Theorem lnfnmul 32125

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfnmul	⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnfnmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
2		fveq1 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝐵) = (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵))
3	2	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ↔ (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵))))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))))
6		0lnfn 32062	. . . . 5 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
7	6	elimel 4549	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
8	7	lnfnmuli 32121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))
9	5, 8	dedth 4538	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵))))
10	9	3impib 1116	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4479  {csn 4580   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033   ℋchba 30996   ·_ℎ csm 30998  LinFnclf 31031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-hilex 31076  ax-hfvadd 31077  ax-hv0cl 31080  ax-hvaddid 31081  ax-hfvmul 31082  ax-hvmulid 31083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-lnfn 31925

This theorem is referenced by:  kbass4  32196