Theorem itrere 42353

Description: i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
itrere	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem itrere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inelr 12256	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		ax-icn 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
4		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
6		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
7	3, 5, 6	divcan4d 12049	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) / 𝑅) = i)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
9	8, 4, 6	redivcld 12095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
10	7, 9	eqeltrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
11	10	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
12	1, 11	mtoi 199	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ)
13	12	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ))
14	13	necon4ad 2959	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
15		oveq2 7439	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) = (i · 0))
16		it0e0 12488	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
17		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
18	16, 17	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ (i · 0) ∈ ℝ
19	15, 18	eqeltrdi 2849	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
20	14, 19	impbid1 225	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  ici 11157   · cmul 11160   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  retire  42354