Theorem divcan1d 11991

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11881	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   · cmul 11115   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  ldiv  12048  ltdiv23  12105  lediv23  12106  recp1lt1  12112  ledivp1  12116  subhalfhalf  12446  xp1d2m1eqxm1d2  12466  div4p1lem1div2  12467  qmulz  12935  iccf1o  13473  ltdifltdiv  13799  bcpasc  14281  sqrtdiv  15212  geo2sum  15819  sqrt2irrlem  16191  dvdsval2  16200  flodddiv4t2lthalf  16359  bitsres  16414  bitsuz  16415  dvdsgcdidd  16479  mulgcddvds  16592  qredeq  16594  isprm6  16651  qmuldeneqnum  16683  hashgcdlem  16721  pcqdiv  16790  pockthlem  16838  prmreclem3  16851  4sqlem5  16875  4sqlem12  16889  4sqlem15  16892  sylow3lem4  19498  odadd1  19716  odadd2  19717  gexexlem  19720  pgpfac1lem3a  19946  pgpfac1lem3  19947  znidomb  21117  znrrg  21121  nmoleub2lem  24630  nmoleub3  24635  i1fmullem  25211  mbfi1fseqlem3  25235  mbfi1fseqlem4  25236  mbfi1fseqlem5  25237  dvcnp2  25437  dvlip  25510  plydivlem4  25809  cosne0  26038  advlogexp  26163  root1id  26262  cxplogb  26291  ang180lem1  26314  ang180lem3  26316  angpieqvd  26336  chordthmlem  26337  dcubic2  26349  dcubic  26351  dquartlem2  26357  cxploglim2  26483  fsumdvdsdiaglem  26687  logexprlim  26728  bposlem3  26789  lgslem1  26800  gausslemma2dlem1a  26868  lgsquadlem1  26883  2lgslem1a1  26892  log2sumbnd  27047  chpdifbndlem1  27056  selberg4lem1  27063  pntrlog2bndlem3  27082  pntibndlem2  27094  pntlemr  27105  ostth2lem3  27138  ostth2  27140  ostth3  27141  axcontlem7  28228  blocnilem  30057  qqhval2lem  32961  cndprobin  33433  itgexpif  33618  faclimlem1  34713  faclimlem3  34715  gg-dvcnp2  35174  nn0prpwlem  35207  itg2addnclem3  36541  bfplem1  36690  rrncmslem  36700  rrnequiv  36703  nnproddivdvdsd  40866  lcmineqlem12  40905  3lexlogpow5ineq2  40920  3lexlogpow2ineq1  40923  aks4d1p8  40952  pellexlem6  41572  jm2.19  41732  jm2.27c  41746  binomcxplemnotnn0  43115  sineq0ALT  43698  xralrple2  44064  ltdiv23neg  44104  stoweidlem42  44758  stirlinglem3  44792  dirkertrigeq  44817  dirkercncflem2  44820  dirkercncflem4  44822  fourierdlem4  44827  fourierdlem63  44885  fourierdlem65  44887  fourierdlem83  44905  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  etransclem38  44988  smfmullem1  45507  sigarcol  45580  sharhght  45581  proththd  46282  mod0mul  47205  nn0sumshdiglemA  47305  rrx2vlinest  47427