Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvrelem1 24624
 Description: Lemma for dvcnvre 24626. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnvre.c (𝜑𝐶𝑋)
dvcnvre.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))

Proof of Theorem dvcnvrelem1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.d . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
2 dvbsss 24509 . . . . . 6 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
31, 2eqsstrrdi 3973 . . . . 5 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
4 dvcnvre.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
53, 4sseldd 3919 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 dvcnvre.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
76rpred 12423 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
85, 7resubcld 11061 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
95, 7readdcld 10663 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
105, 6ltsubrpd 12455 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝐶)
115, 6ltaddrpd 12456 . . . . 5 (𝜑𝐶 < (𝐶 + 𝑅))
128, 5, 9, 10, 11lttrd 10794 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑅) < (𝐶 + 𝑅))
138, 9, 12ltled 10781 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑅) ≤ (𝐶 + 𝑅))
14 dvcnvre.s . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
15 dvcnvre.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
16 rescncf 23506 . . . 4 (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋 → (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)))
1714, 15, 16sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ))
188, 9, 13, 17evthicc2 24068 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))
19 cncff 23502 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2015, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2120, 4ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
238rexrd 10684 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ*)
249rexrd 10684 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ*)
25 lbicc2 12846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑅) ≤ (𝐶 + 𝑅)) → (𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
2623, 24, 13, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
2726adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
288, 5, 10ltled 10781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ≤ 𝐶)
295, 9, 11ltled 10781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))
30 elicc2 12794 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
318, 9, 30syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
325, 28, 29, 31mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
3332adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
3410adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐶𝑅) < 𝐶)
35 isorel 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
3635biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
3736exp32 424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
3837com4l 92 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
3927, 33, 34, 38syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
4027fvresd 6669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) = (𝐹‘(𝐶𝑅)))
4133fvresd 6669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
4240, 41breq12d 5046 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)))
4339, 42sylibd 242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)))
4420adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
4544ffund 6495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → Fun 𝐹)
4614adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
4744fdmd 6501 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → dom 𝐹 = 𝑋)
4846, 47sseqtrrd 3959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹)
49 funfvima2 6975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
5045, 48, 49syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
5127, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
52 df-ima 5536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
53 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))
5452, 53syl5eq 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))
5551, 54eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
56 elicc2 12794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦)))
5756ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦)))
5855, 57mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦))
5958simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)))
60 simprll 778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6114, 26sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ 𝑋)
6220, 61ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ)
6362adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ)
64 lelttr 10724 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
6560, 63, 22, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
6659, 65mpand 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
6743, 66syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
68 ubicc2 12847 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑅) ≤ (𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
6923, 24, 13, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
7069adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
7111adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝐶 < (𝐶 + 𝑅))
72 isorel 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
7372biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
7473exp32 424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
7574com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
7633, 70, 71, 75syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
77 fvex 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ∈ V
78 fvex 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ V
7977, 78brcnv 5721 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶))
8070fvresd 6669 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) = (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)))
8180, 41breq12d 5046 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)))
8279, 81syl5bb 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)))
8376, 82sylibd 242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)))
84 funfvima2 6975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
8545, 48, 84syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
8670, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
8786, 54eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
88 elicc2 12794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦)))
8988ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦)))
9087, 89mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦))
9190simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)))
9214, 69sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ 𝑋)
9320, 92ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ)
9493adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ)
95 lelttr 10724 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
9660, 94, 22, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
9791, 96mpand 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
9883, 97syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
99 ax-resscn 10587 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
101 fss 6505 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
10220, 99, 101sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
10314, 3sstrd 3928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ)
104 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
105104tgioo2 23412 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
106104, 105dvres 24518 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℝ ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
107100, 102, 3, 103, 106syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
108 iccntr 23430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
1098, 9, 108syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
110109reseq2d 5822 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))))
111107, 110eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))))
112111dmeqd 5742 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))))
113 dmres 5844 . . . . . . . . . . 11 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))) = (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
114 ioossicc 12815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))
115114, 14sstrid 3929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
116115, 1sseqtrrd 3959 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
117 df-ss 3901 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
118116, 117sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
119113, 118syl5eq 2848 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
120112, 119eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
121 resss 5847 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))) ⊆ (ℝ D 𝐹)
122111, 121eqsstrdi 3972 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ (ℝ D 𝐹))
123 rnss 5777 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ (ℝ D 𝐹) → ran (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
125 dvcnvre.z . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
126124, 125ssneldd 3921 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
1278, 9, 17, 120, 126dvne0 24618 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∨ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
128127adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∨ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
12967, 98, 128mpjaod 857 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 < (𝐹𝐶))
130 isorel 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
131130biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
132131exp32 424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
133132com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
13433, 70, 71, 133syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
13541, 80breq12d 5046 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅))))
136134, 135sylibd 242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅))))
13790simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦)
138 simprlr 779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
139 ltletr 10725 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
14022, 94, 138, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
141137, 140mpan2d 693 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
142136, 141syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
143 isorel 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
144143biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
145144exp32 424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
146145com4l 92 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
14727, 33, 34, 146syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
148 fvex 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) ∈ V
149148, 77brcnv 5721 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)))
15041, 40breq12d 5046 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅))))
151149, 150syl5bb 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅))))
152147, 151sylibd 242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅))))
15358simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦)
154 ltletr 10725 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
15522, 63, 138, 154syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
156153, 155mpan2d 693 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅)) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
157152, 156syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
158142, 157, 128mpjaod 857 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) < 𝑦)
15960rexrd 10684 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
160138rexrd 10684 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
161 elioo2 12771 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐶) < 𝑦)))
162159, 160, 161syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐶) < 𝑦)))
16322, 129, 158, 162mpbir3and 1339 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) ∈ (𝑥(,)𝑦))
16454fveq2d 6653 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑥[,]𝑦)))
165 iccntr 23430 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑥[,]𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
166165ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑥[,]𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
167164, 166eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝑥(,)𝑦))
168163, 167eleqtrrd 2896 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
169168expr 460 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦) → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
170169rexlimdvva 3256 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦) → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
17118, 170mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3110   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525   “ cima 5526  Fun wfun 6322  ⟶wf 6324  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328   Isom wiso 6329  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530   + caddc 10533  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℝ+crp 12381  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733  TopOpenctopn 16691  topGenctg 16707  ℂfldccnfld 20095  intcnt 21626  –cn→ccncf 23485   D cdv 24470 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474 This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  24625
 Copyright terms: Public domain W3C validator