Theorem divcan1d 11965

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11851	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070   · cmul 11075   / cdiv 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842

This theorem is referenced by:  ldiv  12022  ltdiv23  12080  lediv23  12081  recp1lt1  12087  ledivp1  12091  subhalfhalf  12452  xp1d2m1eqxm1d2  12472  div4p1lem1div2  12473  qmulz  12949  iccf1o  13497  ltdifltdiv  13841  bcpasc  14331  sqrtdiv  15275  geo2sum  15886  sqrt2irrlem  16263  dvdsval2  16272  flodddiv4t2lthalf  16435  bitsres  16490  bitsuz  16491  dvdsgcdidd  16554  mulgcddvds  16672  qredeq  16674  isprm6  16732  qmuldeneqnum  16765  hashgcdlem  16806  pcqdiv  16876  pockthlem  16924  prmreclem3  16937  4sqlem5  16961  4sqlem12  16975  4sqlem15  16978  sylow3lem4  19653  odadd1  19871  odadd2  19872  gexexlem  19875  pgpfac1lem3a  20101  pgpfac1lem3  20102  znidomb  21593  znrrg  21597  nmoleub2lem  25156  nmoleub3  25161  i1fmullem  25736  mbfi1fseqlem3  25759  mbfi1fseqlem4  25760  mbfi1fseqlem5  25761  dvcnp2  25962  dvlip  26035  plydivlem4  26337  cosne0  26571  advlogexp  26697  root1id  26796  cxplogb  26828  ang180lem1  26851  ang180lem3  26853  angpieqvd  26873  chordthmlem  26874  dcubic2  26886  dcubic  26888  dquartlem2  26894  cxploglim2  27020  fsumdvdsdiaglem  27224  logexprlim  27266  bposlem3  27327  lgslem1  27338  gausslemma2dlem1a  27406  lgsquadlem1  27421  2lgslem1a1  27430  log2sumbnd  27585  chpdifbndlem1  27594  selberg4lem1  27601  pntrlog2bndlem3  27620  pntibndlem2  27632  pntlemr  27643  ostth2lem3  27676  ostth2  27678  ostth3  27679  axcontlem7  29117  blocnilem  30953  zringfrac  33711  constrrtcclem  33992  cos9thpiminplylem2  34041  qqhval2lem  34239  cndprobin  34692  itgexpif  34864  faclimlem1  36057  faclimlem3  36059  nn0prpwlem  36646  itg2addnclem3  38136  bfplem1  38285  rrncmslem  38295  rrnequiv  38298  nnproddivdvdsd  42581  lcmineqlem12  42621  3lexlogpow5ineq2  42636  3lexlogpow2ineq1  42639  aks4d1p8  42668  unitscyglem2  42777  readvrec2  42934  pellexlem6  43375  jm2.19  43534  jm2.27c  43548  binomcxplemnotnn0  44896  sineq0ALT  45476  xralrple2  45894  ltdiv23neg  45933  stoweidlem42  46580  stirlinglem3  46614  dirkertrigeq  46639  dirkercncflem2  46642  dirkercncflem4  46644  fourierdlem4  46649  fourierdlem63  46707  fourierdlem65  46709  fourierdlem83  46727  fourierdlem89  46733  fourierdlem90  46734  fourierdlem91  46735  etransclem38  46810  smfmullem1  47329  sigarcol  47402  sharhght  47403  mod0mul  47920  proththd  48187  nn0sumshdiglemA  49205  rrx2vlinest  49327