Theorem divcan1d 12098

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11987	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204   · cmul 11209   / cdiv 11977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978

This theorem is used by:  ldiv  12155  ltdiv23  12212  lediv23  12213  recp1lt1  12219  ledivp1  12223  subhalfhalf  12584  xp1d2m1eqxm1d2  12604  div4p1lem1div2  12605  qmulz  13082  iccf1o  13631  ltdifltdiv  13978  bcpasc  14469  sqrtdiv  15438  geo2sum  16048  sqrt2irrlem  16422  dvdsval2  16431  flodddiv4t2lthalf  16594  bitsres  16649  bitsuz  16650  dvdsgcdidd  16716  mulgcddvds  16836  qredeq  16838  isprm6  16896  qmuldeneqnum  16929  hashgcdlem  16971  pcqdiv  17041  pockthlem  17089  prmreclem3  17102  4sqlem5  17126  4sqlem12  17140  4sqlem15  17143  sylow3lem4  19850  odadd1  20068  odadd2  20069  gexexlem  20072  pgpfac1lem3a  20298  pgpfac1lem3  20299  znidomb  21873  znrrg  21877  nmoleub2lem  25441  nmoleub3  25446  i1fmullem  26021  mbfi1fseqlem3  26044  mbfi1fseqlem4  26045  mbfi1fseqlem5  26046  dvcnp2  26246  dvlip  26319  plydivlem4  26623  cosne0  26863  advlogexp  26989  root1id  27088  cxplogb  27120  ang180lem1  27143  ang180lem3  27145  angpieqvd  27165  chordthmlem  27166  dcubic2  27178  dcubic  27180  dquartlem2  27186  cxploglim2  27312  fsumdvdsdiaglem  27516  logexprlim  27558  bposlem3  27619  lgslem1  27630  gausslemma2dlem1a  27698  lgsquadlem1  27713  2lgslem1a1  27722  log2sumbnd  27877  chpdifbndlem1  27886  selberg4lem1  27893  pntrlog2bndlem3  27912  pntibndlem2  27924  pntlemr  27935  ostth2lem3  27968  ostth2  27970  ostth3  27971  axcontlem7  29554  blocnilem  31412  zringfrac  34133  constrrtcclem  34413  cos9thpiminplylem2  34462  qqhval2lem  34660  cndprobin  35113  itgexpif  35282  faclimlem1  36601  faclimlem3  36603  nn0prpwlem  37203  itg2addnclem3  38685  bfplem1  38850  rrncmslem  38860  rrnequiv  38863  nnproddivdvdsd  43144  lcmineqlem12  43184  3lexlogpow5ineq2  43199  3lexlogpow2ineq1  43202  aks4d1p8  43231  unitscyglem2  43340  readvrec2  43506  pellexlem6  43935  jm2.19  44094  jm2.27c  44108  binomcxplemnotnn0  45434  sineq0ALT  46013  xralrple2  46460  ltdiv23neg  46499  stoweidlem42  47146  stirlinglem3  47180  dirkertrigeq  47205  dirkercncflem2  47208  dirkercncflem4  47210  fourierdlem4  47215  fourierdlem63  47273  fourierdlem65  47275  fourierdlem83  47293  fourierdlem89  47299  fourierdlem90  47300  fourierdlem91  47301  etransclem38  47376  smfmullem1  47895  sigarcol  47968  sharhght  47969  mod0mul  48526  proththd  48793  nn0sumshdiglemA  49825  rrx2vlinest  49947