Theorem divcan1d 12071

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11958	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  ldiv  12128  ltdiv23  12186  lediv23  12187  recp1lt1  12193  ledivp1  12197  subhalfhalf  12527  xp1d2m1eqxm1d2  12547  div4p1lem1div2  12548  qmulz  13016  iccf1o  13556  ltdifltdiv  13885  bcpasc  14370  sqrtdiv  15314  geo2sum  15921  sqrt2irrlem  16296  dvdsval2  16305  flodddiv4t2lthalf  16464  bitsres  16519  bitsuz  16520  dvdsgcdidd  16584  mulgcddvds  16702  qredeq  16704  isprm6  16761  qmuldeneqnum  16794  hashgcdlem  16835  pcqdiv  16904  pockthlem  16952  prmreclem3  16965  4sqlem5  16989  4sqlem12  17003  4sqlem15  17006  sylow3lem4  19672  odadd1  19890  odadd2  19891  gexexlem  19894  pgpfac1lem3a  20120  pgpfac1lem3  20121  znidomb  21603  znrrg  21607  nmoleub2lem  25166  nmoleub3  25171  i1fmullem  25748  mbfi1fseqlem3  25772  mbfi1fseqlem4  25773  mbfi1fseqlem5  25774  dvcnp2  25975  dvcnp2OLD  25976  dvlip  26052  plydivlem4  26356  cosne0  26589  advlogexp  26715  root1id  26815  cxplogb  26847  ang180lem1  26870  ang180lem3  26872  angpieqvd  26892  chordthmlem  26893  dcubic2  26905  dcubic  26907  dquartlem2  26913  cxploglim2  27040  fsumdvdsdiaglem  27244  logexprlim  27287  bposlem3  27348  lgslem1  27359  gausslemma2dlem1a  27427  lgsquadlem1  27442  2lgslem1a1  27451  log2sumbnd  27606  chpdifbndlem1  27615  selberg4lem1  27622  pntrlog2bndlem3  27641  pntibndlem2  27653  pntlemr  27664  ostth2lem3  27697  ostth2  27699  ostth3  27700  axcontlem7  29003  blocnilem  30836  zringfrac  33547  constrrtcclem  33725  qqhval2lem  33927  cndprobin  34399  itgexpif  34583  faclimlem1  35705  faclimlem3  35707  nn0prpwlem  36288  itg2addnclem3  37633  bfplem1  37782  rrncmslem  37792  rrnequiv  37795  nnproddivdvdsd  41957  lcmineqlem12  41997  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow2ineq1  42015  aks4d1p8  42044  unitscyglem2  42153  pellexlem6  42790  jm2.19  42950  jm2.27c  42964  binomcxplemnotnn0  44325  sineq0ALT  44908  xralrple2  45269  ltdiv23neg  45309  stoweidlem42  45963  stirlinglem3  45997  dirkertrigeq  46022  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem4  46027  fourierdlem4  46032  fourierdlem63  46090  fourierdlem65  46092  fourierdlem83  46110  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  etransclem38  46193  smfmullem1  46712  sigarcol  46785  sharhght  46786  proththd  47488  mod0mul  48253  nn0sumshdiglemA  48353  rrx2vlinest  48475