Theorem divcan1d 12010

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11899	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   · cmul 11123   / cdiv 11889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890

This theorem is used by:  ldiv  12067  ltdiv23  12124  lediv23  12125  recp1lt1  12131  ledivp1  12135  subhalfhalf  12496  xp1d2m1eqxm1d2  12516  div4p1lem1div2  12517  qmulz  12993  iccf1o  13541  ltdifltdiv  13887  bcpasc  14377  sqrtdiv  15342  geo2sum  15953  sqrt2irrlem  16329  dvdsval2  16338  flodddiv4t2lthalf  16501  bitsres  16556  bitsuz  16557  dvdsgcdidd  16620  mulgcddvds  16738  qredeq  16740  isprm6  16798  qmuldeneqnum  16831  hashgcdlem  16872  pcqdiv  16942  pockthlem  16990  prmreclem3  17003  4sqlem5  17027  4sqlem12  17041  4sqlem15  17044  sylow3lem4  19731  odadd1  19949  odadd2  19950  gexexlem  19953  pgpfac1lem3a  20179  pgpfac1lem3  20180  znidomb  21748  znrrg  21752  nmoleub2lem  25310  nmoleub3  25315  i1fmullem  25890  mbfi1fseqlem3  25913  mbfi1fseqlem4  25914  mbfi1fseqlem5  25915  dvcnp2  26116  dvlip  26189  plydivlem4  26494  cosne0  26731  advlogexp  26857  root1id  26956  cxplogb  26988  ang180lem1  27011  ang180lem3  27013  angpieqvd  27033  chordthmlem  27034  dcubic2  27046  dcubic  27048  dquartlem2  27054  cxploglim2  27180  fsumdvdsdiaglem  27384  logexprlim  27426  bposlem3  27487  lgslem1  27498  gausslemma2dlem1a  27566  lgsquadlem1  27581  2lgslem1a1  27590  log2sumbnd  27745  chpdifbndlem1  27754  selberg4lem1  27761  pntrlog2bndlem3  27780  pntibndlem2  27792  pntlemr  27803  ostth2lem3  27836  ostth2  27838  ostth3  27839  axcontlem7  29357  blocnilem  31193  zringfrac  33875  constrrtcclem  34155  cos9thpiminplylem2  34204  qqhval2lem  34402  cndprobin  34856  itgexpif  35025  faclimlem1  36256  faclimlem3  36258  nn0prpwlem  36874  itg2addnclem3  38365  bfplem1  38514  rrncmslem  38524  rrnequiv  38527  nnproddivdvdsd  42808  lcmineqlem12  42848  3lexlogpow5ineq2  42863  3lexlogpow2ineq1  42866  aks4d1p8  42895  unitscyglem2  43004  readvrec2  43163  pellexlem6  43602  jm2.19  43761  jm2.27c  43775  binomcxplemnotnn0  45107  sineq0ALT  45686  xralrple2  46111  ltdiv23neg  46150  stoweidlem42  46797  stirlinglem3  46831  dirkertrigeq  46856  dirkercncflem2  46859  dirkercncflem4  46861  fourierdlem4  46866  fourierdlem63  46924  fourierdlem65  46926  fourierdlem83  46944  fourierdlem89  46950  fourierdlem90  46951  fourierdlem91  46952  etransclem38  47027  smfmullem1  47546  sigarcol  47619  sharhght  47620  mod0mul  48140  proththd  48407  nn0sumshdiglemA  49440  rrx2vlinest  49562