Theorem divcan1d 11735

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11625	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855   · cmul 10860   / cdiv 11615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616

This theorem is referenced by:  ldiv  11792  ltdiv23  11849  lediv23  11850  recp1lt1  11856  ledivp1  11860  subhalfhalf  12190  xp1d2m1eqxm1d2  12210  div4p1lem1div2  12211  qmulz  12673  iccf1o  13210  ltdifltdiv  13535  bcpasc  14016  sqrtdiv  14958  geo2sum  15566  sqrt2irrlem  15938  dvdsval2  15947  flodddiv4t2lthalf  16106  bitsres  16161  bitsuz  16162  dvdsgcdidd  16226  mulgcddvds  16341  qredeq  16343  isprm6  16400  qmuldeneqnum  16432  hashgcdlem  16470  pcqdiv  16539  pockthlem  16587  prmreclem3  16600  4sqlem5  16624  4sqlem12  16638  4sqlem15  16641  sylow3lem4  19216  odadd1  19430  odadd2  19431  gexexlem  19434  pgpfac1lem3a  19660  pgpfac1lem3  19661  znidomb  20750  znrrg  20754  nmoleub2lem  24258  nmoleub3  24263  i1fmullem  24839  mbfi1fseqlem3  24863  mbfi1fseqlem4  24864  mbfi1fseqlem5  24865  dvcnp2  25065  dvlip  25138  plydivlem4  25437  cosne0  25666  advlogexp  25791  root1id  25888  cxplogb  25917  ang180lem1  25940  ang180lem3  25942  angpieqvd  25962  chordthmlem  25963  dcubic2  25975  dcubic  25977  dquartlem2  25983  cxploglim2  26109  fsumdvdsdiaglem  26313  logexprlim  26354  bposlem3  26415  lgslem1  26426  gausslemma2dlem1a  26494  lgsquadlem1  26509  2lgslem1a1  26518  log2sumbnd  26673  chpdifbndlem1  26682  selberg4lem1  26689  pntrlog2bndlem3  26708  pntibndlem2  26720  pntlemr  26731  ostth2lem3  26764  ostth2  26766  ostth3  26767  axcontlem7  27319  blocnilem  29145  qqhval2lem  31910  cndprobin  32380  itgexpif  32565  faclimlem1  33688  faclimlem3  33690  nn0prpwlem  34490  itg2addnclem3  35809  bfplem1  35959  rrncmslem  35969  rrnequiv  35972  nnproddivdvdsd  39989  lcmineqlem12  40028  3lexlogpow5ineq2  40043  3lexlogpow2ineq1  40046  aks4d1p8  40075  pellexlem6  40636  jm2.19  40795  jm2.27c  40809  binomcxplemnotnn0  41927  sineq0ALT  42510  xralrple2  42847  ltdiv23neg  42888  stoweidlem42  43537  stirlinglem3  43571  dirkertrigeq  43596  dirkercncflem2  43599  dirkercncflem4  43601  fourierdlem4  43606  fourierdlem63  43664  fourierdlem65  43666  fourierdlem83  43684  fourierdlem89  43690  fourierdlem90  43691  fourierdlem91  43692  etransclem38  43767  smfmullem1  44276  sigarcol  44331  sharhght  44332  proththd  45018  mod0mul  45817  nn0sumshdiglemA  45917  rrx2vlinest  46039