Theorem lnfnmul 30311

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfnmul	⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnfnmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6755	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
2		fveq1 6755	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝐵) = (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵))
3	2	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ↔ (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵))))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))))
6		0lnfn 30248	. . . . 5 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
7	6	elimel 4525	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
8	7	lnfnmuli 30307	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))
9	5, 8	dedth 4514	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵))))
10	9	3impib 1114	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  {csn 4558   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807   ℋchba 29182   ·_ℎ csm 29184  LinFnclf 29217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-lnfn 30111

This theorem is referenced by:  kbass4  30382