Theorem iooneg 12590

Description: Membership in a negated open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴)))

Proof of Theorem iooneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltneg 10859	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
2	1	3adant2 1165	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
3		ltneg 10859	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
4	3	ancoms 452	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
5	4	3adant1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
6	2, 5	anbi12d 624	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (-𝐶 < -𝐴 ∧ -𝐵 < -𝐶)))
7		ancom 454	. . 3 ⊢ ((-𝐶 < -𝐴 ∧ -𝐵 < -𝐶) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴))
8	6, 7	syl6bb 279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
9		rexr 10409	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		rexr 10409	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		rexr 10409	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
12		elioo5 12526	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
13	9, 10, 11, 12	syl3an 1203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
14		renegcl 10672	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
15		renegcl 10672	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
16		renegcl 10672	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
17		rexr 10409	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
18		rexr 10409	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
19		rexr 10409	. . . . 5 ⊢ (-𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ*)
20		elioo5 12526	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
21	17, 18, 19, 20	syl3an 1203	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
22	14, 15, 16, 21	syl3an 1203	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
23	22	3com12 1157	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
24	8, 13, 23	3bitr4d 303	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  ℝ^*cxr 10397   < clt 10398  -cneg 10593  (,)cioo 12470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-ioo 12474

This theorem is referenced by:  lhop2  24184  asinsin  25039  atanlogsub  25063  atanbnd  25073