MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyaddlem1 24274
Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyaddlem.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyaddlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
plyaddlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
plyaddlem.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
plyaddlem.b (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
plyaddlem.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyaddlem.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyaddlem.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyaddlem.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
plyaddlem1 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘)   𝐵(𝑧)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem plyaddlem1
StepHypRef Expression
1 cnex 10274 . . . 4 ℂ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ V)
3 sumex 14717 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
5 sumex 14717 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
7 plyaddlem.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
8 plyaddlem.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
92, 4, 6, 7, 8offval2 7116 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
10 fzfid 12985 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∈ Fin)
11 elfznn0 12645 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 plyaddlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1312adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1413ffvelrnda 6553 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
15 expcl 13090 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
1615adantll 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
1714, 16mulcld 10318 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
1811, 17sylan2 586 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
19 plyaddlem.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2019adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2120ffvelrnda 6553 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2221, 16mulcld 10318 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2311, 22sylan2 586 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2410, 18, 23fsumadd 14769 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
2512ffnd 6226 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
2619ffnd 6226 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 Fn ℕ0)
27 nn0ex 11549 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
29 inidm 3984 . . . . . . . . . 10 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
30 eqidd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑘))
31 eqidd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑘))
3225, 26, 28, 28, 29, 30, 31ofval 7108 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)))
3332adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)))
3433oveq1d 6861 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)))
3514, 21, 16adddird 10323 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
3634, 35eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
3711, 36sylan2 586 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → (((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
3837sumeq2dv 14732 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
39 plyaddlem.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4039nn0zd 11732 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
41 plyaddlem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4241, 39ifcld 4290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℕ0)
4342nn0zd 11732 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
4439nn0red 11603 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4541nn0red 11603 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
46 max1 12223 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
4744, 45, 46syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
48 eluz2 11897 . . . . . . . . 9 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
4940, 43, 47, 48syl3anbrc 1443 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
50 fzss2 12593 . . . . . . . 8 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5251adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
53 elfznn0 12645 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5453, 17sylan2 586 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
55 eldifn 3897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
5655adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
57 eldifi 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5857, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5958adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
60 nn0uz 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
61 peano2nn0 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
6239, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
6362, 60syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0))
64 uzsplit 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
6660, 65syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
6739nn0cnd 11604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
68 ax-1cn 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
69 pncan 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7067, 68, 69sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7170oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0...((𝑀 + 1) − 1)) = (0...𝑀))
7271uneq1d 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7366, 72eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7473ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7559, 74eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
76 elun 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7775, 76sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7877ord 890 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7956, 78mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
8012ffund 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐴)
81 ssun2 3941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
8281, 66syl5sseqr 3816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ℕ0)
8312fdmd 6234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
8482, 83sseqtr4d 3804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
85 funfvima2 6690 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
8680, 84, 85syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
8786ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
8879, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
89 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
9089ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
9188, 90eleqtrd 2846 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ {0})
92 elsni 4353 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) ∈ {0} → (𝐴𝑘) = 0)
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) = 0)
9493oveq1d 6861 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
9558, 16sylan2 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
9695mul02d 10492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
9794, 96eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
9852, 54, 97, 10fsumss 14755 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
9941nn0zd 11732 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
100 max2 12225 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
10144, 45, 100syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
102 eluz2 11897 . . . . . . . . 9 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10399, 43, 101, 102syl3anbrc 1443 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑁))
104 fzss2 12593 . . . . . . . 8 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
105103, 104syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
106105adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
107 elfznn0 12645 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
108107, 22sylan2 586 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
109 eldifn 3897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
110109adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
111 eldifi 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
112111, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
113112adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
114 peano2nn0 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
11541, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
116115, 60syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
117 uzsplit 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
11960, 118syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
12041nn0cnd 11604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
121 pncan 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
122120, 68, 121sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
123122oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
124123uneq1d 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
125119, 124eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
126125ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
127113, 126eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
128 elun 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
129127, 128sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
130129ord 890 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
131110, 130mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
13219ffund 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐵)
133 ssun2 3941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
134133, 119syl5sseqr 3816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ℕ0)
13519fdmd 6234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐵 = ℕ0)
136134, 135sseqtr4d 3804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵)
137 funfvima2 6690 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐵 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
138132, 136, 137syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
139138ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
140131, 139mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
141 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
142141ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
143140, 142eleqtrd 2846 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) ∈ {0})
144 elsni 4353 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑘) ∈ {0} → (𝐵𝑘) = 0)
145143, 144syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) = 0)
146145oveq1d 6861 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
147112, 16sylan2 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
148147mul02d 10492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
149146, 148eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
150106, 108, 149, 10fsumss 14755 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
15198, 150oveq12d 6864 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
15224, 38, 1513eqtr4d 2809 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
153152mpteq2dva 4905 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1549, 153eqtr4d 2802 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cdif 3731  cun 3732  wss 3734  ifcif 4245  {csn 4336   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  cima 5282  Fun wfun 6064  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  𝑓 cof 7097  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  cle 10333  cmin 10524  0cn0 11542  cz 11628  cuz 11891  ...cfz 12538  cexp 13072  Σcsu 14715  Polycply 24245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-sum 14716
This theorem is referenced by:  plyaddlem  24276  coeaddlem  24310
  Copyright terms: Public domain W3C validator