Theorem divcan1d 12095

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11984	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7421  ℂcc 11199  0cc0 11201   · cmul 11206   / cdiv 11974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975

This theorem is used by:  ldiv  12152  ltdiv23  12209  lediv23  12210  recp1lt1  12216  ledivp1  12220  subhalfhalf  12581  xp1d2m1eqxm1d2  12601  div4p1lem1div2  12602  qmulz  13079  iccf1o  13628  ltdifltdiv  13975  bcpasc  14466  sqrtdiv  15433  geo2sum  16043  sqrt2irrlem  16417  dvdsval2  16426  flodddiv4t2lthalf  16589  bitsres  16644  bitsuz  16645  dvdsgcdidd  16711  mulgcddvds  16831  qredeq  16833  isprm6  16891  qmuldeneqnum  16924  hashgcdlem  16966  pcqdiv  17036  pockthlem  17084  prmreclem3  17097  4sqlem5  17121  4sqlem12  17135  4sqlem15  17138  sylow3lem4  19845  odadd1  20063  odadd2  20064  gexexlem  20067  pgpfac1lem3a  20293  pgpfac1lem3  20294  znidomb  21868  znrrg  21872  nmoleub2lem  25436  nmoleub3  25441  i1fmullem  26016  mbfi1fseqlem3  26039  mbfi1fseqlem4  26040  mbfi1fseqlem5  26041  dvcnp2  26241  dvlip  26314  plydivlem4  26618  cosne0  26858  advlogexp  26984  root1id  27083  cxplogb  27115  ang180lem1  27138  ang180lem3  27140  angpieqvd  27160  chordthmlem  27161  dcubic2  27173  dcubic  27175  dquartlem2  27181  cxploglim2  27307  fsumdvdsdiaglem  27511  logexprlim  27553  bposlem3  27614  lgslem1  27625  gausslemma2dlem1a  27693  lgsquadlem1  27708  2lgslem1a1  27717  log2sumbnd  27872  chpdifbndlem1  27881  selberg4lem1  27888  pntrlog2bndlem3  27907  pntibndlem2  27919  pntlemr  27930  ostth2lem3  27963  ostth2  27965  ostth3  27966  axcontlem7  29549  blocnilem  31407  zringfrac  34087  constrrtcclem  34367  cos9thpiminplylem2  34416  qqhval2lem  34614  cndprobin  35067  itgexpif  35236  faclimlem1  36509  faclimlem3  36511  nn0prpwlem  37111  itg2addnclem3  38593  bfplem1  38758  rrncmslem  38768  rrnequiv  38771  nnproddivdvdsd  43052  lcmineqlem12  43092  3lexlogpow5ineq2  43107  3lexlogpow2ineq1  43110  aks4d1p8  43139  unitscyglem2  43248  readvrec2  43414  pellexlem6  43842  jm2.19  44001  jm2.27c  44015  binomcxplemnotnn0  45341  sineq0ALT  45920  xralrple2  46367  ltdiv23neg  46406  stoweidlem42  47053  stirlinglem3  47087  dirkertrigeq  47112  dirkercncflem2  47115  dirkercncflem4  47117  fourierdlem4  47122  fourierdlem63  47180  fourierdlem65  47182  fourierdlem83  47200  fourierdlem89  47206  fourierdlem90  47207  fourierdlem91  47208  etransclem38  47283  smfmullem1  47802  sigarcol  47875  sharhght  47876  mod0mul  48433  proththd  48700  nn0sumshdiglemA  49732  rrx2vlinest  49854