Theorem cvmliftlem3 33245

Description: Lemma for cvmlift 33257. Since 1^st ‘(𝑇‘𝑀) is a neighborhood of (𝐺 “ 𝑊), every element 𝐴 ∈ 𝑊 satisfies (𝐺‘𝐴) ∈ (1^st ‘(𝑇‘𝑀)). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3	⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem3.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐴(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem1.m	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
2		cvmliftlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
4		oveq1 7278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 − 1) = (𝑀 − 1))
5	4	oveq1d 7286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘 − 1) / 𝑁) = ((𝑀 − 1) / 𝑁))
6		oveq1 7278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 / 𝑁) = (𝑀 / 𝑁))
7	5, 6	oveq12d 7289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
8		cvmliftlem3.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
9	7, 8	eqtr4di 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = 𝑊)
10	9	imaeq2d 5968	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) = (𝐺 “ 𝑊))
11		2fveq3 6776	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (1st ‘(𝑇‘𝑘)) = (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
12	10, 11	sseq12d 3959	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)) ↔ (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀))))
13	12	rspcv 3556	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)) → (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀))))
14	1, 3, 13	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
15		cvmliftlem3.m	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝑊)
16		cvmliftlem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
17		iiuni 24042	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
18		cvmliftlem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
19	17, 18	cnf 22395	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
20	16, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
22	21	ffund 6602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Fun 𝐺)
23		cvmliftlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
24		cvmliftlem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
25		cvmliftlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
26		cvmliftlem.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
27		cvmliftlem.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
28		cvmliftlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		cvmliftlem.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
30		cvmliftlem.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
31	23, 24, 18, 25, 16, 26, 27, 28, 29, 2, 30, 1, 8	cvmliftlem2 33244	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
32	21	fdmd 6609	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → dom 𝐺 = (0[,]1))
33	31, 32	sseqtrrd 3967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ dom 𝐺)
34		funfvima2 7104	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑊 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊)))
35	22, 33, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊)))
36	15, 35	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊))
37	14, 36	sseldd 3927	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  {crab 3070   ∖ cdif 3889   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  𝒫 cpw 4539  {csn 4567  ∪ cuni 4845  ∪ ciun 4930   ↦ cmpt 5162   × cxp 5588  ^◡ccnv 5589  dom cdm 5590  ran crn 5591   ↾ cres 5592   “ cima 5593  Fun wfun 6426  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  1^st c1st 7822  0cc0 10872  1c1 10873   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  (,)cioo 13078  [,]cicc 13081  ...cfz 13238   ↾_t crest 17129  topGenctg 17146   Cn ccn 22373  Homeochmeo 22902  IIcii 24036   CovMap ccvm 33213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-icc 13085  df-fz 13239  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-topgen 17152  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-top 22041  df-topon 22058  df-bases 22094  df-cn 22376  df-ii 24038

This theorem is referenced by:  cvmliftlem6  33248  cvmliftlem8  33250  cvmliftlem9  33251