Theorem iooneg 13498

Description: Membership in a negated open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴)))

Proof of Theorem iooneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltneg 11714	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
2	1	3adant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
3		ltneg 11714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
4	3	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
5	4	3adant1 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
6	2, 5	anbi12d 643	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (-𝐶 < -𝐴 ∧ -𝐵 < -𝐶)))
7	6	biancomd 468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
8		rexr 11255	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9		rexr 11255	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		rexr 11255	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		elioo5 13430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
12	8, 9, 10, 11	syl3an 1176	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
13		renegcl 11521	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
14		renegcl 11521	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
15		renegcl 11521	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
16		rexr 11255	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
17		rexr 11255	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
18		rexr 11255	. . . . 5 ⊢ (-𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ*)
19		elioo5 13430	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
20	16, 17, 18, 19	syl3an 1176	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
21	13, 14, 15, 20	syl3an 1176	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
22	21	3com12 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
23	7, 12, 22	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243  -cneg 11442  (,)cioo 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-ioo 13376

This theorem is referenced by:  lhop2  26143  asinsin  27023  atanlogsub  27047  atanbnd  27057