MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem8 9437
Description: Lemma for isfin3-2 9444. K sets are subsets of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
isf32lem8 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) ⊆ 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem8
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . 4 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
21fveq1i 6378 . . 3 (𝐾𝐴) = (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
4 ssrab2 3849 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ⊆ ω
53, 4eqsstri 3797 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ω
6 isf32lem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
7 isf32lem.b . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
8 isf32lem.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
96, 7, 8, 3isf32lem5 9434 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
10 isf32lem.e . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
1110fin23lem22 9404 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
125, 9, 11sylancr 581 . . . . . 6 (𝜑𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
13 f1of 6322 . . . . . 6 (𝐽:ω–1-1-onto𝑆𝐽:ω⟶𝑆)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽:ω⟶𝑆)
15 fvco3 6466 . . . . 5 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1614, 15sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1714ffvelrnda 6551 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
18 fveq2 6377 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐽𝐴)))
19 suceq 5975 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽𝐴))
2019fveq2d 6381 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽𝐴)))
2118, 20difeq12d 3893 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐽𝐴) → ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
22 eqid 2765 . . . . . 6 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
23 fvex 6390 . . . . . . 7 (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ V
24 difexg 4971 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ V → ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∈ V)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∈ V
2621, 22, 25fvmpt 6473 . . . . 5 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
2717, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
2816, 27eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
292, 28syl5eq 2811 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
306adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
315, 17sseldi 3761 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ ω)
3230, 31ffvelrnd 6552 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ 𝒫 𝐺)
3332elpwid 4329 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘(𝐽𝐴)) ⊆ 𝐺)
3433ssdifssd 3912 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ⊆ 𝐺)
3529, 34eqsstrd 3801 1 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) ⊆ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3731  cin 3733  wss 3734  wpss 3735  𝒫 cpw 4317   cint 4635   class class class wbr 4811  cmpt 4890  ran crn 5280  ccom 5283  suc csuc 5912  wf 6066  1-1-ontowf1o 6069  cfv 6070  crio 6804  ωcom 7265  cen 8159  Fincfn 8162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-1o 7766  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-card 9018
This theorem is referenced by:  isf32lem9  9438
  Copyright terms: Public domain W3C validator