Theorem phpar2 30881

Description: The parallelogram law for an inner product space. (Contributed by NM, 2-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isph.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isph.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
isph.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
isph.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
phpar2	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem phpar2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isph.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		isph.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		isph.3	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
4		isph.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	isph 30880	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
6	5	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))
7	6	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))
8		fvoveq1 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑁‘(𝑥𝐺𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝑦)))
9	8	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2))
10		fvoveq1 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑁‘(𝑥𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
11	10	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2))
12	9, 11	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
13		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑁‘𝑥) = (𝑁‘𝐴))
14	13	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘𝑥)↑2) = ((𝑁‘𝐴)↑2))
15	14	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))
16	15	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))
17	12, 16	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
18		oveq2 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐺𝑦) = (𝐴𝐺𝐵))
19	18	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑁‘(𝐴𝐺𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝐵)))
20	19	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
21		oveq2 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝑀𝑦) = (𝐴𝑀𝐵))
22	21	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)))
23	22	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2))
24	20, 23	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)))
25		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑁‘𝑦) = (𝑁‘𝐵))
26	25	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑁‘𝑦)↑2) = ((𝑁‘𝐵)↑2))
27	26	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))
28	27	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))
29	24, 28	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
30	17, 29	rspc2v 3588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
31	30	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
32	7, 31	mpd 15	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   + caddc 11033   · cmul 11035  2c2 12204  ↑cexp 13988  NrmCVeccnv 30642   +_𝑣 cpv 30643  BaseSetcba 30644   −_𝑣 cnsb 30647  norm_CVcnmcv 30648  CPreHil_OLDccphlo 30870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-grpo 30551  df-gid 30552  df-ginv 30553  df-gdiv 30554  df-ablo 30603  df-vc 30617  df-nv 30650  df-va 30653  df-ba 30654  df-sm 30655  df-0v 30656  df-vs 30657  df-nmcv 30658  df-ph 30871

This theorem is referenced by:  minvecolem2  30933  hlpar2  30954