Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itrere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itrere 39578
Description: i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
itrere (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem itrere
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-rrecex 10602 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑅 · 𝑥) = 1)
2 sn-inelr 39577 . . . . . 6 ¬ i ∈ ℝ
3 ax-icn 10589 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
5 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
65recnd 10662 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
7 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
87recnd 10662 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
94, 6, 8mulassd 10657 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · 𝑥) = (i · (𝑅 · 𝑥)))
10 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) = 1)
1110oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · (𝑅 · 𝑥)) = (i · 1))
12 it1ei 39560 . . . . . . . . . 10 (i · 1) = i
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 1) = i)
149, 11, 133eqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · 𝑥) = i)
15 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
1615, 7remulcld 10664 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · 𝑥) ∈ ℝ)
1714, 16eqeltrrd 2894 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
1817ex 416 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
192, 18mtoi 202 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ)
201, 19rexlimddv 3253 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ)
2120ex 416 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ))
2221necon4ad 3009 . 2 (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
23 oveq2 7147 . . 3 (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) = (i · 0))
24 sn-it0e0 39539 . . . 4 (i · 0) = 0
25 0re 10636 . . . 4 0 ∈ ℝ
2624, 25eqeltri 2889 . . 3 (i · 0) ∈ ℝ
2723, 26eqeltrdi 2901 . 2 (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
2822, 27impbid1 228 1 (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   · cmul 10535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-2 11692  df-3 11693  df-resub 39491
This theorem is referenced by:  cnreeu  39580
  Copyright terms: Public domain W3C validator