Theorem lnfnmul 32252

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfnmul	⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnfnmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
2		fveq1 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝐵) = (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵))
3	2	oveq2d 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ↔ (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵))))
5	4	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))))
6		0lnfn 32189	. . . . 5 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
7	6	elimel 4551	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
8	7	lnfnmuli 32248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐵)))
9	5, 8	dedth 4540	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵))))
10	9	3impib 1130	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ifcif 4481  {csn 4583   × cxp 5646  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  0cc0 11074   · cmul 11079   ℋchba 31123   ·_ℎ csm 31125  LinFnclf 31158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-hilex 31203  ax-hfvadd 31204  ax-hv0cl 31207  ax-hvaddid 31208  ax-hfvmul 31209  ax-hvmulid 31210

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-ltxr 11222  df-sub 11417  df-lnfn 32052

This theorem is referenced by:  kbass4  32323