Theorem divcan1d 11923

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11809	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  ldiv  11980  ltdiv23  12038  lediv23  12039  recp1lt1  12045  ledivp1  12049  subhalfhalf  12402  xp1d2m1eqxm1d2  12422  div4p1lem1div2  12423  qmulz  12892  iccf1o  13440  ltdifltdiv  13784  bcpasc  14274  sqrtdiv  15218  geo2sum  15829  sqrt2irrlem  16206  dvdsval2  16215  flodddiv4t2lthalf  16378  bitsres  16433  bitsuz  16434  dvdsgcdidd  16497  mulgcddvds  16615  qredeq  16617  isprm6  16675  qmuldeneqnum  16708  hashgcdlem  16749  pcqdiv  16819  pockthlem  16867  prmreclem3  16880  4sqlem5  16904  4sqlem12  16918  4sqlem15  16921  sylow3lem4  19596  odadd1  19814  odadd2  19815  gexexlem  19818  pgpfac1lem3a  20044  pgpfac1lem3  20045  znidomb  21551  znrrg  21555  nmoleub2lem  25091  nmoleub3  25096  i1fmullem  25671  mbfi1fseqlem3  25694  mbfi1fseqlem4  25695  mbfi1fseqlem5  25696  dvcnp2  25897  dvlip  25970  plydivlem4  26273  cosne0  26506  advlogexp  26632  root1id  26731  cxplogb  26763  ang180lem1  26786  ang180lem3  26788  angpieqvd  26808  chordthmlem  26809  dcubic2  26821  dcubic  26823  dquartlem2  26829  cxploglim2  26956  fsumdvdsdiaglem  27160  logexprlim  27202  bposlem3  27263  lgslem1  27274  gausslemma2dlem1a  27342  lgsquadlem1  27357  2lgslem1a1  27366  log2sumbnd  27521  chpdifbndlem1  27530  selberg4lem1  27537  pntrlog2bndlem3  27556  pntibndlem2  27568  pntlemr  27579  ostth2lem3  27612  ostth2  27614  ostth3  27615  axcontlem7  29053  blocnilem  30890  zringfrac  33629  constrrtcclem  33894  cos9thpiminplylem2  33943  qqhval2lem  34141  cndprobin  34594  itgexpif  34766  faclimlem1  35941  faclimlem3  35943  nn0prpwlem  36520  itg2addnclem3  38008  bfplem1  38157  rrncmslem  38167  rrnequiv  38170  nnproddivdvdsd  42453  lcmineqlem12  42493  3lexlogpow5ineq2  42508  3lexlogpow2ineq1  42511  aks4d1p8  42540  unitscyglem2  42649  readvrec2  42807  pellexlem6  43280  jm2.19  43439  jm2.27c  43453  binomcxplemnotnn0  44801  sineq0ALT  45381  xralrple2  45802  ltdiv23neg  45841  stoweidlem42  46488  stirlinglem3  46522  dirkertrigeq  46547  dirkercncflem2  46550  dirkercncflem4  46552  fourierdlem4  46557  fourierdlem63  46615  fourierdlem65  46617  fourierdlem83  46635  fourierdlem89  46641  fourierdlem90  46642  fourierdlem91  46643  etransclem38  46718  smfmullem1  47237  sigarcol  47310  sharhght  47311  mod0mul  47822  proththd  48089  nn0sumshdiglemA  49107  rrx2vlinest  49229