MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyaddlem1 26102
Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyaddlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plyaddlem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
plyaddlem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
plyaddlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
plyaddlem.b (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
plyaddlem.a2 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
plyaddlem.b2 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
plyaddlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
plyaddlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Assertion
Ref Expression
plyaddlem1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   𝑧,π‘˜,πœ‘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,π‘˜)   𝐡(𝑧)   𝑆(𝑧,π‘˜)   𝐹(𝑧,π‘˜)   𝐺(𝑧,π‘˜)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem plyaddlem1
StepHypRef Expression
1 cnex 11193 . . . 4 β„‚ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
3 sumex 15640 . . . 4 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ V)
5 sumex 15640 . . . 4 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ V)
7 plyaddlem.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
8 plyaddlem.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
92, 4, 6, 7, 8offval2 7687 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
10 fzfid 13944 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∈ Fin)
11 elfznn0 13600 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
12 plyaddlem.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
1413ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
15 expcl 14050 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1615adantll 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1714, 16mulcld 11238 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
1811, 17sylan2 592 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
19 plyaddlem.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
2120ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2221, 16mulcld 11238 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2311, 22sylan2 592 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2410, 18, 23fsumadd 15692 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
2512ffnd 6712 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•0)
2619ffnd 6712 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 Fn β„•0)
27 nn0ex 12482 . . . . . . . . . . 11 β„•0 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
29 inidm 4213 . . . . . . . . . 10 (β„•0 ∩ β„•0) = β„•0
30 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
31 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
3225, 26, 28, 28, 29, 30, 31ofval 7678 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)))
3332adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)))
3433oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
3514, 21, 16adddird 11243 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
3634, 35eqtrd 2766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
3711, 36sylan2 592 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
3837sumeq2dv 15655 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
39 plyaddlem.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4039nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
41 plyaddlem.n . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4241, 39ifcld 4569 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„•0)
4342nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„€)
4439nn0red 12537 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4541nn0red 12537 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
46 max1 13170 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
4744, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
48 eluz2 12832 . . . . . . . . 9 (if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↔ (𝑀 ∈ β„€ ∧ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
4940, 43, 47, 48syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
50 fzss2 13547 . . . . . . . 8 (if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5251adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
53 elfznn0 13600 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5453, 17sylan2 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
55 eldifn 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
57 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5857, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
60 nn0uz 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
61 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
6239, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
6362, 60eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
64 uzsplit 13579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
6660, 65eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ β„•0 = ((0...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
6739nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
68 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ β„‚
69 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ 1) = 𝑀)
7067, 68, 69sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ 1) = 𝑀)
7170oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (0...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) = (0...𝑀))
7271uneq1d 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((0...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = ((0...𝑀) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
7366, 72eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ β„•0 = ((0...𝑀) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
7473ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ β„•0 = ((0...𝑀) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
7559, 74eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
76 elun 4143 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ↔ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
7775, 76sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
7877ord 861 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
7956, 78mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
8012ffund 6715 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Fun 𝐴)
81 ssun2 4168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) βŠ† ((0...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
8281, 66sseqtrrid 4030 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) βŠ† β„•0)
8312fdmd 6722 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐴 = β„•0)
8482, 83sseqtrrd 4018 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) βŠ† dom 𝐴)
85 funfvima2 7228 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐴 ∧ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) βŠ† dom 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
8680, 84, 85syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
8786ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
8879, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
89 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
9089ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
9188, 90eleqtrd 2829 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ {0})
92 elsni 4640 . . . . . . . . 9 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ {0} β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
9493oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (0 Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
9558, 16sylan2 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
9695mul02d 11416 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (0 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 0)
9794, 96eqtrd 2766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 0)
9852, 54, 97, 10fsumss 15677 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
9941nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
100 max2 13172 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
10144, 45, 100syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
102 eluz2 12832 . . . . . . . . 9 (if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10399, 43, 101, 102syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
104 fzss2 13547 . . . . . . . 8 (if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
105103, 104syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
106105adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
107 elfznn0 13600 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
108107, 22sylan2 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
109 eldifn 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
111 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
112111, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
113112adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
114 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
11541, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
116115, 60eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
117 uzsplit 13579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
11960, 118eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ β„•0 = ((0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
12041nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
121 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
122120, 68, 121sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
123122oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0...𝑁))
124123uneq1d 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
125119, 124eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ β„•0 = ((0...𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
126125ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ β„•0 = ((0...𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
127113, 126eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
128 elun 4143 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ↔ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
129127, 128sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
130129ord 861 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
131110, 130mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
13219ffund 6715 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Fun 𝐡)
133 ssun2 4168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† ((0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
134133, 119sseqtrrid 4030 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† β„•0)
13519fdmd 6722 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐡 = β„•0)
136134, 135sseqtrrd 4018 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐡)
137 funfvima2 7228 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐡 ∧ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
138132, 136, 137syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
139138ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
140131, 139mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
141 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
142141ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
143140, 142eleqtrd 2829 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ {0})
144 elsni 4640 . . . . . . . . 9 ((π΅β€˜π‘˜) ∈ {0} β†’ (π΅β€˜π‘˜) = 0)
145143, 144syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = 0)
146145oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (0 Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
147112, 16sylan2 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
148147mul02d 11416 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (0 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 0)
149146, 148eqtrd 2766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 0)
150106, 108, 149, 10fsumss 15677 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
15198, 150oveq12d 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
15224, 38, 1513eqtr4d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
153152mpteq2dva 5241 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
1549, 153eqtr4d 2769 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  β†‘cexp 14032  Ξ£csu 15638  Polycply 26073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  plyaddlem  26104  coeaddlem  26138
  Copyright terms: Public domain W3C validator