Theorem cvmliftlem3 36138

Description: Lemma for cvmlift 36150. Since 1^st ‘(𝑇‘𝑀) is a neighborhood of (𝐺 “ 𝑊), every element 𝐴 ∈ 𝑊 satisfies (𝐺‘𝐴) ∈ (1^st ‘(𝑇‘𝑀)). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3	⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem3.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢, 𝑘)   𝜓(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝐴(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝐵(𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝑃(𝑗, 𝑠)   𝐿(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝑁(𝑗, 𝑠)   𝑊(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑠)   𝑋(𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem1.m	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
2		cvmliftlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
4		oveq1 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 − 1) = (𝑀 − 1))
5	4	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘 − 1) / 𝑁) = ((𝑀 − 1) / 𝑁))
6		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 / 𝑁) = (𝑀 / 𝑁))
7	5, 6	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
8		cvmliftlem3.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
9	7, 8	eqtr4di 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = 𝑊)
10	9	imaeq2d 6051	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) = (𝐺 “ 𝑊))
11		2fveq3 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (1st ‘(𝑇‘𝑘)) = (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
12	10, 11	sseq12d 3941	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)) ↔ (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀))))
13	12	rspcv 3572	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)) → (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀))))
14	1, 3, 13	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
15		cvmliftlem3.m	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝑊)
16		cvmliftlem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
17		iiuni 25207	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
18		cvmliftlem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
19	17, 18	cnf 23569	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
20	16, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
22	21	ffund 6714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Fun 𝐺)
23		cvmliftlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
24		cvmliftlem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
25		cvmliftlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
26		cvmliftlem.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
27		cvmliftlem.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
28		cvmliftlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		cvmliftlem.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
30		cvmliftlem.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
31	23, 24, 18, 25, 16, 26, 27, 28, 29, 2, 30, 1, 8	cvmliftlem2 36137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
32	21	fdmd 6720	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → dom 𝐺 = (0[,]1))
33	31, 32	sseqtrrd 3945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ dom 𝐺)
34		funfvima2 7237	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑊 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊)))
35	22, 33, 34	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊)))
36	15, 35	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊))
37	14, 36	sseldd 3909	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  0cc0 11203  1c1 11204   − cmin 11544   / cdiv 11976  ℕcn 12338  (,)cioo 13479  [,]cicc 13482  ...cfz 13642   ↾_t crest 17596  topGenctg 17613   Cn ccn 23547  Homeochmeo 24077  IIcii 25201   CovMap ccvm 36106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-icc 13486  df-fz 13643  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-topgen 17619  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-cn 23550  df-ii 25203

This theorem is used by:  cvmliftlem6  36141  cvmliftlem8  36143  cvmliftlem9  36144