MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyadmbllem 24979
Description: Lemma for dyadmbl 24980. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmbl.2 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)}
dyadmbl.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
dyadmbllem (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦   𝑧,𝑀,πœ‘   π‘₯,𝑀,𝑦,𝐴,𝑧   𝑧,𝐺   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑀)

Proof of Theorem dyadmbllem
Dummy variables π‘Ž π‘š 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4874 . . . 4 (π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖)
2 iccf 13372 . . . . . . 7 [,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
3 ffn 6673 . . . . . . 7 ([,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ [,] Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 [,] Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
5 dyadmbl.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
6 dyadmbl.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
76dyadf 24971 . . . . . . . . 9 𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
8 frn 6680 . . . . . . . . 9 (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
10 inss2 4194 . . . . . . . . 9 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
11 rexpssxrxp 11207 . . . . . . . . 9 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
1210, 11sstri 3958 . . . . . . . 8 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
139, 12sstri 3958 . . . . . . 7 ran 𝐹 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
145, 13sstrdi 3961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
15 eleq2 2827 . . . . . . 7 (𝑖 = ([,]β€˜π‘‘) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑖 ↔ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘)))
1615rexima 7192 . . . . . 6 (([,] Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘)))
174, 14, 16sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘)))
18 ssrab2 4042 . . . . . . . . 9 {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} βŠ† 𝐴
195adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
2018, 19sstrid 3960 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} βŠ† ran 𝐹)
21 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
22 ssid 3971 . . . . . . . . . 10 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘‘)
23 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑑 β†’ ([,]β€˜π‘Ž) = ([,]β€˜π‘‘))
2423sseq2d 3981 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž) ↔ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘‘)))
2524rspcev 3584 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž))
2621, 22, 25sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž))
27 rabn0 4350 . . . . . . . . 9 ({π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž))
2826, 27sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β‰  βˆ…)
296dyadmax 24978 . . . . . . . 8 (({π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} βŠ† ran 𝐹 ∧ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)}βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))
3020, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)}βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))
31 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘š β†’ ([,]β€˜π‘Ž) = ([,]β€˜π‘š))
3231sseq2d 3981 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘š β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž) ↔ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)))
3332elrab 3650 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} ↔ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)))
34 simprlr 779 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))
35 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))
3634, 35sseldd 3950 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘š))
37 simprll 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
38 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝑀 β†’ ([,]β€˜π‘Ž) = ([,]β€˜π‘€))
3938sseq2d 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž) ↔ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4039elrab 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑀 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4140imbi1i 350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) ↔ ((𝑀 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
42 impexp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) ↔ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
4341, 42bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) ↔ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
44 impexp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ∧ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ π‘š = 𝑀) ↔ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
45 sstr2 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4645ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
4746ancrd 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ∧ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€))))
4847imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (((([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ∧ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€)) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
4944, 48biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ ((([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
5049imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
5143, 50biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ ((𝑀 ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)) β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))))
5251ralimdv2 3161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š))) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
5352impr 456 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))
54 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = π‘š β†’ ([,]β€˜π‘§) = ([,]β€˜π‘š))
5554sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘š β†’ (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
56 equequ1 2029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘š β†’ (𝑧 = 𝑀 ↔ π‘š = 𝑀))
5755, 56imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘š β†’ ((([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
5857ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘š β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
59 dyadmbl.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)}
6058, 59elrab2 3653 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ 𝐺 ↔ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀)))
6137, 53, 60sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘š ∈ 𝐺)
62 ffun 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 ([,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ Fun [,])
632, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 Fun [,]
6459ssrab3 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 βŠ† 𝐴
6564, 14sstrid 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
662fdmi 6685 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom [,] = (ℝ* Γ— ℝ*)
6765, 66sseqtrrdi 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† dom [,])
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ 𝐺 βŠ† dom [,])
69 funfvima2 7186 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun [,] ∧ 𝐺 βŠ† dom [,]) β†’ (π‘š ∈ 𝐺 β†’ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺)))
7063, 68, 69sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ (π‘š ∈ 𝐺 β†’ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺)))
7161, 70mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺))
72 elunii 4875 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘š) ∧ ([,]β€˜π‘š) ∈ ([,] β€œ 𝐺)) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
7336, 71, 72syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) ∧ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀))) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
7473exp32 422 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘š)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))))
7533, 74biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ (π‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))))
7675rexlimdv 3151 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)}βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐴 ∣ ([,]β€˜π‘‘) βŠ† ([,]β€˜π‘Ž)} (([,]β€˜π‘š) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ π‘š = 𝑀) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
7730, 76mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘))) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
7877rexlimdvaa 3154 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ∈ ([,]β€˜π‘‘) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
7917, 78sylbid 239 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ([,] β€œ 𝐴)π‘Ž ∈ 𝑖 β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
801, 79biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)))
8180ssrdv 3955 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
82 imass2 6059 . . . 4 (𝐺 βŠ† 𝐴 β†’ ([,] β€œ 𝐺) βŠ† ([,] β€œ 𝐴))
8364, 82ax-mp 5 . . 3 ([,] β€œ 𝐺) βŠ† ([,] β€œ 𝐴)
84 uniss 4878 . . 3 (([,] β€œ 𝐺) βŠ† ([,] β€œ 𝐴) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) βŠ† βˆͺ ([,] β€œ 𝐴))
8583, 84mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) βŠ† βˆͺ ([,] β€œ 𝐴))
8681, 85eqssd 3966 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βŸ¨cop 4597  βˆͺ cuni 4870   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  β„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  [,]cicc 13274  β†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844
This theorem is referenced by:  dyadmbl  24980  mblfinlem1  36144  mblfinlem2  36145
  Copyright terms: Public domain W3C validator