Theorem itrere 40357

Description: i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itrere	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem itrere

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rrecex 10874	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑅 · 𝑥) = 1)
2		sn-inelr 40356	. . . . . 6 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
3		ax-icn 10861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
5		simplll 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
6	5	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
7		simplrl 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	4, 6, 8	mulassd 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · 𝑥) = (i · (𝑅 · 𝑥)))
10		simplrr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) = 1)
11	10	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · (𝑅 · 𝑥)) = (i · 1))
12		it1ei 40339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 1) = i
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 1) = i)
14	9, 11, 13	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · 𝑥) = i)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
16	15, 7	remulcld 10936	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · 𝑥) ∈ ℝ)
17	14, 16	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
18	17	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
19	2, 18	mtoi 198	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ)
20	1, 19	rexlimddv 3219	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ)
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ))
22	21	necon4ad 2961	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
23		oveq2 7263	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) = (i · 0))
24		sn-it0e0 40318	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
25		0re 10908	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
26	24, 25	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ (i · 0) ∈ ℝ
27	23, 26	eqeltrdi 2847	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
28	22, 27	impbid1 224	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   · cmul 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-2 11966  df-3 11967  df-resub 40270

This theorem is referenced by:  cnreeu  40359