Theorem divcan1d 12020

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11909	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128   · cmul 11133   / cdiv 11899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900

This theorem is used by:  ldiv  12077  ltdiv23  12134  lediv23  12135  recp1lt1  12141  ledivp1  12145  subhalfhalf  12506  xp1d2m1eqxm1d2  12526  div4p1lem1div2  12527  qmulz  13004  iccf1o  13553  ltdifltdiv  13899  bcpasc  14389  sqrtdiv  15356  geo2sum  15966  sqrt2irrlem  16342  dvdsval2  16351  flodddiv4t2lthalf  16514  bitsres  16569  bitsuz  16570  dvdsgcdidd  16633  mulgcddvds  16751  qredeq  16753  isprm6  16811  qmuldeneqnum  16844  hashgcdlem  16885  pcqdiv  16955  pockthlem  17003  prmreclem3  17016  4sqlem5  17040  4sqlem12  17054  4sqlem15  17057  sylow3lem4  19763  odadd1  19981  odadd2  19982  gexexlem  19985  pgpfac1lem3a  20211  pgpfac1lem3  20212  znidomb  21780  znrrg  21784  nmoleub2lem  25348  nmoleub3  25353  i1fmullem  25928  mbfi1fseqlem3  25951  mbfi1fseqlem4  25952  mbfi1fseqlem5  25953  dvcnp2  26154  dvlip  26227  plydivlem4  26533  cosne0  26774  advlogexp  26900  root1id  26999  cxplogb  27031  ang180lem1  27054  ang180lem3  27056  angpieqvd  27076  chordthmlem  27077  dcubic2  27089  dcubic  27091  dquartlem2  27097  cxploglim2  27223  fsumdvdsdiaglem  27427  logexprlim  27469  bposlem3  27530  lgslem1  27541  gausslemma2dlem1a  27609  lgsquadlem1  27624  2lgslem1a1  27633  log2sumbnd  27788  chpdifbndlem1  27797  selberg4lem1  27804  pntrlog2bndlem3  27823  pntibndlem2  27835  pntlemr  27846  ostth2lem3  27879  ostth2  27881  ostth3  27882  axcontlem7  29435  blocnilem  31293  zringfrac  33972  constrrtcclem  34252  cos9thpiminplylem2  34301  qqhval2lem  34499  cndprobin  34953  itgexpif  35122  faclimlem1  36330  faclimlem3  36332  nn0prpwlem  36949  itg2addnclem3  38430  bfplem1  38580  rrncmslem  38590  rrnequiv  38593  nnproddivdvdsd  42874  lcmineqlem12  42914  3lexlogpow5ineq2  42929  3lexlogpow2ineq1  42932  aks4d1p8  42961  unitscyglem2  43070  readvrec2  43244  pellexlem6  43683  jm2.19  43842  jm2.27c  43856  binomcxplemnotnn0  45188  sineq0ALT  45767  xralrple2  46192  ltdiv23neg  46231  stoweidlem42  46878  stirlinglem3  46912  dirkertrigeq  46937  dirkercncflem2  46940  dirkercncflem4  46942  fourierdlem4  46947  fourierdlem63  47005  fourierdlem65  47007  fourierdlem83  47025  fourierdlem89  47031  fourierdlem90  47032  fourierdlem91  47033  etransclem38  47108  smfmullem1  47627  sigarcol  47700  sharhght  47701  mod0mul  48258  proththd  48525  nn0sumshdiglemA  49557  rrx2vlinest  49679