Theorem fimaxre2 12164

Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11214	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		rzal 4455	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 0)
3		brralrspcev 5171	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4	1, 2, 3	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
6		fimaxre 12163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
7	6	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
8		ssrexv 4007	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
9	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
10	7, 9	syld 48	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
11	5, 10	pm2.61dne 3044	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  Fincfn 8939  ℝcr 11103  0cc0 11104   ≤ cle 11248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-addrcl 11165  ax-rnegex 11175  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253

This theorem is used by:  fimaxre3  12165  isercolllem2  15722  fsumcvg3  15785  mertenslem2  15944  1arith  16991  ovolicc2lem4  25688  erdszelem8  35698  poimirlem31  38330  poimirlem32  38331  mblfinlem1  38336  itg2addnclem2  38351  ftc1anclem7  38378  ftc1anc  38380  totbndbnd  38468  prdsbnd  38472  uzfissfz  46070  fourierdlem31  46880  fourierdlem79  46927  hoicvr  47290