MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvrelem1 26041
Description: Lemma for dvcnvre 26043. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnvre.c (𝜑𝐶𝑋)
dvcnvre.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))

Proof of Theorem dvcnvrelem1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.d . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
2 dvbsss 25922 . . . . . 6 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
31, 2eqsstrrdi 4035 . . . . 5 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
4 dvcnvre.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
53, 4sseldd 3980 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 dvcnvre.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
76rpred 13070 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
85, 7resubcld 11692 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
95, 7readdcld 11293 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
105, 6ltsubrpd 13102 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝐶)
115, 6ltaddrpd 13103 . . . . 5 (𝜑𝐶 < (𝐶 + 𝑅))
128, 5, 9, 10, 11lttrd 11425 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑅) < (𝐶 + 𝑅))
138, 9, 12ltled 11412 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑅) ≤ (𝐶 + 𝑅))
14 dvcnvre.s . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
15 dvcnvre.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
16 rescncf 24908 . . . 4 (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋 → (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)))
1714, 15, 16sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ))
188, 9, 13, 17evthicc2 25480 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))
19 cncff 24904 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2015, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2120, 4ffvelcdmd 7099 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
238rexrd 11314 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ*)
249rexrd 11314 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ*)
25 lbicc2 13495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑅) ≤ (𝐶 + 𝑅)) → (𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
2623, 24, 13, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
2726adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
288, 5, 10ltled 11412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ≤ 𝐶)
295, 9, 11ltled 11412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))
30 elicc2 13443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
318, 9, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
325, 28, 29, 31mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
3332adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
3410adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐶𝑅) < 𝐶)
35 isorel 7338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
3736exp32 419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
3837com4l 92 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
3927, 33, 34, 38syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
4027fvresd 6921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) = (𝐹‘(𝐶𝑅)))
4133fvresd 6921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
4240, 41breq12d 5166 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)))
4339, 42sylibd 238 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)))
4420adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
4544ffund 6732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → Fun 𝐹)
4614adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
4744fdmd 6738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → dom 𝐹 = 𝑋)
4846, 47sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹)
49 funfvima2 7248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
5045, 48, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
5127, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
52 df-ima 5695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
53 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))
5452, 53eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))
5551, 54eleqtrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
56 elicc2 13443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦)))
5756ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦)))
5855, 57mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦))
5958simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)))
60 simprll 777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6114, 26sseldd 3980 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ 𝑋)
6220, 61ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ)
6362adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ)
64 lelttr 11354 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
6560, 63, 22, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
6659, 65mpand 693 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶𝑅)) < (𝐹𝐶) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
6743, 66syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
68 ubicc2 13496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑅) ≤ (𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
6923, 24, 13, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
7069adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
7111adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝐶 < (𝐶 + 𝑅))
72 isorel 7338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
7372biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
7473exp32 419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
7574com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
7633, 70, 71, 75syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
77 fvex 6914 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ∈ V
78 fvex 6914 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ V
7977, 78brcnv 5889 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶))
8070fvresd 6921 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) = (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)))
8180, 41breq12d 5166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)))
8279, 81bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)))
8376, 82sylibd 238 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)))
84 funfvima2 7248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
8545, 48, 84syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
8670, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
8786, 54eleqtrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
88 elicc2 13443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦)))
8988ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦)))
9087, 89mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦))
9190simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)))
9214, 69sseldd 3980 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ 𝑋)
9320, 92ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ)
9493adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ)
95 lelttr 11354 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
9660, 94, 22, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝑥 ≤ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶)) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
9791, 96mpand 693 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) < (𝐹𝐶) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
9883, 97syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → 𝑥 < (𝐹𝐶)))
99 ax-resscn 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
101 fss 6744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
10220, 99, 101sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
10314, 3sstrd 3990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ)
104 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
105104tgioo2 24810 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
106104, 105dvres 25931 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℝ ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
107100, 102, 3, 103, 106syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
108 iccntr 24828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
1098, 9, 108syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
110109reseq2d 5989 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))))
111107, 110eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))))
112111dmeqd 5912 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))))
113 dmres 6021 . . . . . . . . . . 11 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))) = (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
114 ioossicc 13464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))
115114, 14sstrid 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
116115, 1sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
117 dfss2 3965 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
118116, 117sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
119113, 118eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
120112, 119eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅)))
121 resss 6011 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐶𝑅)(,)(𝐶 + 𝑅))) ⊆ (ℝ D 𝐹)
122111, 121eqsstrdi 4034 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ (ℝ D 𝐹))
123 rnss 5945 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ (ℝ D 𝐹) → ran (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
125 dvcnvre.z . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
126124, 125ssneldd 3982 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
1278, 9, 17, 120, 126dvne0 26035 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∨ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
128127adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∨ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
12967, 98, 128mpjaod 858 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 < (𝐹𝐶))
130 isorel 7338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
131130biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
132131exp32 419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
133132com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶 + 𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 < (𝐶 + 𝑅) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))))
13433, 70, 71, 133syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅))))
13541, 80breq12d 5166 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅))))
136134, 135sylibd 238 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅))))
13790simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦)
138 simprlr 778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
139 ltletr 11356 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
14022, 94, 138, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
141137, 140mpan2d 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
142136, 141syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
143 isorel 7338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
144143biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
145144exp32 419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
146145com4l 92 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑅) ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → ((𝐶𝑅) < 𝐶 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))))
14727, 33, 34, 146syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶)))
148 fvex 6914 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) ∈ V
149148, 77brcnv 5889 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)))
15041, 40breq12d 5166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅))))
151149, 150bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘(𝐶𝑅)) < ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))‘𝐶) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅))))
152147, 151sylibd 238 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅))))
15358simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦)
154 ltletr 11356 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
15522, 63, 138, 154syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅)) ∧ (𝐹‘(𝐶𝑅)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
156153, 155mpan2d 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹𝐶) < (𝐹‘(𝐶𝑅)) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
157152, 156syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)), ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹𝐶) < 𝑦))
158142, 157, 128mpjaod 858 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) < 𝑦)
15960rexrd 11314 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
160138rexrd 11314 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
161 elioo2 13419 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐶) < 𝑦)))
162159, 160, 161syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐶) < 𝑦)))
16322, 129, 158, 162mpbir3and 1339 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) ∈ (𝑥(,)𝑦))
16454fveq2d 6905 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑥[,]𝑦)))
165 iccntr 24828 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑥[,]𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
166165ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑥[,]𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
167164, 166eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝑥(,)𝑦))
168163, 167eleqtrrd 2829 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦))) → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
169168expr 455 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦) → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
170169rexlimdvva 3202 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ran (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑥[,]𝑦) → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))))
17118, 170mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  cin 3946  wss 3947   class class class wbr 5153  ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683  cres 5684  cima 5685  Fun wfun 6548  wf 6550  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554   Isom wiso 6555  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158   + caddc 11161  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  +crp 13028  (,)cioo 13378  [,]cicc 13381  TopOpenctopn 17436  topGenctg 17452  fldccnfld 21343  intcnt 23012  cnccncf 24887   D cdv 25883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  26042
  Copyright terms: Public domain W3C validator