Theorem divcan1d 11905

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11792	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013   · cmul 11018   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by:  ldiv  11962  ltdiv23  12020  lediv23  12021  recp1lt1  12027  ledivp1  12031  subhalfhalf  12362  xp1d2m1eqxm1d2  12382  div4p1lem1div2  12383  qmulz  12851  iccf1o  13398  ltdifltdiv  13740  bcpasc  14230  sqrtdiv  15174  geo2sum  15782  sqrt2irrlem  16159  dvdsval2  16168  flodddiv4t2lthalf  16331  bitsres  16386  bitsuz  16387  dvdsgcdidd  16450  mulgcddvds  16568  qredeq  16570  isprm6  16627  qmuldeneqnum  16660  hashgcdlem  16701  pcqdiv  16771  pockthlem  16819  prmreclem3  16832  4sqlem5  16856  4sqlem12  16870  4sqlem15  16873  sylow3lem4  19544  odadd1  19762  odadd2  19763  gexexlem  19766  pgpfac1lem3a  19992  pgpfac1lem3  19993  znidomb  21500  znrrg  21504  nmoleub2lem  25042  nmoleub3  25047  i1fmullem  25623  mbfi1fseqlem3  25646  mbfi1fseqlem4  25647  mbfi1fseqlem5  25648  dvcnp2  25849  dvcnp2OLD  25850  dvlip  25926  plydivlem4  26232  cosne0  26466  advlogexp  26592  root1id  26692  cxplogb  26724  ang180lem1  26747  ang180lem3  26749  angpieqvd  26769  chordthmlem  26770  dcubic2  26782  dcubic  26784  dquartlem2  26790  cxploglim2  26917  fsumdvdsdiaglem  27121  logexprlim  27164  bposlem3  27225  lgslem1  27236  gausslemma2dlem1a  27304  lgsquadlem1  27319  2lgslem1a1  27328  log2sumbnd  27483  chpdifbndlem1  27492  selberg4lem1  27499  pntrlog2bndlem3  27518  pntibndlem2  27530  pntlemr  27541  ostth2lem3  27574  ostth2  27576  ostth3  27577  axcontlem7  28950  blocnilem  30786  zringfrac  33526  constrrtcclem  33768  cos9thpiminplylem2  33817  qqhval2lem  34015  cndprobin  34468  itgexpif  34640  faclimlem1  35808  faclimlem3  35810  nn0prpwlem  36387  itg2addnclem3  37733  bfplem1  37882  rrncmslem  37892  rrnequiv  37895  nnproddivdvdsd  42113  lcmineqlem12  42153  3lexlogpow5ineq2  42168  3lexlogpow2ineq1  42171  aks4d1p8  42200  unitscyglem2  42309  readvrec2  42479  pellexlem6  42951  jm2.19  43110  jm2.27c  43124  binomcxplemnotnn0  44473  sineq0ALT  45053  xralrple2  45477  ltdiv23neg  45516  stoweidlem42  46164  stirlinglem3  46198  dirkertrigeq  46223  dirkercncflem2  46226  dirkercncflem4  46228  fourierdlem4  46233  fourierdlem63  46291  fourierdlem65  46293  fourierdlem83  46311  fourierdlem89  46317  fourierdlem90  46318  fourierdlem91  46319  etransclem38  46394  smfmullem1  46913  sigarcol  46986  sharhght  46987  mod0mul  47480  proththd  47738  nn0sumshdiglemA  48744  rrx2vlinest  48866