Theorem divcan1d 12124

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 12013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230   · cmul 11235   / cdiv 12003

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004

This theorem is used by:  ldiv  12181  ltdiv23  12238  lediv23  12239  recp1lt1  12245  ledivp1  12249  subhalfhalf  12610  xp1d2m1eqxm1d2  12630  div4p1lem1div2  12631  qmulz  13108  iccf1o  13657  ltdifltdiv  14004  bcpasc  14495  sqrtdiv  15464  geo2sum  16074  sqrt2irrlem  16448  dvdsval2  16457  flodddiv4t2lthalf  16620  bitsres  16675  bitsuz  16676  dvdsgcdidd  16742  mulgcddvds  16862  qredeq  16864  isprm6  16922  qmuldeneqnum  16955  hashgcdlem  16997  pcqdiv  17067  pockthlem  17115  prmreclem3  17128  4sqlem5  17152  4sqlem12  17166  4sqlem15  17169  sylow3lem4  19877  odadd1  20095  odadd2  20096  gexexlem  20099  pgpfac1lem3a  20325  pgpfac1lem3  20326  znidomb  21900  znrrg  21904  nmoleub2lem  25468  nmoleub3  25473  i1fmullem  26048  mbfi1fseqlem3  26071  mbfi1fseqlem4  26072  mbfi1fseqlem5  26073  dvcnp2  26273  dvlip  26346  plydivlem4  26650  cosne0  26890  advlogexp  27016  root1id  27115  cxplogb  27147  ang180lem1  27170  ang180lem3  27172  angpieqvd  27192  chordthmlem  27193  dcubic2  27205  dcubic  27207  dquartlem2  27213  cxploglim2  27339  fsumdvdsdiaglem  27543  logexprlim  27585  bposlem3  27646  lgslem1  27657  gausslemma2dlem1a  27725  lgsquadlem1  27740  2lgslem1a1  27749  log2sumbnd  27904  chpdifbndlem1  27913  selberg4lem1  27920  pntrlog2bndlem3  27939  pntibndlem2  27951  pntlemr  27962  ostth2lem3  27995  ostth2  27997  ostth3  27998  axcontlem7  29581  blocnilem  31439  zringfrac  34169  constrrtcclem  34449  cos9thpiminplylem2  34498  qqhval2lem  34696  cndprobin  35149  itgexpif  35318  faclimlem1  36699  faclimlem3  36701  nn0prpwlem  37301  itg2addnclem3  38796  bfplem1  38959  rrncmslem  38969  rrnequiv  38972  nnproddivdvdsd  43253  lcmineqlem12  43293  3lexlogpow5ineq2  43308  3lexlogpow2ineq1  43311  aks4d1p8  43340  unitscyglem2  43449  readvrec2  43616  pellexlem6  44045  jm2.19  44204  jm2.27c  44218  binomcxplemnotnn0  45543  sineq0ALT  46121  xralrple2  46581  ltdiv23neg  46620  stoweidlem42  47267  stirlinglem3  47301  dirkertrigeq  47326  dirkercncflem2  47329  dirkercncflem4  47331  fourierdlem4  47336  fourierdlem63  47394  fourierdlem65  47396  fourierdlem83  47414  fourierdlem89  47420  fourierdlem90  47421  fourierdlem91  47422  etransclem38  47497  smfmullem1  48016  sigarcol  48089  sharhght  48090  mod0mul  48647  proththd  48914  nn0sumshdiglemA  49946  rrx2vlinest  50068