MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phpar2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phpar2 30626
Description: The parallelogram law for an inner product space. (Contributed by NM, 2-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isph.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isph.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
isph.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
isph.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
phpar2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))

Proof of Theorem phpar2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isph.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 isph.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 isph.3 . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
4 isph.6 . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
51, 2, 3, 4isph 30625 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
65simprbi 496 . . 3 (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))
763ad2ant1 1131 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝐴𝑋𝐵𝑋) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))
8 fvoveq1 7437 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑁‘(𝑥𝐺𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝑦)))
98oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2))
10 fvoveq1 7437 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑁‘(𝑥𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
1110oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2))
129, 11oveq12d 7432 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
13 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝐴))
1413oveq1d 7429 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁𝑥)↑2) = ((𝑁𝐴)↑2))
1514oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))
1615oveq2d 7430 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))
1712, 16eqeq12d 2744 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
18 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐺𝑦) = (𝐴𝐺𝐵))
1918fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑁‘(𝐴𝐺𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝐵)))
2019oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
21 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝑀𝑦) = (𝐴𝑀𝐵))
2221fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)))
2322oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2))
2420, 23oveq12d 7432 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)))
25 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝑁𝑦) = (𝑁𝐵))
2625oveq1d 7429 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑁𝑦)↑2) = ((𝑁𝐵)↑2))
2726oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
2827oveq2d 7430 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
2924, 28eqeq12d 2744 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))))
3017, 29rspc2v 3619 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))))
31303adant1 1128 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))))
327, 31mpd 15 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  cfv 6542  (class class class)co 7414   + caddc 11135   · cmul 11137  2c2 12291  cexp 14052  NrmCVeccnv 30387   +𝑣 cpv 30388  BaseSetcba 30389  𝑣 cnsb 30392  normCVcnmcv 30393  CPreHilOLDccphlo 30615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-sub 11470  df-neg 11471  df-grpo 30296  df-gid 30297  df-ginv 30298  df-gdiv 30299  df-ablo 30348  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-vs 30402  df-nmcv 30403  df-ph 30616
This theorem is referenced by:  minvecolem2  30678  hlpar2  30699
  Copyright terms: Public domain W3C validator