Theorem divcan1d 12075

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11964	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181   · cmul 11186   / cdiv 11954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by:  ldiv  12132  ltdiv23  12189  lediv23  12190  recp1lt1  12196  ledivp1  12200  subhalfhalf  12561  xp1d2m1eqxm1d2  12581  div4p1lem1div2  12582  qmulz  13059  iccf1o  13608  ltdifltdiv  13954  bcpasc  14445  sqrtdiv  15412  geo2sum  16022  sqrt2irrlem  16396  dvdsval2  16405  flodddiv4t2lthalf  16568  bitsres  16623  bitsuz  16624  dvdsgcdidd  16690  mulgcddvds  16810  qredeq  16812  isprm6  16870  qmuldeneqnum  16903  hashgcdlem  16945  pcqdiv  17015  pockthlem  17063  prmreclem3  17076  4sqlem5  17100  4sqlem12  17114  4sqlem15  17117  sylow3lem4  19824  odadd1  20042  odadd2  20043  gexexlem  20046  pgpfac1lem3a  20272  pgpfac1lem3  20273  znidomb  21847  znrrg  21851  nmoleub2lem  25415  nmoleub3  25420  i1fmullem  25995  mbfi1fseqlem3  26018  mbfi1fseqlem4  26019  mbfi1fseqlem5  26020  dvcnp2  26220  dvlip  26293  plydivlem4  26599  cosne0  26839  advlogexp  26965  root1id  27064  cxplogb  27096  ang180lem1  27119  ang180lem3  27121  angpieqvd  27141  chordthmlem  27142  dcubic2  27154  dcubic  27156  dquartlem2  27162  cxploglim2  27288  fsumdvdsdiaglem  27492  logexprlim  27534  bposlem3  27595  lgslem1  27606  gausslemma2dlem1a  27674  lgsquadlem1  27689  2lgslem1a1  27698  log2sumbnd  27853  chpdifbndlem1  27862  selberg4lem1  27869  pntrlog2bndlem3  27888  pntibndlem2  27900  pntlemr  27911  ostth2lem3  27944  ostth2  27946  ostth3  27947  axcontlem7  29530  blocnilem  31388  zringfrac  34068  constrrtcclem  34348  cos9thpiminplylem2  34397  qqhval2lem  34595  cndprobin  35049  itgexpif  35218  faclimlem1  36477  faclimlem3  36479  nn0prpwlem  37080  itg2addnclem3  38559  bfplem1  38724  rrncmslem  38734  rrnequiv  38737  nnproddivdvdsd  43018  lcmineqlem12  43058  3lexlogpow5ineq2  43073  3lexlogpow2ineq1  43076  aks4d1p8  43105  unitscyglem2  43214  readvrec2  43380  pellexlem6  43794  jm2.19  43953  jm2.27c  43967  binomcxplemnotnn0  45299  sineq0ALT  45878  xralrple2  46310  ltdiv23neg  46349  stoweidlem42  46996  stirlinglem3  47030  dirkertrigeq  47055  dirkercncflem2  47058  dirkercncflem4  47060  fourierdlem4  47065  fourierdlem63  47123  fourierdlem65  47125  fourierdlem83  47143  fourierdlem89  47149  fourierdlem90  47150  fourierdlem91  47151  etransclem38  47226  smfmullem1  47745  sigarcol  47818  sharhght  47819  mod0mul  48376  proththd  48643  nn0sumshdiglemA  49675  rrx2vlinest  49797