MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvrelem1 25966
Description: Lemma for dvcnvre 25968. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
dvcnvre.d (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
dvcnvre.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
dvcnvre.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))

Proof of Theorem dvcnvrelem1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
2 dvbsss 25847 . . . . . 6 dom (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ
31, 2eqsstrrdi 4028 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
4 dvcnvre.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
53, 4sseldd 3973 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6 dvcnvre.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
76rpred 13046 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
85, 7resubcld 11670 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ)
95, 7readdcld 11271 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ)
105, 6ltsubrpd 13078 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢)
115, 6ltaddrpd 13079 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 < (𝐢 + 𝑅))
128, 5, 9, 10, 11lttrd 11403 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) < (𝐢 + 𝑅))
138, 9, 12ltled 11390 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ (𝐢 + 𝑅))
14 dvcnvre.s . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
15 dvcnvre.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
16 rescncf 24833 . . . 4 (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋 β†’ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cn→ℝ)))
1714, 15, 16sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cn→ℝ))
188, 9, 13, 17evthicc2 25405 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))
19 cncff 24829 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2015, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2120, 4ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
238rexrd 11292 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ*)
249rexrd 11292 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ*)
25 lbicc2 13471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ (𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
2623, 24, 13, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
2726adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
288, 5, 10ltled 11390 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢)
295, 9, 11ltled 11390 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))
30 elicc2 13419 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))))
318, 9, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))))
325, 28, 29, 31mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
3332adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
3410adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢)
35 isorel 7329 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
3736exp32 419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))))
3837com4l 92 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))))
3927, 33, 34, 38syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
4027fvresd 6911 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) = (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)))
4133fvresd 6911 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
4240, 41breq12d 5156 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) ↔ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)))
4339, 42sylibd 238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)))
4420adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
4544ffund 6720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ Fun 𝐹)
4614adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
4744fdmd 6727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
4846, 47sseqtrrd 4014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom 𝐹)
49 funfvima2 7238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
5045, 48, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
5127, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
52 df-ima 5685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
53 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))
5452, 53eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))
5551, 54eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦))
56 elicc2 13419 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦)))
5756ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦)))
5855, 57mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦))
5958simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)))
60 simprll 777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6114, 26sseldd 3973 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ 𝑋)
6220, 61ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ)
6362adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ)
64 lelttr 11332 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
6560, 63, 22, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
6659, 65mpand 693 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
6743, 66syld 47 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
68 ubicc2 13472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ (𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
6923, 24, 13, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
7069adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
7111adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ 𝐢 < (𝐢 + 𝑅))
72 isorel 7329 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
7372biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
7473exp32 419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))))
7574com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))))
7633, 70, 71, 75syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
77 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) ∈ V
78 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ V
7977, 78brcnv 5879 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ))
8070fvresd 6911 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) = (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)))
8180, 41breq12d 5156 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) ↔ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)))
8279, 81bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) ↔ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)))
8376, 82sylibd 238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)))
84 funfvima2 7238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
8545, 48, 84syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
8670, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
8786, 54eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦))
88 elicc2 13419 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦)))
8988ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦)))
9087, 89mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦))
9190simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)))
9214, 69sseldd 3973 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ 𝑋)
9320, 92ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ)
9493adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ)
95 lelttr 11332 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
9660, 94, 22, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
9791, 96mpand 693 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
9883, 97syld 47 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
99 ax-resscn 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
101 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
10220, 99, 101sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
10314, 3sstrd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† ℝ)
104 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
105104tgioo2 24735 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
106104, 105dvres 25856 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 βŠ† ℝ ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
107100, 102, 3, 103, 106syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
108 iccntr 24753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
1098, 9, 108syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
110109reseq2d 5979 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))))
111107, 110eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))))
112111dmeqd 5902 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))))
113 dmres 6011 . . . . . . . . . . 11 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))) = (((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
114 ioossicc 13440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) βŠ† ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))
115114, 14sstrid 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
116115, 1sseqtrrd 4014 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
117 dfss2 3958 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
118116, 117sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
119113, 118eqtrid 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
120112, 119eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
121 resss 6001 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))) βŠ† (ℝ D 𝐹)
122111, 121eqsstrdi 4027 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† (ℝ D 𝐹))
123 rnss 5935 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† (ℝ D 𝐹) β†’ ran (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
125 dvcnvre.z . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
126124, 125ssneldd 3975 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
1278, 9, 17, 120, 126dvne0 25960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∨ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))))
128127adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∨ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))))
12967, 98, 128mpjaod 858 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ))
130 isorel 7329 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
131130biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
132131exp32 419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))))
133132com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))))
13433, 70, 71, 133syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
13541, 80breq12d 5156 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) ↔ (πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅))))
136134, 135sylibd 238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅))))
13790simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦)
138 simprlr 778 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
139 ltletr 11334 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
14022, 94, 138, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
141137, 140mpan2d 692 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
142136, 141syld 47 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
143 isorel 7329 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
144143biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
145144exp32 419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))))
146145com4l 92 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))))
14727, 33, 34, 146syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
148 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ V
149148, 77brcnv 5879 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)))
15041, 40breq12d 5156 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ↔ (πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))))
151149, 150bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) ↔ (πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))))
152147, 151sylibd 238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))))
15358simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦)
154 ltletr 11334 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
15522, 63, 138, 154syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
156153, 155mpan2d 692 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
157152, 156syld 47 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
158142, 157, 128mpjaod 858 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦)
15960rexrd 11292 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
160138rexrd 11292 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
161 elioo2 13395 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ (π‘₯(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ) ∧ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦)))
162159, 160, 161syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ (π‘₯(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ) ∧ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦)))
16322, 129, 158, 162mpbir3and 1339 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (π‘₯(,)𝑦))
16454fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)))
165 iccntr 24753 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
166165ad2antrl 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
167164, 166eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (π‘₯(,)𝑦))
168163, 167eleqtrrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
169168expr 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))))
170169rexlimdvva 3202 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))))
17118, 170mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  β„+crp 13004  (,)cioo 13354  [,]cicc 13357  TopOpenctopn 17400  topGenctg 17416  β„‚fldccnfld 21281  intcnt 22937  β€“cnβ†’ccncf 24812   D cdv 25808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  25967
  Copyright terms: Public domain W3C validator