MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre2 12161
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2
StepHypRef Expression
1 0re 11218 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 rzal 4508 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤ 0)
3 brralrspcev 5208 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
41, 2, 3sylancr 587 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
54a1i 11 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6 fimaxre 12160 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
763expia 1121 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
8 ssrexv 4051 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
98adantr 481 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
107, 9syld 47 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
115, 10pm2.61dne 3028 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  Fincfn 8941  cr 11111  0cc0 11112  cle 11251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256
This theorem is referenced by:  fimaxre3  12162  isercolllem2  15614  fsumcvg3  15677  mertenslem2  15833  1arith  16862  ovolicc2lem4  25044  erdszelem8  34258  poimirlem31  36605  poimirlem32  36606  mblfinlem1  36611  itg2addnclem2  36626  ftc1anclem7  36653  ftc1anc  36655  totbndbnd  36743  prdsbnd  36747  uzfissfz  44115  fourierdlem31  44933  fourierdlem79  44980  hoicvr  45343
  Copyright terms: Public domain W3C validator