Theorem imadomnum 10541

Description: A version of imadomg 10540 that does not require the axiom of choice ax-ac 10464. (Contributed by Vincent Gonzalez, 25-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
imadomnum	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Proof of Theorem imadomnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5672	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		inss1 4185	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
3		ssnum 10045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card)
4	2, 3	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card)
6		funres 6579	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
7		funfn 6567	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) Fn dom (𝐹 ↾ 𝐴))
8	6, 7	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn dom (𝐹 ↾ 𝐴))
9		dmres 6009	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
10	9	fneq2i 6634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn dom (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹))
11	8, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹))
12	11	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹))
13		dffn4 6799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):(𝐴 ∩ dom 𝐹)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
14		fodomnum 10063	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card → ((𝐹 ↾ 𝐴):(𝐴 ∩ dom 𝐹)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹)))
15	13, 14	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom card → ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn (𝐴 ∩ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹)))
16	5, 12, 15	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
17	1, 16	eqbrtrid 5144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
18		elex 3474	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ V)
19		ssdomg 9009	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴))
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴))
21	2, 20	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴)
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴)
23		domtr 9016	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∧ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
24	17, 22, 23	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
25	24	ex 418	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ran crn 5660   ↾ cres 5661   “ cima 5662  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  –onto→wfo 6535   ≼ cdom 8953  cardccrd 9943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-card 9947  df-acn 9950

This theorem is used by:  fimact  10542