Theorem divcan1d 11930

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   · cmul 11041   / cdiv 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806

This theorem is referenced by:  ldiv  11987  ltdiv23  12045  lediv23  12046  recp1lt1  12052  ledivp1  12056  subhalfhalf  12409  xp1d2m1eqxm1d2  12429  div4p1lem1div2  12430  qmulz  12899  iccf1o  13447  ltdifltdiv  13791  bcpasc  14281  sqrtdiv  15225  geo2sum  15836  sqrt2irrlem  16213  dvdsval2  16222  flodddiv4t2lthalf  16385  bitsres  16440  bitsuz  16441  dvdsgcdidd  16504  mulgcddvds  16622  qredeq  16624  isprm6  16682  qmuldeneqnum  16715  hashgcdlem  16756  pcqdiv  16826  pockthlem  16874  prmreclem3  16887  4sqlem5  16911  4sqlem12  16925  4sqlem15  16928  sylow3lem4  19603  odadd1  19821  odadd2  19822  gexexlem  19825  pgpfac1lem3a  20051  pgpfac1lem3  20052  znidomb  21543  znrrg  21547  nmoleub2lem  25106  nmoleub3  25111  i1fmullem  25686  mbfi1fseqlem3  25709  mbfi1fseqlem4  25710  mbfi1fseqlem5  25711  dvcnp2  25912  dvlip  25985  plydivlem4  26287  cosne0  26518  advlogexp  26644  root1id  26743  cxplogb  26775  ang180lem1  26798  ang180lem3  26800  angpieqvd  26820  chordthmlem  26821  dcubic2  26833  dcubic  26835  dquartlem2  26841  cxploglim2  26967  fsumdvdsdiaglem  27171  logexprlim  27213  bposlem3  27274  lgslem1  27285  gausslemma2dlem1a  27353  lgsquadlem1  27368  2lgslem1a1  27377  log2sumbnd  27532  chpdifbndlem1  27541  selberg4lem1  27548  pntrlog2bndlem3  27567  pntibndlem2  27579  pntlemr  27590  ostth2lem3  27623  ostth2  27625  ostth3  27626  axcontlem7  29064  blocnilem  30900  zringfrac  33644  constrrtcclem  33925  cos9thpiminplylem2  33974  qqhval2lem  34172  cndprobin  34625  itgexpif  34797  faclimlem1  35978  faclimlem3  35980  nn0prpwlem  36557  itg2addnclem3  38047  bfplem1  38196  rrncmslem  38206  rrnequiv  38209  nnproddivdvdsd  42492  lcmineqlem12  42532  3lexlogpow5ineq2  42547  3lexlogpow2ineq1  42550  aks4d1p8  42579  unitscyglem2  42688  readvrec2  42845  pellexlem6  43286  jm2.19  43445  jm2.27c  43459  binomcxplemnotnn0  44807  sineq0ALT  45387  xralrple2  45806  ltdiv23neg  45845  stoweidlem42  46492  stirlinglem3  46526  dirkertrigeq  46551  dirkercncflem2  46554  dirkercncflem4  46556  fourierdlem4  46561  fourierdlem63  46619  fourierdlem65  46621  fourierdlem83  46639  fourierdlem89  46645  fourierdlem90  46646  fourierdlem91  46647  etransclem38  46722  smfmullem1  47241  sigarcol  47314  sharhght  47315  mod0mul  47832  proththd  48099  nn0sumshdiglemA  49117  rrx2vlinest  49239