Theorem ssnum 9176

Description: A subset of a numerable set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssnum	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem ssnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8269	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	imp 397	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
3		numdom 9175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
4	2, 3	syldan 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3799   class class class wbr 4874  dom cdm 5343   ≼ cdom 8221  cardccrd 9075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-card 9079

This theorem is referenced by:  onssnum  9177  numacn  9186  dfac12r  9284  infdif  9347  fin23lem22  9465  ttukey2g  9654  smobeth  9724  canthnumlem  9786  gchac  9819  tskurn  9927  lbsextlem4  19523  1stcrestlem  21627  2ndcsep  21634  filssufilg  22086  ptcmplem2  22228  ptcmplem3  22229  poimirlem32  33986  ttac  38447