MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyadmbllem 25107
Description: Lemma for dyadmbl 25108. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmbl.2 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)}
dyadmbl.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
dyadmbllem (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦   𝑧,𝑀,πœ‘   π‘₯,𝑀,𝑦,𝐴,𝑧   𝑧,𝐺   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑀)

Proof of Theorem dyadmbllem
Dummy variables π‘Ž π‘š 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4911 . . . 4 (π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖)
2 iccf 13421 . . . . . . 7 [,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
3 ffn 6714 . . . . . . 7 ([,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ [,] Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 [,] Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
5 dyadmbl.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
6 dyadmbl.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
76dyadf 25099 . . . . . . . . 9 𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
8 frn 6721 . . . . . . . . 9 (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
10 inss2 4228 . . . . . . . . 9 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
11 rexpssxrxp 11255 . . . . . . . . 9 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
1210, 11sstri 3990 . . . . . . . 8 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
139, 12sstri 3990 . . . . . . 7 ran 𝐹 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
145, 13sstrdi 3993 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
15 eleq2 2822 . . . . . . 7 (𝑖 = ([,]β€˜π‘‘) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑖 ↔ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘)))
1615rexima 7235 . . . . . 6 (([,] Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘)))
174, 14, 16sylancr 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘)))
18 ssrab2 4076 . . . . . . . . 9 {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} βŠ† 𝐴
195adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
2018, 19sstrid 3992 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} βŠ† ran 𝐹)
21 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
22 ssid 4003 . . . . . . . . . 10 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘‘)
23 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑑 β†’ ([,]β€˜π‘Ž) = ([,]β€˜π‘‘))
2423sseq2d 4013 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž) ↔ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘‘)))
2524rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž))
2621, 22, 25sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž))
27 rabn0 4384 . . . . . . . . 9 ({π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž))
2826, 27sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β‰  βˆ…)
296dyadmax 25106 . . . . . . . 8 (({π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} βŠ† ran 𝐹 ∧ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)}βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))
3020, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)}βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))
31 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘š β†’ ([,]β€˜π‘Ž) = ([,]β€˜π‘š))
3231sseq2d 4013 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘š β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž) ↔ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)))
3332elrab 3682 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} ↔ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)))
34 simprlr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))
35 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))
3634, 35sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘š))
37 simprll 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
38 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝑀 β†’ ([,]β€˜π‘Ž) = ([,]β€˜π‘€))
3938sseq2d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž) ↔ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4039elrab 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑀 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4140imbi1i 349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) ↔ ((𝑀 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
42 impexp 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) ↔ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
4341, 42bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) ↔ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
44 impexp 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ∧ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ π‘š = 𝑀) ↔ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
45 sstr2 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4645ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4746ancrd 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ∧ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€))))
4847imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (((([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ∧ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
4944, 48biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ ((([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
5049imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
5143, 50biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ ((𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
5251ralimdv2 3163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
5352impr 455 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))
54 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = π‘š β†’ ([,]β€˜π‘§) = ([,]β€˜π‘š))
5554sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘š β†’ (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
56 equequ1 2028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘š β†’ (𝑧 = 𝑀 ↔ π‘š = 𝑀))
5755, 56imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘š β†’ ((([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
5857ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘š β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
59 dyadmbl.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)}
6058, 59elrab2 3685 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ 𝐺 ↔ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
6137, 53, 60sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘š ∈ 𝐺)
62 ffun 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 ([,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ Fun [,])
632, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 Fun [,]
6459ssrab3 4079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 βŠ† 𝐴
6564, 14sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
662fdmi 6726 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom [,] = (ℝ* Γ— ℝ*)
6765, 66sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† dom [,])
6867ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ 𝐺 βŠ† dom [,])
69 funfvima2 7229 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun [,] ∧ 𝐺 βŠ† dom [,]) β†’ (π‘š ∈ 𝐺 β†’ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺)))
7063, 68, 69sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ (π‘š ∈ 𝐺 β†’ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺)))
7161, 70mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺))
72 elunii 4912 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘š) ∧ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺)) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
7336, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
7473exp32 421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))))
7533, 74biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ (π‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))))
7675rexlimdv 3153 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)}βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
7730, 76mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
7877rexlimdvaa 3156 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
7917, 78sylbid 239 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖 β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
801, 79biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
8180ssrdv 3987 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
82 imass2 6098 . . . 4 (𝐺 βŠ† 𝐴 β†’ ([,] β€œ 𝐺) βŠ† ([,] β€œ 𝐴))
8364, 82ax-mp 5 . . 3 ([,] β€œ 𝐺) βŠ† ([,] β€œ 𝐴)
84 uniss 4915 . . 3 (([,] β€œ 𝐺) βŠ† ([,] β€œ 𝐴) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) βŠ† βˆͺ ([,] β€œ 𝐴))
8583, 84mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) βŠ† βˆͺ ([,] β€œ 𝐴))
8681, 85eqssd 3998 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  [,]cicc 13323  β†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972
This theorem is referenced by:  dyadmbl  25108  mblfinlem1  36513  mblfinlem2  36514
  Copyright terms: Public domain W3C validator