Theorem isf32lem8 9785

Description: Lemma for isfin3-2 9792. K sets are subsets of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) ⊆ 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.f	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
2	1	fveq1i 6674	. . 3 ⊢ (𝐾‘𝐴) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3		isf32lem.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
4	3	ssrab3 4060	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ ω
5		isf32lem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6		isf32lem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
7		isf32lem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
8	5, 6, 7, 3	isf32lem5 9782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9		isf32lem.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
10	9	fin23lem22 9752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
11	4, 8, 10	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12		f1of 6618	. . . . . 6 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω⟶𝑆)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω⟶𝑆)
14		fvco3 6763	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
15	13, 14	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
16	13	ffvelrnda 6854	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
17		fveq2 6673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
18		suceq 6259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐴))
19	18	fveq2d 6677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
20	17, 19	difeq12d 4103	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
21		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
22		fvex 6686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ V
23	22	difexi 5235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∈ V
24	20, 21, 23	fvmpt 6771	. . . . 5 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
25	16, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
26	15, 25	eqtrd 2859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
27	2, 26	syl5eq 2871	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
28	5	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
29	4, 16	sseldi 3968	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ ω)
30	28, 29	ffvelrnd 6855	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ 𝒫 𝐺)
31	30	elpwid 4553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ⊆ 𝐺)
32	31	ssdifssd 4122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ⊆ 𝐺)
33	27, 32	eqsstrd 4008	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) ⊆ 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  {crab 3145   ∖ cdif 3936   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939   ⊊ wpss 3940  𝒫 cpw 4542  ∩ cint 4879   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  ran crn 5559   ∘ ccom 5562  suc csuc 6196  ⟶wf 6354  –1-1-onto→wf1o 6357  ‘cfv 6358  ℩crio 7116  ωcom 7583   ≈ cen 8509  Fincfn 8512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-1o 8105  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371

This theorem is referenced by:  isf32lem9  9786