MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan1d 11410
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan1d (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan1 11300 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530   · cmul 10535   / cdiv 11290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291
This theorem is referenced by:  ldiv  11467  ltdiv23  11524  lediv23  11525  recp1lt1  11531  ledivp1  11535  subhalfhalf  11863  xp1d2m1eqxm1d2  11883  div4p1lem1div2  11884  qmulz  12343  iccf1o  12878  ltdifltdiv  13203  bcpasc  13681  sqrtdiv  14621  geo2sum  15225  sqrt2irrlem  15597  dvdsval2  15606  flodddiv4t2lthalf  15761  bitsres  15816  bitsuz  15817  dvdsgcdidd  15879  mulgcddvds  15993  qredeq  15995  isprm6  16052  qmuldeneqnum  16081  hashgcdlem  16119  pcqdiv  16188  pockthlem  16235  prmreclem3  16248  4sqlem5  16272  4sqlem12  16286  4sqlem15  16289  sylow3lem4  18751  odadd1  18965  odadd2  18966  gexexlem  18969  pgpfac1lem3a  19195  pgpfac1lem3  19196  znidomb  20257  znrrg  20261  nmoleub2lem  23723  nmoleub3  23728  i1fmullem  24302  mbfi1fseqlem3  24325  mbfi1fseqlem4  24326  mbfi1fseqlem5  24327  dvcnp2  24527  dvlip  24600  plydivlem4  24896  cosne0  25125  advlogexp  25250  root1id  25347  cxplogb  25376  ang180lem1  25399  ang180lem3  25401  angpieqvd  25421  chordthmlem  25422  dcubic2  25434  dcubic  25436  dquartlem2  25442  cxploglim2  25568  fsumdvdsdiaglem  25772  logexprlim  25813  bposlem3  25874  lgslem1  25885  gausslemma2dlem1a  25953  lgsquadlem1  25968  2lgslem1a1  25977  log2sumbnd  26132  chpdifbndlem1  26141  selberg4lem1  26148  pntrlog2bndlem3  26167  pntibndlem2  26179  pntlemr  26190  ostth2lem3  26223  ostth2  26225  ostth3  26226  axcontlem7  26768  blocnilem  28591  qqhval2lem  31336  cndprobin  31806  itgexpif  31991  faclimlem1  33089  faclimlem3  33091  nn0prpwlem  33784  itg2addnclem3  35109  bfplem1  35259  rrncmslem  35269  rrnequiv  35272  nnproddivdvdsd  39288  lcmineqlem12  39327  pellexlem6  39768  jm2.19  39927  jm2.27c  39941  binomcxplemnotnn0  41053  sineq0ALT  41636  xralrple2  41979  ltdiv23neg  42023  stoweidlem42  42677  stirlinglem3  42711  dirkertrigeq  42736  dirkercncflem2  42739  dirkercncflem4  42741  fourierdlem4  42746  fourierdlem63  42804  fourierdlem65  42806  fourierdlem83  42824  fourierdlem89  42830  fourierdlem90  42831  fourierdlem91  42832  etransclem38  42907  smfmullem1  43416  sigarcol  43471  sharhght  43472  proththd  44125  mod0mul  44926  nn0sumshdiglemA  45026  rrx2vlinest  45148
  Copyright terms: Public domain W3C validator