Theorem divcan1d 11270

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1364	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  (class class class)co 7021  ℂcc 10386  0cc0 10388   · cmul 10393   / cdiv 11150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-po 5367  df-so 5368  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151

This theorem is referenced by:  ldiv  11327  ltdiv23  11384  lediv23  11385  recp1lt1  11391  ledivp1  11395  subhalfhalf  11724  xp1d2m1eqxm1d2  11744  div4p1lem1div2  11745  qmulz  12205  iccf1o  12737  ltdifltdiv  13059  bcpasc  13536  sqrtdiv  14464  geo2sum  15067  sqrt2irrlem  15439  dvdsval2  15448  flodddiv4t2lthalf  15605  bitsres  15660  bitsuz  15661  mulgcddvds  15833  qredeq  15835  isprm6  15892  qmuldeneqnum  15921  hashgcdlem  15959  pcqdiv  16028  pockthlem  16075  prmreclem3  16088  4sqlem5  16112  4sqlem12  16126  4sqlem15  16129  sylow3lem4  18490  odadd1  18696  odadd2  18697  gexexlem  18700  pgpfac1lem3a  18920  pgpfac1lem3  18921  znidomb  20395  znrrg  20399  nmoleub2lem  23406  nmoleub3  23411  i1fmullem  23983  mbfi1fseqlem3  24006  mbfi1fseqlem4  24007  mbfi1fseqlem5  24008  dvcnp2  24205  dvlip  24278  plydivlem4  24573  cosne0  24800  advlogexp  24924  root1id  25021  cxplogb  25050  ang180lem1  25073  ang180lem3  25075  angpieqvd  25095  chordthmlem  25096  dcubic2  25108  dcubic  25110  dquartlem2  25116  cxploglim2  25243  fsumdvdsdiaglem  25447  logexprlim  25488  bposlem3  25549  lgslem1  25560  gausslemma2dlem1a  25628  lgsquadlem1  25643  2lgslem1a1  25652  log2sumbnd  25807  chpdifbndlem1  25816  selberg4lem1  25823  pntrlog2bndlem3  25842  pntibndlem2  25854  pntlemr  25865  ostth2lem3  25898  ostth2  25900  ostth3  25901  axcontlem7  26444  blocnilem  28277  qqhval2lem  30844  cndprobin  31314  itgexpif  31499  faclimlem1  32589  faclimlem3  32591  nn0prpwlem  33285  itg2addnclem3  34501  bfplem1  34657  rrncmslem  34667  rrnequiv  34670  pellexlem6  38941  jm2.19  39100  jm2.27c  39114  gcddvdsd  40084  binomcxplemnotnn0  40251  sineq0ALT  40835  xralrple2  41188  ltdiv23neg  41232  stoweidlem42  41895  stirlinglem3  41929  dirkertrigeq  41954  dirkercncflem2  41957  dirkercncflem4  41959  fourierdlem4  41964  fourierdlem63  42022  fourierdlem65  42024  fourierdlem83  42042  fourierdlem89  42048  fourierdlem90  42049  fourierdlem91  42050  etransclem38  42125  smfmullem1  42634  sigarcol  42689  sharhght  42690  proththd  43287  mod0mul  44086  nn0sumshdiglemA  44186  rrx2vlinest  44235