MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfuncd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfuncd 17759
Description: Deduce that an operation is a functor of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfunc.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ท)
isfunc.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐ธ)
isfunc.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ท)
isfunc.j ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ธ)
isfunc.1 1 = (Idโ€˜๐ท)
isfunc.i ๐ผ = (Idโ€˜๐ธ)
isfunc.x ยท = (compโ€˜๐ท)
isfunc.o ๐‘‚ = (compโ€˜๐ธ)
isfunc.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
isfunc.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ Cat)
isfuncd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ถ)
isfuncd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต))
isfuncd.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ):(๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โŸถ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
isfuncd.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
isfuncd.5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
Assertion
Ref Expression
isfuncd (๐œ‘ โ†’ ๐น(๐ท Func ๐ธ)๐บ)
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ต   ๐ท,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐ธ,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐ป,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐น,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐บ,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   1 (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘š,๐‘›)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem isfuncd
StepHypRef Expression
1 isfuncd.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ถ)
2 isfuncd.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต))
3 isfunc.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ท)
43fvexi 6860 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
54, 4xpex 7691 . . . 4 (๐ต ร— ๐ต) โˆˆ V
6 fnex 7171 . . . 4 ((๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต) โˆง (๐ต ร— ๐ต) โˆˆ V) โ†’ ๐บ โˆˆ V)
72, 5, 6sylancl 587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ V)
8 isfuncd.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ):(๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โŸถ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
9 ovex 7394 . . . . . . 7 ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ V
10 ovex 7394 . . . . . . 7 (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆˆ V
119, 10elmap 8815 . . . . . 6 ((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ):(๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โŸถ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
128, 11sylibr 233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
1312ralrimivva 3194 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
14 fveq2 6846 . . . . . . 7 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐บโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ))
15 df-ov 7364 . . . . . . 7 (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) = (๐บโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
1614, 15eqtr4di 2791 . . . . . 6 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ))
17 vex 3451 . . . . . . . . . 10 ๐‘ฅ โˆˆ V
18 vex 3451 . . . . . . . . . 10 ๐‘ฆ โˆˆ V
1917, 18op1std 7935 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘ง) = ๐‘ฅ)
2019fveq2d 6850 . . . . . . . 8 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
2117, 18op2ndd 7936 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ง) = ๐‘ฆ)
2221fveq2d 6850 . . . . . . . 8 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
2320, 22oveq12d 7379 . . . . . . 7 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
24 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ง) = (๐ปโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ))
25 df-ov 7364 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) = (๐ปโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
2624, 25eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ง) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))
2723, 26oveq12d 7379 . . . . . 6 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
2816, 27eleq12d 2828 . . . . 5 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))))
2928ralxp 5801 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
3013, 29sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)))
31 elixp2 8845 . . 3 (๐บ โˆˆ X๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐บ โˆˆ V โˆง ๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง))))
327, 2, 30, 31syl3anbrc 1344 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ X๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)))
33 isfuncd.4 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
34 isfuncd.5 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
35343expia 1122 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
36353exp2 1355 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))))))
3736imp43 429 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
3837ralrimivv 3192 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
3938ralrimivva 3194 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
4033, 39jca 513 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
4140ralrimiva 3140 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
42 isfunc.c . . 3 ๐ถ = (Baseโ€˜๐ธ)
43 isfunc.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ท)
44 isfunc.j . . 3 ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ธ)
45 isfunc.1 . . 3 1 = (Idโ€˜๐ท)
46 isfunc.i . . 3 ๐ผ = (Idโ€˜๐ธ)
47 isfunc.x . . 3 ยท = (compโ€˜๐ท)
48 isfunc.o . . 3 ๐‘‚ = (compโ€˜๐ธ)
49 isfunc.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
50 isfunc.e . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ Cat)
513, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50isfunc 17758 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐ท Func ๐ธ)๐บ โ†” (๐น:๐ตโŸถ๐ถ โˆง ๐บ โˆˆ X๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))))
521, 32, 41, 51mpbir3and 1343 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น(๐ท Func ๐ธ)๐บ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447  โŸจcop 4596   class class class wbr 5109   ร— cxp 5635   Fn wfn 6495  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924   โ†‘m cmap 8771  Xcixp 8841  Basecbs 17091  Hom chom 17152  compcco 17153  Catccat 17552  Idccid 17553   Func cfunc 17748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-ixp 8842  df-func 17752
This theorem is referenced by:  funcoppc  17769  funcres  17790  catcisolem  18004  funcestrcsetc  18045  funcsetcestrc  18060  1stfcl  18093  2ndfcl  18094  prfcl  18099  evlfcl  18119  curf1cl  18125  curfcl  18129  hofcl  18156  funcringcsetcALTV2  46433  funcringcsetcALTV  46456
  Copyright terms: Public domain W3C validator