Theorem divcan1d 11959

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11846	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  ldiv  12016  ltdiv23  12074  lediv23  12075  recp1lt1  12081  ledivp1  12085  subhalfhalf  12416  xp1d2m1eqxm1d2  12436  div4p1lem1div2  12437  qmulz  12910  iccf1o  13457  ltdifltdiv  13796  bcpasc  14286  sqrtdiv  15231  geo2sum  15839  sqrt2irrlem  16216  dvdsval2  16225  flodddiv4t2lthalf  16388  bitsres  16443  bitsuz  16444  dvdsgcdidd  16507  mulgcddvds  16625  qredeq  16627  isprm6  16684  qmuldeneqnum  16717  hashgcdlem  16758  pcqdiv  16828  pockthlem  16876  prmreclem3  16889  4sqlem5  16913  4sqlem12  16927  4sqlem15  16930  sylow3lem4  19560  odadd1  19778  odadd2  19779  gexexlem  19782  pgpfac1lem3a  20008  pgpfac1lem3  20009  znidomb  21471  znrrg  21475  nmoleub2lem  25014  nmoleub3  25019  i1fmullem  25595  mbfi1fseqlem3  25618  mbfi1fseqlem4  25619  mbfi1fseqlem5  25620  dvcnp2  25821  dvcnp2OLD  25822  dvlip  25898  plydivlem4  26204  cosne0  26438  advlogexp  26564  root1id  26664  cxplogb  26696  ang180lem1  26719  ang180lem3  26721  angpieqvd  26741  chordthmlem  26742  dcubic2  26754  dcubic  26756  dquartlem2  26762  cxploglim2  26889  fsumdvdsdiaglem  27093  logexprlim  27136  bposlem3  27197  lgslem1  27208  gausslemma2dlem1a  27276  lgsquadlem1  27291  2lgslem1a1  27300  log2sumbnd  27455  chpdifbndlem1  27464  selberg4lem1  27471  pntrlog2bndlem3  27490  pntibndlem2  27502  pntlemr  27513  ostth2lem3  27546  ostth2  27548  ostth3  27549  axcontlem7  28897  blocnilem  30733  zringfrac  33525  constrrtcclem  33724  cos9thpiminplylem2  33773  qqhval2lem  33971  cndprobin  34425  itgexpif  34597  faclimlem1  35730  faclimlem3  35732  nn0prpwlem  36310  itg2addnclem3  37667  bfplem1  37816  rrncmslem  37826  rrnequiv  37829  nnproddivdvdsd  41988  lcmineqlem12  42028  3lexlogpow5ineq2  42043  3lexlogpow2ineq1  42046  aks4d1p8  42075  unitscyglem2  42184  readvrec2  42349  pellexlem6  42822  jm2.19  42982  jm2.27c  42996  binomcxplemnotnn0  44345  sineq0ALT  44926  xralrple2  45350  ltdiv23neg  45390  stoweidlem42  46040  stirlinglem3  46074  dirkertrigeq  46099  dirkercncflem2  46102  dirkercncflem4  46104  fourierdlem4  46109  fourierdlem63  46167  fourierdlem65  46169  fourierdlem83  46187  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195  etransclem38  46270  smfmullem1  46789  sigarcol  46862  sharhght  46863  mod0mul  47357  proththd  47615  nn0sumshdiglemA  48608  rrx2vlinest  48730