Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmliftlem3 34576
Description: Lemma for cvmlift 34588. Since 1st β€˜(π‘‡β€˜π‘€) is a neighborhood of (𝐺 β€œ π‘Š), every element 𝐴 ∈ π‘Š satisfies (πΊβ€˜π΄) ∈ (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘€)). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
cvmliftlem.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmliftlem.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cvmliftlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmliftlem.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
cvmliftlem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
cvmliftlem.t (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
cvmliftlem.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
cvmliftlem1.m ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3 π‘Š = (((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem3.m ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘€)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐡   𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   𝑃,π‘˜,𝑒,𝑣   𝐢,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   πœ‘,𝑗,𝑠   π‘˜,𝑁,𝑒,𝑣   𝑆,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   𝑇,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   𝑗,𝐽,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   π‘˜,π‘Š
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,π‘˜)   πœ“(𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝐴(𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝐡(𝑒,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝑁(𝑗,𝑠)   π‘Š(𝑣,𝑒,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠)
Proof of Theorem cvmliftlem3
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem1.m . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
2 cvmliftlem.a . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
32adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
4 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (𝑀 βˆ’ 1))
54oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁) = ((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))
6 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π‘˜ / 𝑁) = (𝑀 / 𝑁))
75, 6oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁)) = (((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
8 cvmliftlem3.3 . . . . . . 7 π‘Š = (((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
97, 8eqtr4di 2788 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁)) = π‘Š)
109imaeq2d 6058 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) = (𝐺 β€œ π‘Š))
11 2fveq3 6895 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)) = (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘€)))
1210, 11sseq12d 4014 . . . 4 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)) ↔ (𝐺 β€œ π‘Š) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘€))))
1312rspcv 3607 . . 3 (𝑀 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)) β†’ (𝐺 β€œ π‘Š) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘€))))
141, 3, 13sylc 65 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝐺 β€œ π‘Š) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘€)))
15 cvmliftlem3.m . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
16 cvmliftlem.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
17 iiuni 24621 . . . . . . . 8 (0[,]1) = βˆͺ II
18 cvmliftlem.x . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝐽
1917, 18cnf 22970 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐺:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
2016, 19syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
2120adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐺:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
2221ffund 6720 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Fun 𝐺)
23 cvmliftlem.1 . . . . . 6 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
24 cvmliftlem.b . . . . . 6 𝐡 = βˆͺ 𝐢
25 cvmliftlem.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
26 cvmliftlem.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
27 cvmliftlem.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
28 cvmliftlem.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
29 cvmliftlem.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
30 cvmliftlem.l . . . . . 6 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
3123, 24, 18, 25, 16, 26, 27, 28, 29, 2, 30, 1, 8cvmliftlem2 34575 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Š βŠ† (0[,]1))
3221fdmd 6727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ dom 𝐺 = (0[,]1))
3331, 32sseqtrrd 4022 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Š βŠ† dom 𝐺)
34 funfvima2 7234 . . . 4 ((Fun 𝐺 ∧ π‘Š βŠ† dom 𝐺) β†’ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (𝐺 β€œ π‘Š)))
3522, 33, 34syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (𝐺 β€œ π‘Š)))
3615, 35mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (𝐺 β€œ π‘Š))
3714, 36sseldd 3982 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  0cc0 11112  1c1 11113   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  ...cfz 13488   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387   Cn ccn 22948  Homeochmeo 23477  IIcii 24615   CovMap ccvm 34544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-ii 24617
This theorem is referenced by:  cvmliftlem6  34579  cvmliftlem8  34581  cvmliftlem9  34582
  Copyright terms: Public domain W3C validator