Theorem cvmliftlem3 36219

Description: Lemma for cvmlift 36231. Since 1^st ‘(𝑇‘𝑀) is a neighborhood of (𝐺 “ 𝑊), every element 𝐴 ∈ 𝑊 satisfies (𝐺‘𝐴) ∈ (1^st ‘(𝑇‘𝑀)). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3	⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem3.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢, 𝑘)   𝜓(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝐴(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝐵(𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝑃(𝑗, 𝑠)   𝐿(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝑁(𝑗, 𝑠)   𝑊(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑠)   𝑋(𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem1.m	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
2		cvmliftlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
4		oveq1 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 − 1) = (𝑀 − 1))
5	4	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘 − 1) / 𝑁) = ((𝑀 − 1) / 𝑁))
6		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 / 𝑁) = (𝑀 / 𝑁))
7	5, 6	oveq12d 7461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
8		cvmliftlem3.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
9	7, 8	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = 𝑊)
10	9	imaeq2d 6064	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) = (𝐺 “ 𝑊))
11		2fveq3 6913	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (1st ‘(𝑇‘𝑘)) = (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
12	10, 11	sseq12d 3946	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)) ↔ (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀))))
13	12	rspcv 3576	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)) → (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀))))
14	1, 3, 13	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
15		cvmliftlem3.m	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝑊)
16		cvmliftlem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
17		iiuni 25232	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
18		cvmliftlem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
19	17, 18	cnf 23594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
20	16, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
22	21	ffund 6736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Fun 𝐺)
23		cvmliftlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
24		cvmliftlem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
25		cvmliftlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
26		cvmliftlem.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
27		cvmliftlem.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
28		cvmliftlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		cvmliftlem.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
30		cvmliftlem.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
31	23, 24, 18, 25, 16, 26, 27, 28, 29, 2, 30, 1, 8	cvmliftlem2 36218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
32	21	fdmd 6742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → dom 𝐺 = (0[,]1))
33	31, 32	sseqtrrd 3950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ dom 𝐺)
34		funfvima2 7260	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑊 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊)))
35	22, 33, 34	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊)))
36	15, 35	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊))
37	14, 36	sseldd 3914	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658  Fun wfun 6552  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1^st c1st 8023  0cc0 11227  1c1 11228   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕcn 12362  (,)cioo 13503  [,]cicc 13506  ...cfz 13666   ↾_t crest 17620  topGenctg 17637   Cn ccn 23572  Homeochmeo 24102  IIcii 25226   CovMap ccvm 36187

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-icc 13510  df-fz 13667  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294  df-cn 23575  df-ii 25228

This theorem is used by:  cvmliftlem6  36222  cvmliftlem8  36224  cvmliftlem9  36225