MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvrelem1 24624
Description: Lemma for dvcnvre 24626. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnvre.c (𝜑𝐶𝑋)
dvcnvre.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))

Proof of Theorem dvcnvrelem1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.d . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
2 dvbsss 24509 . . . . . 6 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
31, 2eqsstrrdi 3973 . . . . 5 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
4 dvcnvre.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
53, 4sseldd 3919 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 dvcnvre.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
76rpred 12423 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
85, 7resubcld 11061 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
95, 7readdcld 10663 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
105, 6ltsubrpd 12455 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝐶)
115, 6ltaddrpd 12456 . . . . 5 (𝜑𝐶 < (𝐶 + 𝑅))
128, 5, 9, 10, 11lttrd 10794 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑅) < (𝐶 + 𝑅))
138, 9, 12ltled 10781 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑅) ≤ (𝐶 + 𝑅))
14 dvcnvre.s . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
15 dvcnvre.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
16 rescncf 23506 . . . 4 (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋 → (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)))
1714, 15, 16sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ))
188, 9, 13, 17evthicc2 24068 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))
19 cncff 23502 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2015, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2120, 4ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
238rexrd 10684 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ*)
249rexrd 10684 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ*)
25 lbicc2 12846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑅) ≤ (𝐶 + 𝑅)) → (𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
2623, 24, 13, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
2726adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
288, 5, 10ltled 10781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ≤ 𝐶)
295, 9, 11ltled 10781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))
30 elicc2 12794 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
318, 9, 30syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
325, 28, 29, 31mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
3332adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
3410adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐶𝑅) < 𝐶)
35 isorel 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
3635biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
3736exp32 424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
3837com4l 92 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
3927, 33, 34, 38syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
4027fvresd 6669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) = (𝐹‘(𝐶𝑅)))
4133fvresd 6669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
4240, 41breq12d 5046 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)))
4339, 42sylibd 242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)))
4420adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
4544ffund 6495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → Fun 𝐹)
4614adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
4744fdmd 6501 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → dom 𝐹 = 𝑋)
4846, 47sseqtrrd 3959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹)
49 funfvima2 6975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
5045, 48, 49syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
5127, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
52 df-ima 5536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
53 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))
5452, 53syl5eq 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))
5551, 54eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
56 elicc2 12794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦)))
5756ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦)))
5855, 57mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦))
5958simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)))
60 simprll 778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6114, 26sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ 𝑋)
6220, 61ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ)
6362adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ)
64 lelttr 10724 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
6560, 63, 22, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
6659, 65mpand 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
6743, 66syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
68 ubicc2 12847 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑅) ≤ (𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
6923, 24, 13, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
7069adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
7111adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝐶 < (𝐶 + 𝑅))
72 isorel 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
7372biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
7473exp32 424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
7574com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
7633, 70, 71, 75syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
77 fvex 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ∈ V
78 fvex 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ V
7977, 78brcnv 5721 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶))
8070fvresd 6669 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) = (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)))
8180, 41breq12d 5046 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)))
8279, 81syl5bb 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)))
8376, 82sylibd 242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)))
84 funfvima2 6975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
8545, 48, 84syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
8670, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
8786, 54eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
88 elicc2 12794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦)))
8988ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦)))
9087, 89mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦))
9190simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)))
9214, 69sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ 𝑋)
9320, 92ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ)
9493adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ)
95 lelttr 10724 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
9660, 94, 22, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
9791, 96mpand 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
9883, 97syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
99 ax-resscn 10587 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
101 fss 6505 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
10220, 99, 101sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
10314, 3sstrd 3928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ)
104 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
105104tgioo2 23412 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
106104, 105dvres 24518 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℝ ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
107100, 102, 3, 103, 106syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
108 iccntr 23430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
1098, 9, 108syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
110109reseq2d 5822 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))))
111107, 110eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))))
112111dmeqd 5742 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))))
113 dmres 5844 . . . . . . . . . . 11 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))) = (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
114 ioossicc 12815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))
115114, 14sstrid 3929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
116115, 1sseqtrrd 3959 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
117 df-ss 3901 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
118116, 117sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
119113, 118syl5eq 2848 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
120112, 119eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
121 resss 5847 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))) ⊆ (ℝ D 𝐹)
122111, 121eqsstrdi 3972 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ (ℝ D 𝐹))
123 rnss 5777 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ (ℝ D 𝐹) → ran (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
125 dvcnvre.z . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
126124, 125ssneldd 3921 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
1278, 9, 17, 120, 126dvne0 24618 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∨ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
128127adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∨ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
12967, 98, 128mpjaod 857 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 < (𝐹𝐶))
130 isorel 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
131130biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
132131exp32 424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
133132com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
13433, 70, 71, 133syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
13541, 80breq12d 5046 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅))))
136134, 135sylibd 242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅))))
13790simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦)
138 simprlr 779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
139 ltletr 10725 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
14022, 94, 138, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
141137, 140mpan2d 693 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
142136, 141syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
143 isorel 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
144143biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
145144exp32 424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
146145com4l 92 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
14727, 33, 34, 146syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
148 fvex 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) ∈ V
149148, 77brcnv 5721 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)))
15041, 40breq12d 5046 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅))))
151149, 150syl5bb 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅))))
152147, 151sylibd 242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅))))
15358simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦)
154 ltletr 10725 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
15522, 63, 138, 154syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
156153, 155mpan2d 693 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅)) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
157152, 156syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
158142, 157, 128mpjaod 857 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) < 𝑦)
15960rexrd 10684 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
160138rexrd 10684 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
161 elioo2 12771 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐶) < 𝑦)))
162159, 160, 161syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐶) < 𝑦)))
16322, 129, 158, 162mpbir3and 1339 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) ∈ (𝑥(,)𝑦))
16454fveq2d 6653 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑥[,]𝑦)))
165 iccntr 23430 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑥[,]𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
166165ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑥[,]𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
167164, 166eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝑥(,)𝑦))
168163, 167eleqtrrd 2896 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
169168expr 460 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦) → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
170169rexlimdvva 3256 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦) → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
17118, 170mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wrex 3110  cin 3883  wss 3884   class class class wbr 5033  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  cres 5525  cima 5526  Fun wfun 6322  wf 6324  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328   Isom wiso 6329  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530   + caddc 10533  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  +crp 12381  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733  TopOpenctopn 16691  topGenctg 16707  fldccnfld 20095  intcnt 21626  cnccncf 23485   D cdv 24470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  24625
  Copyright terms: Public domain W3C validator