MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfuncd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfuncd 17814
Description: Deduce that an operation is a functor of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfunc.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ท)
isfunc.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐ธ)
isfunc.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ท)
isfunc.j ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ธ)
isfunc.1 1 = (Idโ€˜๐ท)
isfunc.i ๐ผ = (Idโ€˜๐ธ)
isfunc.x ยท = (compโ€˜๐ท)
isfunc.o ๐‘‚ = (compโ€˜๐ธ)
isfunc.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
isfunc.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ Cat)
isfuncd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ถ)
isfuncd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต))
isfuncd.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ):(๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โŸถ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
isfuncd.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
isfuncd.5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
Assertion
Ref Expression
isfuncd (๐œ‘ โ†’ ๐น(๐ท Func ๐ธ)๐บ)
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ต   ๐ท,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐ธ,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐ป,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐น,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐บ,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   1 (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘š,๐‘›)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem isfuncd
StepHypRef Expression
1 isfuncd.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ถ)
2 isfuncd.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต))
3 isfunc.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ท)
43fvexi 6905 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
54, 4xpex 7739 . . . 4 (๐ต ร— ๐ต) โˆˆ V
6 fnex 7218 . . . 4 ((๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต) โˆง (๐ต ร— ๐ต) โˆˆ V) โ†’ ๐บ โˆˆ V)
72, 5, 6sylancl 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ V)
8 isfuncd.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ):(๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โŸถ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
9 ovex 7441 . . . . . . 7 ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ V
10 ovex 7441 . . . . . . 7 (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆˆ V
119, 10elmap 8864 . . . . . 6 ((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ):(๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โŸถ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
128, 11sylibr 233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
1312ralrimivva 3200 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
14 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐บโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ))
15 df-ov 7411 . . . . . . 7 (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) = (๐บโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
1614, 15eqtr4di 2790 . . . . . 6 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ))
17 vex 3478 . . . . . . . . . 10 ๐‘ฅ โˆˆ V
18 vex 3478 . . . . . . . . . 10 ๐‘ฆ โˆˆ V
1917, 18op1std 7984 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘ง) = ๐‘ฅ)
2019fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
2117, 18op2ndd 7985 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ง) = ๐‘ฆ)
2221fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
2320, 22oveq12d 7426 . . . . . . 7 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
24 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ง) = (๐ปโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ))
25 df-ov 7411 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) = (๐ปโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
2624, 25eqtr4di 2790 . . . . . . 7 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ง) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))
2723, 26oveq12d 7426 . . . . . 6 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
2816, 27eleq12d 2827 . . . . 5 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))))
2928ralxp 5841 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
3013, 29sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)))
31 elixp2 8894 . . 3 (๐บ โˆˆ X๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐บ โˆˆ V โˆง ๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง))))
327, 2, 30, 31syl3anbrc 1343 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ X๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)))
33 isfuncd.4 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
34 isfuncd.5 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
35343expia 1121 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
36353exp2 1354 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))))))
3736imp43 428 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
3837ralrimivv 3198 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
3938ralrimivva 3200 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
4033, 39jca 512 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
4140ralrimiva 3146 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
42 isfunc.c . . 3 ๐ถ = (Baseโ€˜๐ธ)
43 isfunc.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ท)
44 isfunc.j . . 3 ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ธ)
45 isfunc.1 . . 3 1 = (Idโ€˜๐ท)
46 isfunc.i . . 3 ๐ผ = (Idโ€˜๐ธ)
47 isfunc.x . . 3 ยท = (compโ€˜๐ท)
48 isfunc.o . . 3 ๐‘‚ = (compโ€˜๐ธ)
49 isfunc.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
50 isfunc.e . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ Cat)
513, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50isfunc 17813 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐ท Func ๐ธ)๐บ โ†” (๐น:๐ตโŸถ๐ถ โˆง ๐บ โˆˆ X๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))))
521, 32, 41, 51mpbir3and 1342 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น(๐ท Func ๐ธ)๐บ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973   โ†‘m cmap 8819  Xcixp 8890  Basecbs 17143  Hom chom 17207  compcco 17208  Catccat 17607  Idccid 17608   Func cfunc 17803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-ixp 8891  df-func 17807
This theorem is referenced by:  funcoppc  17824  funcres  17845  catcisolem  18059  funcestrcsetc  18100  funcsetcestrc  18115  1stfcl  18148  2ndfcl  18149  prfcl  18154  evlfcl  18174  curf1cl  18180  curfcl  18184  hofcl  18211  funcringcsetcALTV2  46933  funcringcsetcALTV  46956
  Copyright terms: Public domain W3C validator