Theorem divcan1d 11919

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11806	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  ldiv  11976  ltdiv23  12034  lediv23  12035  recp1lt1  12041  ledivp1  12045  subhalfhalf  12376  xp1d2m1eqxm1d2  12396  div4p1lem1div2  12397  qmulz  12870  iccf1o  13417  ltdifltdiv  13756  bcpasc  14246  sqrtdiv  15190  geo2sum  15798  sqrt2irrlem  16175  dvdsval2  16184  flodddiv4t2lthalf  16347  bitsres  16402  bitsuz  16403  dvdsgcdidd  16466  mulgcddvds  16584  qredeq  16586  isprm6  16643  qmuldeneqnum  16676  hashgcdlem  16717  pcqdiv  16787  pockthlem  16835  prmreclem3  16848  4sqlem5  16872  4sqlem12  16886  4sqlem15  16889  sylow3lem4  19527  odadd1  19745  odadd2  19746  gexexlem  19749  pgpfac1lem3a  19975  pgpfac1lem3  19976  znidomb  21486  znrrg  21490  nmoleub2lem  25030  nmoleub3  25035  i1fmullem  25611  mbfi1fseqlem3  25634  mbfi1fseqlem4  25635  mbfi1fseqlem5  25636  dvcnp2  25837  dvcnp2OLD  25838  dvlip  25914  plydivlem4  26220  cosne0  26454  advlogexp  26580  root1id  26680  cxplogb  26712  ang180lem1  26735  ang180lem3  26737  angpieqvd  26757  chordthmlem  26758  dcubic2  26770  dcubic  26772  dquartlem2  26778  cxploglim2  26905  fsumdvdsdiaglem  27109  logexprlim  27152  bposlem3  27213  lgslem1  27224  gausslemma2dlem1a  27292  lgsquadlem1  27307  2lgslem1a1  27316  log2sumbnd  27471  chpdifbndlem1  27480  selberg4lem1  27487  pntrlog2bndlem3  27506  pntibndlem2  27518  pntlemr  27529  ostth2lem3  27562  ostth2  27564  ostth3  27565  axcontlem7  28933  blocnilem  30766  zringfrac  33501  constrrtcclem  33700  cos9thpiminplylem2  33749  qqhval2lem  33947  cndprobin  34401  itgexpif  34573  faclimlem1  35715  faclimlem3  35717  nn0prpwlem  36295  itg2addnclem3  37652  bfplem1  37801  rrncmslem  37811  rrnequiv  37814  nnproddivdvdsd  41973  lcmineqlem12  42013  3lexlogpow5ineq2  42028  3lexlogpow2ineq1  42031  aks4d1p8  42060  unitscyglem2  42169  readvrec2  42334  pellexlem6  42807  jm2.19  42966  jm2.27c  42980  binomcxplemnotnn0  44329  sineq0ALT  44910  xralrple2  45334  ltdiv23neg  45374  stoweidlem42  46024  stirlinglem3  46058  dirkertrigeq  46083  dirkercncflem2  46086  dirkercncflem4  46088  fourierdlem4  46093  fourierdlem63  46151  fourierdlem65  46153  fourierdlem83  46171  fourierdlem89  46177  fourierdlem90  46178  fourierdlem91  46179  etransclem38  46254  smfmullem1  46773  sigarcol  46846  sharhght  46847  mod0mul  47341  proththd  47599  nn0sumshdiglemA  48605  rrx2vlinest  48727