Theorem cvmliftlem3 35259

Description: Lemma for cvmlift 35271. Since 1^st ‘(𝑇‘𝑀) is a neighborhood of (𝐺 “ 𝑊), every element 𝐴 ∈ 𝑊 satisfies (𝐺‘𝐴) ∈ (1^st ‘(𝑇‘𝑀)). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3	⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem3.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐴(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem1.m	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
2		cvmliftlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
4		oveq1 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 − 1) = (𝑀 − 1))
5	4	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘 − 1) / 𝑁) = ((𝑀 − 1) / 𝑁))
6		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 / 𝑁) = (𝑀 / 𝑁))
7	5, 6	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
8		cvmliftlem3.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
9	7, 8	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = 𝑊)
10	9	imaeq2d 6015	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) = (𝐺 “ 𝑊))
11		2fveq3 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (1st ‘(𝑇‘𝑘)) = (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
12	10, 11	sseq12d 3971	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)) ↔ (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀))))
13	12	rspcv 3575	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)) → (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀))))
14	1, 3, 13	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺 “ 𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
15		cvmliftlem3.m	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝑊)
16		cvmliftlem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
17		iiuni 24790	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
18		cvmliftlem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
19	17, 18	cnf 23149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
20	16, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
22	21	ffund 6660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Fun 𝐺)
23		cvmliftlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
24		cvmliftlem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
25		cvmliftlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
26		cvmliftlem.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
27		cvmliftlem.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
28		cvmliftlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		cvmliftlem.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
30		cvmliftlem.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
31	23, 24, 18, 25, 16, 26, 27, 28, 29, 2, 30, 1, 8	cvmliftlem2 35258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
32	21	fdmd 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → dom 𝐺 = (0[,]1))
33	31, 32	sseqtrrd 3975	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ dom 𝐺)
34		funfvima2 7171	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑊 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊)))
35	22, 33, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊)))
36	15, 35	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (𝐺 “ 𝑊))
37	14, 36	sseldd 3938	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺‘𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3396   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553  {csn 4579  ∪ cuni 4861  ∪ ciun 4944   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624   ↾ cres 5625   “ cima 5626  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1^st c1st 7929  0cc0 11028  1c1 11029   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  (,)cioo 13266  [,]cicc 13269  ...cfz 13428   ↾_t crest 17342  topGenctg 17359   Cn ccn 23127  Homeochmeo 23656  IIcii 24784   CovMap ccvm 35227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-icc 13273  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-cn 23130  df-ii 24786

This theorem is referenced by:  cvmliftlem6  35262  cvmliftlem8  35264  cvmliftlem9  35265