Theorem lnfnmul 32138

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfnmul	⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnfnmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
2		fveq1 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝐵) = (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵))
3	2	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2755	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ↔ (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵))))
5	4	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))))
6		0lnfn 32075	. . . . 5 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
7	6	elimel 4525	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
8	7	lnfnmuli 32134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))
9	5, 8	dedth 4514	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵))))
10	9	3impib 1122	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ifcif 4455  {csn 4556   × cxp 5617  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  0cc0 11030   · cmul 11035   ℋchba 31009   ·_ℎ csm 31011  LinFnclf 31044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-hilex 31089  ax-hfvadd 31090  ax-hv0cl 31093  ax-hvaddid 31094  ax-hfvmul 31095  ax-hvmulid 31096

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-sub 11371  df-lnfn 31938

This theorem is referenced by:  kbass4  32209