Theorem divcan1d 12044

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11931	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  ldiv  12101  ltdiv23  12159  lediv23  12160  recp1lt1  12166  ledivp1  12170  subhalfhalf  12500  xp1d2m1eqxm1d2  12520  div4p1lem1div2  12521  qmulz  12993  iccf1o  13536  ltdifltdiv  13874  bcpasc  14360  sqrtdiv  15304  geo2sum  15909  sqrt2irrlem  16284  dvdsval2  16293  flodddiv4t2lthalf  16455  bitsres  16510  bitsuz  16511  dvdsgcdidd  16574  mulgcddvds  16692  qredeq  16694  isprm6  16751  qmuldeneqnum  16784  hashgcdlem  16825  pcqdiv  16895  pockthlem  16943  prmreclem3  16956  4sqlem5  16980  4sqlem12  16994  4sqlem15  16997  sylow3lem4  19648  odadd1  19866  odadd2  19867  gexexlem  19870  pgpfac1lem3a  20096  pgpfac1lem3  20097  znidomb  21580  znrrg  21584  nmoleub2lem  25147  nmoleub3  25152  i1fmullem  25729  mbfi1fseqlem3  25752  mbfi1fseqlem4  25753  mbfi1fseqlem5  25754  dvcnp2  25955  dvcnp2OLD  25956  dvlip  26032  plydivlem4  26338  cosne0  26571  advlogexp  26697  root1id  26797  cxplogb  26829  ang180lem1  26852  ang180lem3  26854  angpieqvd  26874  chordthmlem  26875  dcubic2  26887  dcubic  26889  dquartlem2  26895  cxploglim2  27022  fsumdvdsdiaglem  27226  logexprlim  27269  bposlem3  27330  lgslem1  27341  gausslemma2dlem1a  27409  lgsquadlem1  27424  2lgslem1a1  27433  log2sumbnd  27588  chpdifbndlem1  27597  selberg4lem1  27604  pntrlog2bndlem3  27623  pntibndlem2  27635  pntlemr  27646  ostth2lem3  27679  ostth2  27681  ostth3  27682  axcontlem7  28985  blocnilem  30823  zringfrac  33582  constrrtcclem  33775  qqhval2lem  33982  cndprobin  34436  itgexpif  34621  faclimlem1  35743  faclimlem3  35745  nn0prpwlem  36323  itg2addnclem3  37680  bfplem1  37829  rrncmslem  37839  rrnequiv  37842  nnproddivdvdsd  42001  lcmineqlem12  42041  3lexlogpow5ineq2  42056  3lexlogpow2ineq1  42059  aks4d1p8  42088  unitscyglem2  42197  readvrec2  42391  pellexlem6  42845  jm2.19  43005  jm2.27c  43019  binomcxplemnotnn0  44375  sineq0ALT  44957  xralrple2  45365  ltdiv23neg  45405  stoweidlem42  46057  stirlinglem3  46091  dirkertrigeq  46116  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem4  46121  fourierdlem4  46126  fourierdlem63  46184  fourierdlem65  46186  fourierdlem83  46204  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  etransclem38  46287  smfmullem1  46806  sigarcol  46879  sharhght  46880  proththd  47601  mod0mul  48440  nn0sumshdiglemA  48540  rrx2vlinest  48662