Theorem imadomnum 10614

Description: A version of imadomg 10613 that does not require the axiom of choice ax-ac 10537. (Contributed by Vincent Gonzalez, 25-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
imadomnum	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Proof of Theorem imadomnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5663	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		inss1 4133	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
3		ssnum 10118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card)
4	2, 3	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card)
6		funres 6582	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
7		funfn 6570	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) Fn dom (𝐹 ↾ 𝐴))
8	6, 7	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn dom (𝐹 ↾ 𝐴))
9		dmres 6002	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
10	9	fneq2i 6637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn dom (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹))
11	8, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹))
12	11	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹))
13		dffn4 6802	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):(𝐴 ∩ dom 𝐹)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
14		fodomnum 10136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card → ((𝐹 ↾ 𝐴):(𝐴 ∩ dom 𝐹)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹)))
15	13, 14	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card → ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹)))
16	5, 12, 15	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
17	1, 16	eqbrtrid 5139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
18		elex 3471	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ V)
19		ssdomg 9027	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴))
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴))
21	2, 20	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴)
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴)
23		domtr 9034	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
24	17, 22, 23	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
25	24	ex 418	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  –onto→wfo 6536   ≼ cdom 8971  cardccrd 10016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-card 10020  df-acn 10023

This theorem is used by:  fimact  10615