MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre2 11574
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2
StepHypRef Expression
1 0re 10631 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 rzal 4449 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤ 0)
3 brralrspcev 5117 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
41, 2, 3sylancr 587 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
54a1i 11 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6 fimaxre 11572 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
763expia 1113 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
8 ssrexv 4031 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
98adantr 481 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
107, 9syld 47 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
115, 10pm2.61dne 3100 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  Fincfn 8497  cr 10524  0cc0 10525  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by:  fimaxre3  11575  isercolllem2  15010  fsumcvg3  15074  mertenslem2  15229  1arith  16251  ovolicc2lem4  24048  erdszelem8  32342  poimirlem31  34804  poimirlem32  34805  mblfinlem1  34810  itg2addnclem2  34825  ftc1anclem7  34854  ftc1anc  34856  totbndbnd  34948  prdsbnd  34952  uzfissfz  41470  fourierdlem31  42300  fourierdlem79  42347  hoicvr  42707
  Copyright terms: Public domain W3C validator