 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	52, 53	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
55	54	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
56	55	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
57	56	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
58		ssel2 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
59	58	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
60	59	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
62		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 ≤ 𝑦 ↔ 𝑣 ≤ 𝑦))
63	62	rspccva 3575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
64	63	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
65	64	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
66	65	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑦)
67		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≤ 𝑧)
68	51, 57, 61, 66, 67	letrd 11391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑣 ≤ 𝑧)
69		pm2.27 43	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
70	69	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
71	70	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)))
72	68, 71	mpid 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → ((𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑))
73	45, 72	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
74	73	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
75	74	rexlimdva 3163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
76	44, 75	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → 𝜑))
77	76	ralimdva 3174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
78	77	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
79	78	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
80	79	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
81	80	an32s 665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
82	40, 81	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
83	82	exp32 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑦 ∈ 𝑤 → (∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
84	31, 83	reximdai 3264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
85	84	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
86		ssrexv 4001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
87	86	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
88	85, 87	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ⊆ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑))) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
89	88	exp43 442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑤 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))))
90	89	3impd 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
91	90	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
92	91	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑢 ∈ 𝑤 𝑢 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
93	26, 92	mpdd 44	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
94	93	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∃𝑤 ∈ Fin (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
95	6, 94	syld 48	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → 𝜑) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑧 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  Fincfn 8952  ℝcr 11123   ≤ cle 11268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7863  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273

This theorem is used by: (None)