MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phpar2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phpar2 29185
Description: The parallelogram law for an inner product space. (Contributed by NM, 2-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isph.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isph.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
isph.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
isph.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
phpar2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))

Proof of Theorem phpar2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isph.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 isph.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 isph.3 . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
4 isph.6 . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
51, 2, 3, 4isph 29184 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
65simprbi 497 . . 3 (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))
763ad2ant1 1132 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝐴𝑋𝐵𝑋) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))
8 fvoveq1 7298 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑁‘(𝑥𝐺𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝑦)))
98oveq1d 7290 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2))
10 fvoveq1 7298 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑁‘(𝑥𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
1110oveq1d 7290 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2))
129, 11oveq12d 7293 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
13 fveq2 6774 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝐴))
1413oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁𝑥)↑2) = ((𝑁𝐴)↑2))
1514oveq1d 7290 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))
1615oveq2d 7291 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))
1712, 16eqeq12d 2754 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
18 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐺𝑦) = (𝐴𝐺𝐵))
1918fveq2d 6778 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑁‘(𝐴𝐺𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝐵)))
2019oveq1d 7290 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
21 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝑀𝑦) = (𝐴𝑀𝐵))
2221fveq2d 6778 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)))
2322oveq1d 7290 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2))
2420, 23oveq12d 7293 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)))
25 fveq2 6774 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝑁𝑦) = (𝑁𝐵))
2625oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑁𝑦)↑2) = ((𝑁𝐵)↑2))
2726oveq2d 7291 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)) = (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
2827oveq2d 7291 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
2924, 28eqeq12d 2754 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))))
3017, 29rspc2v 3570 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))))
31303adant1 1129 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))))
327, 31mpd 15 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  cfv 6433  (class class class)co 7275   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  cexp 13782  NrmCVeccnv 28946   +𝑣 cpv 28947  BaseSetcba 28948  𝑣 cnsb 28951  normCVcnmcv 28952  CPreHilOLDccphlo 29174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ph 29175
This theorem is referenced by:  minvecolem2  29237  hlpar2  29258
  Copyright terms: Public domain W3C validator