Theorem divcan1d 11983

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   · cmul 11093   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  ldiv  12040  ltdiv23  12097  lediv23  12098  recp1lt1  12104  ledivp1  12108  subhalfhalf  12469  xp1d2m1eqxm1d2  12489  div4p1lem1div2  12490  qmulz  12966  iccf1o  13514  ltdifltdiv  13858  bcpasc  14348  sqrtdiv  15306  geo2sum  15917  sqrt2irrlem  16294  dvdsval2  16303  flodddiv4t2lthalf  16466  bitsres  16521  bitsuz  16522  dvdsgcdidd  16585  mulgcddvds  16703  qredeq  16705  isprm6  16763  qmuldeneqnum  16796  hashgcdlem  16837  pcqdiv  16907  pockthlem  16955  prmreclem3  16968  4sqlem5  16992  4sqlem12  17006  4sqlem15  17009  sylow3lem4  19691  odadd1  19909  odadd2  19910  gexexlem  19913  pgpfac1lem3a  20139  pgpfac1lem3  20140  znidomb  21671  znrrg  21675  nmoleub2lem  25234  nmoleub3  25239  i1fmullem  25814  mbfi1fseqlem3  25837  mbfi1fseqlem4  25838  mbfi1fseqlem5  25839  dvcnp2  26040  dvlip  26113  plydivlem4  26418  cosne0  26652  advlogexp  26778  root1id  26877  cxplogb  26909  ang180lem1  26932  ang180lem3  26934  angpieqvd  26954  chordthmlem  26955  dcubic2  26967  dcubic  26969  dquartlem2  26975  cxploglim2  27101  fsumdvdsdiaglem  27305  logexprlim  27347  bposlem3  27408  lgslem1  27419  gausslemma2dlem1a  27487  lgsquadlem1  27502  2lgslem1a1  27511  log2sumbnd  27666  chpdifbndlem1  27675  selberg4lem1  27682  pntrlog2bndlem3  27701  pntibndlem2  27713  pntlemr  27724  ostth2lem3  27757  ostth2  27759  ostth3  27760  axcontlem7  29229  blocnilem  31065  zringfrac  33761  constrrtcclem  34041  cos9thpiminplylem2  34090  qqhval2lem  34288  cndprobin  34741  itgexpif  34910  faclimlem1  36106  faclimlem3  36108  nn0prpwlem  36695  itg2addnclem3  38184  bfplem1  38333  rrncmslem  38343  rrnequiv  38346  nnproddivdvdsd  42629  lcmineqlem12  42669  3lexlogpow5ineq2  42684  3lexlogpow2ineq1  42687  aks4d1p8  42716  unitscyglem2  42825  readvrec2  42982  pellexlem6  43423  jm2.19  43582  jm2.27c  43596  binomcxplemnotnn0  44930  sineq0ALT  45510  xralrple2  45928  ltdiv23neg  45967  stoweidlem42  46614  stirlinglem3  46648  dirkertrigeq  46673  dirkercncflem2  46676  dirkercncflem4  46678  fourierdlem4  46683  fourierdlem63  46741  fourierdlem65  46743  fourierdlem83  46761  fourierdlem89  46767  fourierdlem90  46768  fourierdlem91  46769  etransclem38  46844  smfmullem1  47363  sigarcol  47436  sharhght  47437  mod0mul  47954  proththd  48221  nn0sumshdiglemA  49250  rrx2vlinest  49372