MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvrelem1 25404
Description: Lemma for dvcnvre 25406. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
dvcnvre.d (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
dvcnvre.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
dvcnvre.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))

Proof of Theorem dvcnvrelem1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
2 dvbsss 25289 . . . . . 6 dom (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ
31, 2eqsstrrdi 4003 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
4 dvcnvre.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
53, 4sseldd 3949 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6 dvcnvre.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
76rpred 12965 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
85, 7resubcld 11591 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ)
95, 7readdcld 11192 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ)
105, 6ltsubrpd 12997 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢)
115, 6ltaddrpd 12998 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 < (𝐢 + 𝑅))
128, 5, 9, 10, 11lttrd 11324 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) < (𝐢 + 𝑅))
138, 9, 12ltled 11311 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ (𝐢 + 𝑅))
14 dvcnvre.s . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
15 dvcnvre.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
16 rescncf 24283 . . . 4 (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋 β†’ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cn→ℝ)))
1714, 15, 16sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cn→ℝ))
188, 9, 13, 17evthicc2 24847 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))
19 cncff 24279 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2015, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2120, 4ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
238rexrd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ*)
249rexrd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ*)
25 lbicc2 13390 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ (𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
2623, 24, 13, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
2726adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
288, 5, 10ltled 11311 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢)
295, 9, 11ltled 11311 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))
30 elicc2 13338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))))
318, 9, 30syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))))
325, 28, 29, 31mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
3332adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
3410adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢)
35 isorel 7275 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
3736exp32 422 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))))
3837com4l 92 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))))
3927, 33, 34, 38syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
4027fvresd 6866 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) = (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)))
4133fvresd 6866 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
4240, 41breq12d 5122 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) ↔ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)))
4339, 42sylibd 238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)))
4420adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
4544ffund 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ Fun 𝐹)
4614adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
4744fdmd 6683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
4846, 47sseqtrrd 3989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom 𝐹)
49 funfvima2 7185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
5045, 48, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
5127, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
52 df-ima 5650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
53 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))
5452, 53eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))
5551, 54eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦))
56 elicc2 13338 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦)))
5756ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦)))
5855, 57mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦))
5958simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)))
60 simprll 778 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6114, 26sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ 𝑋)
6220, 61ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ)
6362adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ)
64 lelttr 11253 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
6560, 63, 22, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
6659, 65mpand 694 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
6743, 66syld 47 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
68 ubicc2 13391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ (𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
6923, 24, 13, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
7069adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
7111adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ 𝐢 < (𝐢 + 𝑅))
72 isorel 7275 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
7372biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
7473exp32 422 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))))
7574com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))))
7633, 70, 71, 75syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
77 fvex 6859 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) ∈ V
78 fvex 6859 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ V
7977, 78brcnv 5842 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ))
8070fvresd 6866 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) = (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)))
8180, 41breq12d 5122 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) ↔ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)))
8279, 81bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) ↔ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)))
8376, 82sylibd 238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)))
84 funfvima2 7185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
8545, 48, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
8670, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
8786, 54eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦))
88 elicc2 13338 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦)))
8988ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦)))
9087, 89mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦))
9190simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)))
9214, 69sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ 𝑋)
9320, 92ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ)
9493adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ)
95 lelttr 11253 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
9660, 94, 22, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((π‘₯ ≀ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
9791, 96mpand 694 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) < (πΉβ€˜πΆ) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
9883, 97syld 47 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ)))
99 ax-resscn 11116 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
101 fss 6689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
10220, 99, 101sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
10314, 3sstrd 3958 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† ℝ)
104 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
105104tgioo2 24189 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
106104, 105dvres 25298 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 βŠ† ℝ ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
107100, 102, 3, 103, 106syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
108 iccntr 24207 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
1098, 9, 108syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
110109reseq2d 5941 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))))
111107, 110eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))))
112111dmeqd 5865 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))))
113 dmres 5963 . . . . . . . . . . 11 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))) = (((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
114 ioossicc 13359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) βŠ† ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))
115114, 14sstrid 3959 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
116115, 1sseqtrrd 3989 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
117 df-ss 3931 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
118116, 117sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
119113, 118eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
120112, 119eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅)))
121 resss 5966 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)(,)(𝐢 + 𝑅))) βŠ† (ℝ D 𝐹)
122111, 121eqsstrdi 4002 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† (ℝ D 𝐹))
123 rnss 5898 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† (ℝ D 𝐹) β†’ ran (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
125 dvcnvre.z . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
126124, 125ssneldd 3951 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
1278, 9, 17, 120, 126dvne0 25398 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∨ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))))
128127adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∨ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))))
12967, 98, 128mpjaod 859 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ))
130 isorel 7275 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
131130biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
132131exp32 422 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))))
133132com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 + 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 < (𝐢 + 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))))
13433, 70, 71, 133syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅))))
13541, 80breq12d 5122 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 + 𝑅)) ↔ (πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅))))
136134, 135sylibd 238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅))))
13790simp3d 1145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦)
138 simprlr 779 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
139 ltletr 11255 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
14022, 94, 138, 139syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
141137, 140mpan2d 693 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
142136, 141syld 47 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
143 isorel 7275 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
144143biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ∧ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
145144exp32 422 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))))
146145com4l 92 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))))
14727, 33, 34, 146syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ)))
148 fvex 6859 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ V
149148, 77brcnv 5842 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) ↔ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)))
15041, 40breq12d 5122 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ↔ (πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))))
151149, 150bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))β—‘ < ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))β€˜πΆ) ↔ (πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))))
152147, 151sylibd 238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅))))
15358simp3d 1145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦)
154 ltletr 11255 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
15522, 63, 138, 154syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ∧ (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
156153, 155mpan2d 693 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) < (πΉβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
157152, 156syld 47 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) Isom < , β—‘ < (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)), ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦))
158142, 157, 128mpjaod 859 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦)
15960rexrd 11213 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
160138rexrd 11213 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
161 elioo2 13314 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ (π‘₯(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ) ∧ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦)))
162159, 160, 161syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ (π‘₯(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜πΆ) ∧ (πΉβ€˜πΆ) < 𝑦)))
16322, 129, 158, 162mpbir3and 1343 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (π‘₯(,)𝑦))
16454fveq2d 6850 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)))
165 iccntr 24207 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
166165ad2antrl 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
167164, 166eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (π‘₯(,)𝑦))
168163, 167eleqtrrd 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦))) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
169168expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))))
170169rexlimdvva 3202 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ran (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (π‘₯[,]𝑦) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))))
17118, 170mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500   Isom wiso 6501  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  TopOpenctopn 17311  topGenctg 17327  β„‚fldccnfld 20819  intcnt 22391  β€“cnβ†’ccncf 24262   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  25405
  Copyright terms: Public domain W3C validator