Theorem hodseqi 31034

Description: Subtraction and addition of equal Hilbert space operators. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hodseq.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hodseq.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hodseqi	⊢ (𝑆 +op (𝑇 −op 𝑆)) = 𝑇

Proof of Theorem hodseqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ (𝑇 −op 𝑆) = (𝑇 −op 𝑆)
2		hodseq.3	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		hodseq.2	. . 3 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
4	2, 3	hosubcli 31009	. . 3 ⊢ (𝑇 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
5	2, 3, 4	hodsi 31015	. 2 ⊢ ((𝑇 −op 𝑆) = (𝑇 −op 𝑆) ↔ (𝑆 +op (𝑇 −op 𝑆)) = 𝑇)
6	1, 5	mpbi 229	1 ⊢ (𝑆 +op (𝑇 −op 𝑆)) = 𝑇

Syntax hints:   = wceq 1541  ⟶wf 6536  (class class class)co 7405   ℋchba 30159   +_op chos 30178   −_op chod 30180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-hvsub 30211  df-hosum 30970  df-hodif 30972

This theorem is referenced by:  ho0subi  31035  hosd1i  31062