MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem8 9776
Description: Lemma for isfin3-2 9783. K sets are subsets of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
isf32lem8 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) ⊆ 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem8
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . 4 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
21fveq1i 6670 . . 3 (𝐾𝐴) = (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
43ssrab3 4061 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ω
5 isf32lem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6 isf32lem.b . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
7 isf32lem.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
85, 6, 7, 3isf32lem5 9773 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9 isf32lem.e . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
109fin23lem22 9743 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
114, 8, 10sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
12 f1of 6614 . . . . . 6 (𝐽:ω–1-1-onto𝑆𝐽:ω⟶𝑆)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽:ω⟶𝑆)
14 fvco3 6759 . . . . 5 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1513, 14sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1613ffvelrnda 6849 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
17 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐽𝐴)))
18 suceq 6255 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽𝐴))
1918fveq2d 6673 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽𝐴)))
2017, 19difeq12d 4104 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐽𝐴) → ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
21 eqid 2826 . . . . . 6 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
22 fvex 6682 . . . . . . 7 (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ V
2322difexi 5229 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∈ V
2420, 21, 23fvmpt 6767 . . . . 5 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
2516, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
2615, 25eqtrd 2861 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
272, 26syl5eq 2873 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
285adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
294, 16sseldi 3969 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ ω)
3028, 29ffvelrnd 6850 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ 𝒫 𝐺)
3130elpwid 4556 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘(𝐽𝐴)) ⊆ 𝐺)
3231ssdifssd 4123 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ⊆ 𝐺)
3327, 32eqsstrd 4009 1 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) ⊆ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  {crab 3147  cdif 3937  cin 3939  wss 3940  wpss 3941  𝒫 cpw 4542   cint 4874   class class class wbr 5063  cmpt 5143  ran crn 5555  ccom 5558  suc csuc 6192  wf 6350  1-1-ontowf1o 6353  cfv 6354  crio 7107  ωcom 7573  cen 8500  Fincfn 8503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-1o 8098  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362
This theorem is referenced by:  isf32lem9  9777
  Copyright terms: Public domain W3C validator