Theorem divcan1d 12041

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11928	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918

This theorem is referenced by:  ldiv  12098  ltdiv23  12156  lediv23  12157  recp1lt1  12163  ledivp1  12167  subhalfhalf  12497  xp1d2m1eqxm1d2  12517  div4p1lem1div2  12518  qmulz  12990  iccf1o  13532  ltdifltdiv  13870  bcpasc  14356  sqrtdiv  15300  geo2sum  15905  sqrt2irrlem  16280  dvdsval2  16289  flodddiv4t2lthalf  16451  bitsres  16506  bitsuz  16507  dvdsgcdidd  16570  mulgcddvds  16688  qredeq  16690  isprm6  16747  qmuldeneqnum  16780  hashgcdlem  16821  pcqdiv  16890  pockthlem  16938  prmreclem3  16951  4sqlem5  16975  4sqlem12  16989  4sqlem15  16992  sylow3lem4  19662  odadd1  19880  odadd2  19881  gexexlem  19884  pgpfac1lem3a  20110  pgpfac1lem3  20111  znidomb  21597  znrrg  21601  nmoleub2lem  25160  nmoleub3  25165  i1fmullem  25742  mbfi1fseqlem3  25766  mbfi1fseqlem4  25767  mbfi1fseqlem5  25768  dvcnp2  25969  dvcnp2OLD  25970  dvlip  26046  plydivlem4  26352  cosne0  26585  advlogexp  26711  root1id  26811  cxplogb  26843  ang180lem1  26866  ang180lem3  26868  angpieqvd  26888  chordthmlem  26889  dcubic2  26901  dcubic  26903  dquartlem2  26909  cxploglim2  27036  fsumdvdsdiaglem  27240  logexprlim  27283  bposlem3  27344  lgslem1  27355  gausslemma2dlem1a  27423  lgsquadlem1  27438  2lgslem1a1  27447  log2sumbnd  27602  chpdifbndlem1  27611  selberg4lem1  27618  pntrlog2bndlem3  27637  pntibndlem2  27649  pntlemr  27660  ostth2lem3  27693  ostth2  27695  ostth3  27696  axcontlem7  28999  blocnilem  30832  zringfrac  33561  constrrtcclem  33739  qqhval2lem  33943  cndprobin  34415  itgexpif  34599  faclimlem1  35722  faclimlem3  35724  nn0prpwlem  36304  itg2addnclem3  37659  bfplem1  37808  rrncmslem  37818  rrnequiv  37821  nnproddivdvdsd  41981  lcmineqlem12  42021  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow2ineq1  42039  aks4d1p8  42068  unitscyglem2  42177  readvrec2  42369  pellexlem6  42821  jm2.19  42981  jm2.27c  42995  binomcxplemnotnn0  44351  sineq0ALT  44934  xralrple2  45303  ltdiv23neg  45343  stoweidlem42  45997  stirlinglem3  46031  dirkertrigeq  46056  dirkercncflem2  46059  dirkercncflem4  46061  fourierdlem4  46066  fourierdlem63  46124  fourierdlem65  46126  fourierdlem83  46144  fourierdlem89  46150  fourierdlem90  46151  fourierdlem91  46152  etransclem38  46227  smfmullem1  46746  sigarcol  46819  sharhght  46820  proththd  47538  mod0mul  48368  nn0sumshdiglemA  48468  rrx2vlinest  48590