Theorem ssnum 10011

Description: A subset of a numerable set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssnum	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem ssnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8985	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	imp 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
3		numdom 10010	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
4	2, 3	syldan 602	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  dom cdm 5652   ≼ cdom 8929  cardccrd 9909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-card 9913

This theorem is referenced by:  onssnum  10012  numacn  10021  dfac12r  10118  infdif  10179  fin23lem22  10299  ttukey2g  10488  smobeth  10559  canthnumlem  10621  gchac  10654  tskurn  10762  lbsextlem4  21254  1stcrestlem  23570  2ndcsep  23577  filssufilg  24029  ptcmplem2  24171  ptcmplem3  24172  poimirlem32  38163  ttac  43625  rn1st  45846