MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyadmbllem 25349
Description: Lemma for dyadmbl 25350. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmbl.2 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)}
dyadmbl.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
dyadmbllem (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦   𝑧,𝑀,πœ‘   π‘₯,𝑀,𝑦,𝐴,𝑧   𝑧,𝐺   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑀)

Proof of Theorem dyadmbllem
Dummy variables π‘Ž π‘š 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4913 . . . 4 (π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖)
2 iccf 13430 . . . . . . 7 [,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
3 ffn 6718 . . . . . . 7 ([,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ [,] Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 [,] Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
5 dyadmbl.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
6 dyadmbl.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
76dyadf 25341 . . . . . . . . 9 𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
8 frn 6725 . . . . . . . . 9 (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
10 inss2 4230 . . . . . . . . 9 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
11 rexpssxrxp 11264 . . . . . . . . 9 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
1210, 11sstri 3992 . . . . . . . 8 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
139, 12sstri 3992 . . . . . . 7 ran 𝐹 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
145, 13sstrdi 3995 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
15 eleq2 2821 . . . . . . 7 (𝑖 = ([,]β€˜π‘‘) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑖 ↔ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘)))
1615rexima 7242 . . . . . 6 (([,] Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘)))
174, 14, 16sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘)))
18 ssrab2 4078 . . . . . . . . 9 {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} βŠ† 𝐴
195adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
2018, 19sstrid 3994 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} βŠ† ran 𝐹)
21 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
22 ssid 4005 . . . . . . . . . 10 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘‘)
23 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑑 β†’ ([,]β€˜π‘Ž) = ([,]β€˜π‘‘))
2423sseq2d 4015 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž) ↔ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘‘)))
2524rspcev 3613 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž))
2621, 22, 25sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž))
27 rabn0 4386 . . . . . . . . 9 ({π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž))
2826, 27sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β‰  βˆ…)
296dyadmax 25348 . . . . . . . 8 (({π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} βŠ† ran 𝐹 ∧ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)}βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))
3020, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)}βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))
31 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘š β†’ ([,]β€˜π‘Ž) = ([,]β€˜π‘š))
3231sseq2d 4015 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘š β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž) ↔ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)))
3332elrab 3684 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} ↔ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)))
34 simprlr 777 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))
35 simplrr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))
3634, 35sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘š))
37 simprll 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
38 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝑀 β†’ ([,]β€˜π‘Ž) = ([,]β€˜π‘€))
3938sseq2d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž) ↔ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4039elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑀 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4140imbi1i 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) ↔ ((𝑀 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
42 impexp 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) ↔ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
4341, 42bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) ↔ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
44 impexp 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ∧ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ π‘š = 𝑀) ↔ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
45 sstr2 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4645ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4746ancrd 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ∧ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€))))
4847imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (((([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ∧ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
4944, 48biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ ((([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
5049imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
5143, 50biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ ((𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
5251ralimdv2 3162 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
5352impr 454 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))
54 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = π‘š β†’ ([,]β€˜π‘§) = ([,]β€˜π‘š))
5554sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘š β†’ (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
56 equequ1 2027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘š β†’ (𝑧 = 𝑀 ↔ π‘š = 𝑀))
5755, 56imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘š β†’ ((([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
5857ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘š β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
59 dyadmbl.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)}
6058, 59elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ 𝐺 ↔ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
6137, 53, 60sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘š ∈ 𝐺)
62 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 ([,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ Fun [,])
632, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 Fun [,]
6459ssrab3 4081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 βŠ† 𝐴
6564, 14sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
662fdmi 6730 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom [,] = (ℝ* Γ— ℝ*)
6765, 66sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† dom [,])
6867ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ 𝐺 βŠ† dom [,])
69 funfvima2 7236 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun [,] ∧ 𝐺 βŠ† dom [,]) β†’ (π‘š ∈ 𝐺 β†’ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺)))
7063, 68, 69sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ (π‘š ∈ 𝐺 β†’ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺)))
7161, 70mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺))
72 elunii 4914 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘š) ∧ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺)) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
7336, 71, 72syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
7473exp32 420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))))
7533, 74biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ (π‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))))
7675rexlimdv 3152 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)}βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
7730, 76mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
7877rexlimdvaa 3155 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
7917, 78sylbid 239 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖 β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
801, 79biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
8180ssrdv 3989 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
82 imass2 6102 . . . 4 (𝐺 βŠ† 𝐴 β†’ ([,] β€œ 𝐺) βŠ† ([,] β€œ 𝐴))
8364, 82ax-mp 5 . . 3 ([,] β€œ 𝐺) βŠ† ([,] β€œ 𝐴)
84 uniss 4917 . . 3 (([,] β€œ 𝐺) βŠ† ([,] β€œ 𝐴) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) βŠ† βˆͺ ([,] β€œ 𝐴))
8583, 84mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) βŠ† βˆͺ ([,] β€œ 𝐴))
8681, 85eqssd 4000 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  β„cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116  β„*cxr 11252   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  [,]cicc 13332  β†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-ovol 25214
This theorem is referenced by:  dyadmbl  25350  mblfinlem1  36829  mblfinlem2  36830
  Copyright terms: Public domain W3C validator