Theorem iooneg 13583

Description: Membership in a negated open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴)))

Proof of Theorem iooneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltneg 11797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
2	1	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
3		ltneg 11797	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
4	3	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
5	4	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
6	2, 5	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (-𝐶 < -𝐴 ∧ -𝐵 < -𝐶)))
7	6	biancomd 469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
8		rexr 11336	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9		rexr 11336	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		rexr 11336	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		elioo5 13515	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
12	8, 9, 10, 11	syl3an 1178	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
13		renegcl 11602	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
14		renegcl 11602	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
15		renegcl 11602	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
16		rexr 11336	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
17		rexr 11336	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
18		rexr 11336	. . . . 5 ⊢ (-𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ*)
19		elioo5 13515	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
20	16, 17, 18, 19	syl3an 1178	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
21	13, 14, 15, 20	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
22	21	3com12 1141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
23	7, 12, 22	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  -cneg 11523  (,)cioo 13457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-ioo 13461

This theorem is used by:  lhop2  26315  asinsin  27202  atanlogsub  27226  atanbnd  27236