Theorem divcan1d 11932

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11818	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  ldiv  11989  ltdiv23  12047  lediv23  12048  recp1lt1  12054  ledivp1  12058  subhalfhalf  12411  xp1d2m1eqxm1d2  12431  div4p1lem1div2  12432  qmulz  12901  iccf1o  13449  ltdifltdiv  13793  bcpasc  14283  sqrtdiv  15227  geo2sum  15838  sqrt2irrlem  16215  dvdsval2  16224  flodddiv4t2lthalf  16387  bitsres  16442  bitsuz  16443  dvdsgcdidd  16506  mulgcddvds  16624  qredeq  16626  isprm6  16684  qmuldeneqnum  16717  hashgcdlem  16758  pcqdiv  16828  pockthlem  16876  prmreclem3  16889  4sqlem5  16913  4sqlem12  16927  4sqlem15  16930  sylow3lem4  19605  odadd1  19823  odadd2  19824  gexexlem  19827  pgpfac1lem3a  20053  pgpfac1lem3  20054  znidomb  21541  znrrg  21545  nmoleub2lem  25081  nmoleub3  25086  i1fmullem  25661  mbfi1fseqlem3  25684  mbfi1fseqlem4  25685  mbfi1fseqlem5  25686  dvcnp2  25887  dvlip  25960  plydivlem4  26262  cosne0  26493  advlogexp  26619  root1id  26718  cxplogb  26750  ang180lem1  26773  ang180lem3  26775  angpieqvd  26795  chordthmlem  26796  dcubic2  26808  dcubic  26810  dquartlem2  26816  cxploglim2  26942  fsumdvdsdiaglem  27146  logexprlim  27188  bposlem3  27249  lgslem1  27260  gausslemma2dlem1a  27328  lgsquadlem1  27343  2lgslem1a1  27352  log2sumbnd  27507  chpdifbndlem1  27516  selberg4lem1  27523  pntrlog2bndlem3  27542  pntibndlem2  27554  pntlemr  27565  ostth2lem3  27598  ostth2  27600  ostth3  27601  axcontlem7  29039  blocnilem  30875  zringfrac  33614  constrrtcclem  33878  cos9thpiminplylem2  33927  qqhval2lem  34125  cndprobin  34578  itgexpif  34750  faclimlem1  35925  faclimlem3  35927  nn0prpwlem  36504  itg2addnclem3  37994  bfplem1  38143  rrncmslem  38153  rrnequiv  38156  nnproddivdvdsd  42439  lcmineqlem12  42479  3lexlogpow5ineq2  42494  3lexlogpow2ineq1  42497  aks4d1p8  42526  unitscyglem2  42635  readvrec2  42793  pellexlem6  43262  jm2.19  43421  jm2.27c  43435  binomcxplemnotnn0  44783  sineq0ALT  45363  xralrple2  45784  ltdiv23neg  45823  stoweidlem42  46470  stirlinglem3  46504  dirkertrigeq  46529  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem4  46534  fourierdlem4  46539  fourierdlem63  46597  fourierdlem65  46599  fourierdlem83  46617  fourierdlem89  46623  fourierdlem90  46624  fourierdlem91  46625  etransclem38  46700  smfmullem1  47219  sigarcol  47292  sharhght  47293  mod0mul  47810  proththd  48077  nn0sumshdiglemA  49095  rrx2vlinest  49217