Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem3 35272
Description: Lemma for cvmlift 35284. Since 1st ‘(𝑇𝑀) is a neighborhood of (𝐺𝑊), every element 𝐴𝑊 satisfies (𝐺𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem3.m ((𝜑𝜓) → 𝐴𝑊)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem3 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐴(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem3
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem1.m . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
2 cvmliftlem.a . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
32adantr 480 . . 3 ((𝜑𝜓) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
4 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 − 1) = (𝑀 − 1))
54oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘 − 1) / 𝑁) = ((𝑀 − 1) / 𝑁))
6 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 / 𝑁) = (𝑀 / 𝑁))
75, 6oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
8 cvmliftlem3.3 . . . . . . 7 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
97, 8eqtr4di 2793 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = 𝑊)
109imaeq2d 6080 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) = (𝐺𝑊))
11 2fveq3 6912 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (1st ‘(𝑇𝑘)) = (1st ‘(𝑇𝑀)))
1210, 11sseq12d 4029 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)) ↔ (𝐺𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑀))))
1312rspcv 3618 . . 3 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)) → (𝐺𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑀))))
141, 3, 13sylc 65 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑀)))
15 cvmliftlem3.m . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐴𝑊)
16 cvmliftlem.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
17 iiuni 24921 . . . . . . . 8 (0[,]1) = II
18 cvmliftlem.x . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
1917, 18cnf 23270 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
2016, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
2221ffund 6741 . . . 4 ((𝜑𝜓) → Fun 𝐺)
23 cvmliftlem.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
24 cvmliftlem.b . . . . . 6 𝐵 = 𝐶
25 cvmliftlem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
26 cvmliftlem.p . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐵)
27 cvmliftlem.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
28 cvmliftlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
29 cvmliftlem.t . . . . . 6 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
30 cvmliftlem.l . . . . . 6 𝐿 = (topGen‘ran (,))
3123, 24, 18, 25, 16, 26, 27, 28, 29, 2, 30, 1, 8cvmliftlem2 35271 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
3221fdmd 6747 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → dom 𝐺 = (0[,]1))
3331, 32sseqtrrd 4037 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ dom 𝐺)
34 funfvima2 7251 . . . 4 ((Fun 𝐺𝑊 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴𝑊 → (𝐺𝐴) ∈ (𝐺𝑊)))
3522, 33, 34syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐴𝑊 → (𝐺𝐴) ∈ (𝐺𝑊)))
3615, 35mpd 15 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝐴) ∈ (𝐺𝑊))
3714, 36sseldd 3996 1 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912   ciun 4996  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1st c1st 8011  0cc0 11153  1c1 11154  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  t crest 17467  topGenctg 17484   Cn ccn 23248  Homeochmeo 23777  IIcii 24915   CovMap ccvm 35240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-ii 24917
This theorem is referenced by:  cvmliftlem6  35275  cvmliftlem8  35277  cvmliftlem9  35278
  Copyright terms: Public domain W3C validator