Theorem fimaxre2 12096

Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11141	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		rzal 4425	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 0)
3		brralrspcev 5135	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4	1, 2, 3	sylancr 594	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
6		fimaxre 12095	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
7	6	3expia 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
8		ssrexv 3987	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
9	8	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
10	7, 9	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
11	5, 10	pm2.61dne 3022	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264   class class class wbr 5075  Fincfn 8887  ℝcr 11032  0cc0 11033   ≤ cle 11175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-addrcl 11094  ax-rnegex 11104  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-om 7811  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180

This theorem is referenced by:  fimaxre3  12097  isercolllem2  15623  fsumcvg3  15686  mertenslem2  15845  1arith  16893  ovolicc2lem4  25509  erdszelem8  35441  poimirlem31  38033  poimirlem32  38034  mblfinlem1  38039  itg2addnclem2  38054  ftc1anclem7  38081  ftc1anc  38083  totbndbnd  38171  prdsbnd  38175  uzfissfz  45785  fourierdlem31  46595  fourierdlem79  46642  hoicvr  47005