MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfuncd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfuncd 17819
Description: Deduce that an operation is a functor of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfunc.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ท)
isfunc.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐ธ)
isfunc.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ท)
isfunc.j ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ธ)
isfunc.1 1 = (Idโ€˜๐ท)
isfunc.i ๐ผ = (Idโ€˜๐ธ)
isfunc.x ยท = (compโ€˜๐ท)
isfunc.o ๐‘‚ = (compโ€˜๐ธ)
isfunc.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
isfunc.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ Cat)
isfuncd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ถ)
isfuncd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต))
isfuncd.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ):(๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โŸถ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
isfuncd.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
isfuncd.5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
Assertion
Ref Expression
isfuncd (๐œ‘ โ†’ ๐น(๐ท Func ๐ธ)๐บ)
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ต   ๐ท,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐ธ,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐ป,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐น,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐บ,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   1 (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘š,๐‘›)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem isfuncd
StepHypRef Expression
1 isfuncd.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ถ)
2 isfuncd.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต))
3 isfunc.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ท)
43fvexi 6904 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
54, 4xpex 7742 . . . 4 (๐ต ร— ๐ต) โˆˆ V
6 fnex 7220 . . . 4 ((๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต) โˆง (๐ต ร— ๐ต) โˆˆ V) โ†’ ๐บ โˆˆ V)
72, 5, 6sylancl 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ V)
8 isfuncd.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ):(๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โŸถ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
9 ovex 7444 . . . . . . 7 ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ V
10 ovex 7444 . . . . . . 7 (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆˆ V
119, 10elmap 8867 . . . . . 6 ((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ):(๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โŸถ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
128, 11sylibr 233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
1312ralrimivva 3198 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
14 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐บโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ))
15 df-ov 7414 . . . . . . 7 (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) = (๐บโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
1614, 15eqtr4di 2788 . . . . . 6 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ))
17 vex 3476 . . . . . . . . . 10 ๐‘ฅ โˆˆ V
18 vex 3476 . . . . . . . . . 10 ๐‘ฆ โˆˆ V
1917, 18op1std 7987 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘ง) = ๐‘ฅ)
2019fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
2117, 18op2ndd 7988 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ง) = ๐‘ฆ)
2221fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
2320, 22oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
24 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ง) = (๐ปโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ))
25 df-ov 7414 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) = (๐ปโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
2624, 25eqtr4di 2788 . . . . . . 7 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ง) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))
2723, 26oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
2816, 27eleq12d 2825 . . . . 5 (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))))
2928ralxp 5840 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ) โˆˆ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†‘m (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
3013, 29sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)))
31 elixp2 8897 . . 3 (๐บ โˆˆ X๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐บ โˆˆ V โˆง ๐บ Fn (๐ต ร— ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง))))
327, 2, 30, 31syl3anbrc 1341 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ X๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)))
33 isfuncd.4 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
34 isfuncd.5 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
35343expia 1119 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
36353exp2 1352 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))))))
3736imp43 426 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
3837ralrimivv 3196 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
3938ralrimivva 3198 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š)))
4033, 39jca 510 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
4140ralrimiva 3144 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))
42 isfunc.c . . 3 ๐ถ = (Baseโ€˜๐ธ)
43 isfunc.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ท)
44 isfunc.j . . 3 ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ธ)
45 isfunc.1 . . 3 1 = (Idโ€˜๐ท)
46 isfunc.i . . 3 ๐ผ = (Idโ€˜๐ธ)
47 isfunc.x . . 3 ยท = (compโ€˜๐ท)
48 isfunc.o . . 3 ๐‘‚ = (compโ€˜๐ธ)
49 isfunc.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
50 isfunc.e . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ Cat)
513, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50isfunc 17818 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐ท Func ๐ธ)๐บ โ†” (๐น:๐ตโŸถ๐ถ โˆง ๐บ โˆˆ X๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)(((๐นโ€˜(1st โ€˜๐‘ง))๐ฝ(๐นโ€˜(2nd โ€˜๐‘ง))) โ†‘m (๐ปโ€˜๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((๐‘ฅ๐บ๐‘ฅ)โ€˜( 1 โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘š โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘› โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘ฅ๐บ๐‘ง)โ€˜(๐‘›(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘š)) = (((๐‘ฆ๐บ๐‘ง)โ€˜๐‘›)(โŸจ(๐นโ€˜๐‘ฅ), (๐นโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ๐‘‚(๐นโ€˜๐‘ง))((๐‘ฅ๐บ๐‘ฆ)โ€˜๐‘š))))))
521, 32, 41, 51mpbir3and 1340 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น(๐ท Func ๐ธ)๐บ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  Vcvv 3472  โŸจcop 4633   class class class wbr 5147   ร— cxp 5673   Fn wfn 6537  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976   โ†‘m cmap 8822  Xcixp 8893  Basecbs 17148  Hom chom 17212  compcco 17213  Catccat 17612  Idccid 17613   Func cfunc 17808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-ixp 8894  df-func 17812
This theorem is referenced by:  funcoppc  17829  funcres  17850  catcisolem  18064  funcestrcsetc  18105  funcsetcestrc  18120  1stfcl  18153  2ndfcl  18154  prfcl  18159  evlfcl  18179  curf1cl  18185  curfcl  18189  hofcl  18216  funcringcsetcALTV2  47031  funcringcsetcALTV  47054
  Copyright terms: Public domain W3C validator