MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyaddlem1 26065
Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyaddlem.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyaddlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
plyaddlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
plyaddlem.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
plyaddlem.b (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
plyaddlem.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyaddlem.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyaddlem.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyaddlem.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
plyaddlem1 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴f + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘)   𝐵(𝑧)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem plyaddlem1
StepHypRef Expression
1 cnex 11197 . . . 4 ℂ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ V)
3 sumex 15641 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
5 sumex 15641 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
7 plyaddlem.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
8 plyaddlem.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
92, 4, 6, 7, 8offval2 7694 . 2 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
10 fzfid 13945 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∈ Fin)
11 elfznn0 13601 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 plyaddlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1413ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
15 expcl 14052 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
1615adantll 711 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
1714, 16mulcld 11241 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
1811, 17sylan2 592 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
19 plyaddlem.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2120ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2221, 16mulcld 11241 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2311, 22sylan2 592 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2410, 18, 23fsumadd 15693 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
2512ffnd 6718 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
2619ffnd 6718 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 Fn ℕ0)
27 nn0ex 12485 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
29 inidm 4218 . . . . . . . . . 10 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
30 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑘))
31 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑘))
3225, 26, 28, 28, 29, 30, 31ofval 7685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴f + 𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)))
3332adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴f + 𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)))
3433oveq1d 7427 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴f + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)))
3514, 21, 16adddird 11246 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
3634, 35eqtrd 2771 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴f + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
3711, 36sylan2 592 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → (((𝐴f + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
3837sumeq2dv 15656 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴f + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
39 plyaddlem.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4039nn0zd 12591 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
41 plyaddlem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4241, 39ifcld 4574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℕ0)
4342nn0zd 12591 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
4439nn0red 12540 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4541nn0red 12540 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
46 max1 13171 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
4744, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
48 eluz2 12835 . . . . . . . . 9 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
4940, 43, 47, 48syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
50 fzss2 13548 . . . . . . . 8 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5251adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
53 elfznn0 13601 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5453, 17sylan2 592 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
55 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
57 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5857, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
60 nn0uz 12871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
61 peano2nn0 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
6239, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
6362, 60eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0))
64 uzsplit 13580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
6660, 65eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
6739nn0cnd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
68 ax-1cn 11174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
69 pncan 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7067, 68, 69sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7170oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0...((𝑀 + 1) − 1)) = (0...𝑀))
7271uneq1d 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7366, 72eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7473ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7559, 74eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
76 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7775, 76sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7877ord 861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7956, 78mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
8012ffund 6721 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐴)
81 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
8281, 66sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ℕ0)
8312fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
8482, 83sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
85 funfvima2 7235 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
8680, 84, 85syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
8786ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
8879, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
89 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
9089ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
9188, 90eleqtrd 2834 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ {0})
92 elsni 4645 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) ∈ {0} → (𝐴𝑘) = 0)
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) = 0)
9493oveq1d 7427 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
9558, 16sylan2 592 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
9695mul02d 11419 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
9794, 96eqtrd 2771 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
9852, 54, 97, 10fsumss 15678 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
9941nn0zd 12591 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
100 max2 13173 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
10144, 45, 100syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
102 eluz2 12835 . . . . . . . . 9 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10399, 43, 101, 102syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑁))
104 fzss2 13548 . . . . . . . 8 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
105103, 104syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
106105adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
107 elfznn0 13601 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
108107, 22sylan2 592 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
109 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
111 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
112111, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
113112adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
114 peano2nn0 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
11541, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
116115, 60eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
117 uzsplit 13580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
11960, 118eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
12041nn0cnd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
121 pncan 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
122120, 68, 121sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
123122oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
124123uneq1d 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
125119, 124eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
126125ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
127113, 126eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
128 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
129127, 128sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
130129ord 861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
131110, 130mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
13219ffund 6721 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐵)
133 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
134133, 119sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ℕ0)
13519fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐵 = ℕ0)
136134, 135sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵)
137 funfvima2 7235 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐵 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
138132, 136, 137syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
139138ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
140131, 139mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
141 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
142141ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
143140, 142eleqtrd 2834 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) ∈ {0})
144 elsni 4645 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑘) ∈ {0} → (𝐵𝑘) = 0)
145143, 144syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) = 0)
146145oveq1d 7427 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
147112, 16sylan2 592 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
148147mul02d 11419 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
149146, 148eqtrd 2771 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
150106, 108, 149, 10fsumss 15678 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
15198, 150oveq12d 7430 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
15224, 38, 1513eqtr4d 2781 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴f + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
153152mpteq2dva 5248 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴f + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1549, 153eqtr4d 2774 1 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴f + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cdif 3945  cun 3946  wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5676  cima 5679  Fun wfun 6537  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  f cof 7672  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  cle 11256  cmin 11451  0cn0 12479  cz 12565  cuz 12829  ...cfz 13491  cexp 14034  Σcsu 15639  Polycply 26036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640
This theorem is referenced by:  plyaddlem  26067  coeaddlem  26101
  Copyright terms: Public domain W3C validator