Theorem divcan1d 11895

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11782	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003   · cmul 11008   / cdiv 11771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772

This theorem is referenced by:  ldiv  11952  ltdiv23  12010  lediv23  12011  recp1lt1  12017  ledivp1  12021  subhalfhalf  12352  xp1d2m1eqxm1d2  12372  div4p1lem1div2  12373  qmulz  12846  iccf1o  13393  ltdifltdiv  13735  bcpasc  14225  sqrtdiv  15169  geo2sum  15777  sqrt2irrlem  16154  dvdsval2  16163  flodddiv4t2lthalf  16326  bitsres  16381  bitsuz  16382  dvdsgcdidd  16445  mulgcddvds  16563  qredeq  16565  isprm6  16622  qmuldeneqnum  16655  hashgcdlem  16696  pcqdiv  16766  pockthlem  16814  prmreclem3  16827  4sqlem5  16851  4sqlem12  16865  4sqlem15  16868  sylow3lem4  19540  odadd1  19758  odadd2  19759  gexexlem  19762  pgpfac1lem3a  19988  pgpfac1lem3  19989  znidomb  21496  znrrg  21500  nmoleub2lem  25039  nmoleub3  25044  i1fmullem  25620  mbfi1fseqlem3  25643  mbfi1fseqlem4  25644  mbfi1fseqlem5  25645  dvcnp2  25846  dvcnp2OLD  25847  dvlip  25923  plydivlem4  26229  cosne0  26463  advlogexp  26589  root1id  26689  cxplogb  26721  ang180lem1  26744  ang180lem3  26746  angpieqvd  26766  chordthmlem  26767  dcubic2  26779  dcubic  26781  dquartlem2  26787  cxploglim2  26914  fsumdvdsdiaglem  27118  logexprlim  27161  bposlem3  27222  lgslem1  27233  gausslemma2dlem1a  27301  lgsquadlem1  27316  2lgslem1a1  27325  log2sumbnd  27480  chpdifbndlem1  27489  selberg4lem1  27496  pntrlog2bndlem3  27515  pntibndlem2  27527  pntlemr  27538  ostth2lem3  27571  ostth2  27573  ostth3  27574  axcontlem7  28946  blocnilem  30779  zringfrac  33514  constrrtcclem  33742  cos9thpiminplylem2  33791  qqhval2lem  33989  cndprobin  34442  itgexpif  34614  faclimlem1  35775  faclimlem3  35777  nn0prpwlem  36355  itg2addnclem3  37712  bfplem1  37861  rrncmslem  37871  rrnequiv  37874  nnproddivdvdsd  42032  lcmineqlem12  42072  3lexlogpow5ineq2  42087  3lexlogpow2ineq1  42090  aks4d1p8  42119  unitscyglem2  42228  readvrec2  42393  pellexlem6  42866  jm2.19  43025  jm2.27c  43039  binomcxplemnotnn0  44388  sineq0ALT  44968  xralrple2  45392  ltdiv23neg  45431  stoweidlem42  46079  stirlinglem3  46113  dirkertrigeq  46138  dirkercncflem2  46141  dirkercncflem4  46143  fourierdlem4  46148  fourierdlem63  46206  fourierdlem65  46208  fourierdlem83  46226  fourierdlem89  46232  fourierdlem90  46233  fourierdlem91  46234  etransclem38  46309  smfmullem1  46828  sigarcol  46901  sharhght  46902  mod0mul  47386  proththd  47644  nn0sumshdiglemA  48650  rrx2vlinest  48772