Theorem divcan1d 11918

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031   / cdiv 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795

This theorem is referenced by:  ldiv  11975  ltdiv23  12033  lediv23  12034  recp1lt1  12040  ledivp1  12044  subhalfhalf  12375  xp1d2m1eqxm1d2  12395  div4p1lem1div2  12396  qmulz  12864  iccf1o  13412  ltdifltdiv  13754  bcpasc  14244  sqrtdiv  15188  geo2sum  15796  sqrt2irrlem  16173  dvdsval2  16182  flodddiv4t2lthalf  16345  bitsres  16400  bitsuz  16401  dvdsgcdidd  16464  mulgcddvds  16582  qredeq  16584  isprm6  16641  qmuldeneqnum  16674  hashgcdlem  16715  pcqdiv  16785  pockthlem  16833  prmreclem3  16846  4sqlem5  16870  4sqlem12  16884  4sqlem15  16887  sylow3lem4  19559  odadd1  19777  odadd2  19778  gexexlem  19781  pgpfac1lem3a  20007  pgpfac1lem3  20008  znidomb  21516  znrrg  21520  nmoleub2lem  25070  nmoleub3  25075  i1fmullem  25651  mbfi1fseqlem3  25674  mbfi1fseqlem4  25675  mbfi1fseqlem5  25676  dvcnp2  25877  dvcnp2OLD  25878  dvlip  25954  plydivlem4  26260  cosne0  26494  advlogexp  26620  root1id  26720  cxplogb  26752  ang180lem1  26775  ang180lem3  26777  angpieqvd  26797  chordthmlem  26798  dcubic2  26810  dcubic  26812  dquartlem2  26818  cxploglim2  26945  fsumdvdsdiaglem  27149  logexprlim  27192  bposlem3  27253  lgslem1  27264  gausslemma2dlem1a  27332  lgsquadlem1  27347  2lgslem1a1  27356  log2sumbnd  27511  chpdifbndlem1  27520  selberg4lem1  27527  pntrlog2bndlem3  27546  pntibndlem2  27558  pntlemr  27569  ostth2lem3  27602  ostth2  27604  ostth3  27605  axcontlem7  29043  blocnilem  30879  zringfrac  33635  constrrtcclem  33891  cos9thpiminplylem2  33940  qqhval2lem  34138  cndprobin  34591  itgexpif  34763  faclimlem1  35937  faclimlem3  35939  nn0prpwlem  36516  itg2addnclem3  37870  bfplem1  38019  rrncmslem  38029  rrnequiv  38032  nnproddivdvdsd  42250  lcmineqlem12  42290  3lexlogpow5ineq2  42305  3lexlogpow2ineq1  42308  aks4d1p8  42337  unitscyglem2  42446  readvrec2  42612  pellexlem6  43072  jm2.19  43231  jm2.27c  43245  binomcxplemnotnn0  44593  sineq0ALT  45173  xralrple2  45595  ltdiv23neg  45634  stoweidlem42  46282  stirlinglem3  46316  dirkertrigeq  46341  dirkercncflem2  46344  dirkercncflem4  46346  fourierdlem4  46351  fourierdlem63  46409  fourierdlem65  46411  fourierdlem83  46429  fourierdlem89  46435  fourierdlem90  46436  fourierdlem91  46437  etransclem38  46512  smfmullem1  47031  sigarcol  47104  sharhght  47105  mod0mul  47598  proththd  47856  nn0sumshdiglemA  48861  rrx2vlinest  48983