Theorem divcan1d 11941

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11831	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  0cc0 11060   · cmul 11065   / cdiv 11821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822

This theorem is referenced by:  ldiv  11998  ltdiv23  12055  lediv23  12056  recp1lt1  12062  ledivp1  12066  subhalfhalf  12396  xp1d2m1eqxm1d2  12416  div4p1lem1div2  12417  qmulz  12885  iccf1o  13423  ltdifltdiv  13749  bcpasc  14231  sqrtdiv  15162  geo2sum  15769  sqrt2irrlem  16141  dvdsval2  16150  flodddiv4t2lthalf  16309  bitsres  16364  bitsuz  16365  dvdsgcdidd  16429  mulgcddvds  16542  qredeq  16544  isprm6  16601  qmuldeneqnum  16633  hashgcdlem  16671  pcqdiv  16740  pockthlem  16788  prmreclem3  16801  4sqlem5  16825  4sqlem12  16839  4sqlem15  16842  sylow3lem4  19426  odadd1  19640  odadd2  19641  gexexlem  19644  pgpfac1lem3a  19869  pgpfac1lem3  19870  znidomb  21005  znrrg  21009  nmoleub2lem  24514  nmoleub3  24519  i1fmullem  25095  mbfi1fseqlem3  25119  mbfi1fseqlem4  25120  mbfi1fseqlem5  25121  dvcnp2  25321  dvlip  25394  plydivlem4  25693  cosne0  25922  advlogexp  26047  root1id  26144  cxplogb  26173  ang180lem1  26196  ang180lem3  26198  angpieqvd  26218  chordthmlem  26219  dcubic2  26231  dcubic  26233  dquartlem2  26239  cxploglim2  26365  fsumdvdsdiaglem  26569  logexprlim  26610  bposlem3  26671  lgslem1  26682  gausslemma2dlem1a  26750  lgsquadlem1  26765  2lgslem1a1  26774  log2sumbnd  26929  chpdifbndlem1  26938  selberg4lem1  26945  pntrlog2bndlem3  26964  pntibndlem2  26976  pntlemr  26987  ostth2lem3  27020  ostth2  27022  ostth3  27023  axcontlem7  27982  blocnilem  29809  qqhval2lem  32651  cndprobin  33123  itgexpif  33308  faclimlem1  34402  faclimlem3  34404  nn0prpwlem  34870  itg2addnclem3  36204  bfplem1  36354  rrncmslem  36364  rrnequiv  36367  nnproddivdvdsd  40531  lcmineqlem12  40570  3lexlogpow5ineq2  40585  3lexlogpow2ineq1  40588  aks4d1p8  40617  pellexlem6  41215  jm2.19  41375  jm2.27c  41389  binomcxplemnotnn0  42758  sineq0ALT  43341  xralrple2  43709  ltdiv23neg  43749  stoweidlem42  44403  stirlinglem3  44437  dirkertrigeq  44462  dirkercncflem2  44465  dirkercncflem4  44467  fourierdlem4  44472  fourierdlem63  44530  fourierdlem65  44532  fourierdlem83  44550  fourierdlem89  44556  fourierdlem90  44557  fourierdlem91  44558  etransclem38  44633  smfmullem1  45152  sigarcol  45225  sharhght  45226  proththd  45926  mod0mul  46725  nn0sumshdiglemA  46825  rrx2vlinest  46947