Theorem imadomnum 10571

Description: A version of imadomg 10570 that does not require the axiom of choice ax-ac 10494. (Contributed by Vincent Gonzalez, 25-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
imadomnum	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Proof of Theorem imadomnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5661	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		inss1 4182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
3		ssnum 10075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card)
4	2, 3	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card)
6		funres 6571	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
7		funfn 6559	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) Fn dom (𝐹 ↾ 𝐴))
8	6, 7	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn dom (𝐹 ↾ 𝐴))
9		dmres 6000	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
10	9	fneq2i 6626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn dom (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹))
11	8, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹))
12	11	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹))
13		dffn4 6791	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):(𝐴 ∩ dom 𝐹)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
14		fodomnum 10093	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card → ((𝐹 ↾ 𝐴):(𝐴 ∩ dom 𝐹)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹)))
15	13, 14	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card → ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹)))
16	5, 12, 15	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
17	1, 16	eqbrtrid 5140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
18		elex 3471	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ V)
19		ssdomg 9006	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴))
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴))
21	2, 20	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴)
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴)
23		domtr 9013	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
24	17, 22, 23	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
25	24	ex 418	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5648  ran crn 5649   ↾ cres 5650   “ cima 5651  Fun wfun 6522   Fn wfn 6523  –onto→wfo 6526   ≼ cdom 8950  cardccrd 9973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-card 9977  df-acn 9980

This theorem is used by:  fimact  10572