Theorem divcan1d 11966

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11853	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  ldiv  12023  ltdiv23  12081  lediv23  12082  recp1lt1  12088  ledivp1  12092  subhalfhalf  12423  xp1d2m1eqxm1d2  12443  div4p1lem1div2  12444  qmulz  12917  iccf1o  13464  ltdifltdiv  13803  bcpasc  14293  sqrtdiv  15238  geo2sum  15846  sqrt2irrlem  16223  dvdsval2  16232  flodddiv4t2lthalf  16395  bitsres  16450  bitsuz  16451  dvdsgcdidd  16514  mulgcddvds  16632  qredeq  16634  isprm6  16691  qmuldeneqnum  16724  hashgcdlem  16765  pcqdiv  16835  pockthlem  16883  prmreclem3  16896  4sqlem5  16920  4sqlem12  16934  4sqlem15  16937  sylow3lem4  19567  odadd1  19785  odadd2  19786  gexexlem  19789  pgpfac1lem3a  20015  pgpfac1lem3  20016  znidomb  21478  znrrg  21482  nmoleub2lem  25021  nmoleub3  25026  i1fmullem  25602  mbfi1fseqlem3  25625  mbfi1fseqlem4  25626  mbfi1fseqlem5  25627  dvcnp2  25828  dvcnp2OLD  25829  dvlip  25905  plydivlem4  26211  cosne0  26445  advlogexp  26571  root1id  26671  cxplogb  26703  ang180lem1  26726  ang180lem3  26728  angpieqvd  26748  chordthmlem  26749  dcubic2  26761  dcubic  26763  dquartlem2  26769  cxploglim2  26896  fsumdvdsdiaglem  27100  logexprlim  27143  bposlem3  27204  lgslem1  27215  gausslemma2dlem1a  27283  lgsquadlem1  27298  2lgslem1a1  27307  log2sumbnd  27462  chpdifbndlem1  27471  selberg4lem1  27478  pntrlog2bndlem3  27497  pntibndlem2  27509  pntlemr  27520  ostth2lem3  27553  ostth2  27555  ostth3  27556  axcontlem7  28904  blocnilem  30740  zringfrac  33532  constrrtcclem  33731  cos9thpiminplylem2  33780  qqhval2lem  33978  cndprobin  34432  itgexpif  34604  faclimlem1  35737  faclimlem3  35739  nn0prpwlem  36317  itg2addnclem3  37674  bfplem1  37823  rrncmslem  37833  rrnequiv  37836  nnproddivdvdsd  41995  lcmineqlem12  42035  3lexlogpow5ineq2  42050  3lexlogpow2ineq1  42053  aks4d1p8  42082  unitscyglem2  42191  readvrec2  42356  pellexlem6  42829  jm2.19  42989  jm2.27c  43003  binomcxplemnotnn0  44352  sineq0ALT  44933  xralrple2  45357  ltdiv23neg  45397  stoweidlem42  46047  stirlinglem3  46081  dirkertrigeq  46106  dirkercncflem2  46109  dirkercncflem4  46111  fourierdlem4  46116  fourierdlem63  46174  fourierdlem65  46176  fourierdlem83  46194  fourierdlem89  46200  fourierdlem90  46201  fourierdlem91  46202  etransclem38  46277  smfmullem1  46796  sigarcol  46869  sharhght  46870  mod0mul  47361  proththd  47619  nn0sumshdiglemA  48612  rrx2vlinest  48734