Theorem divcan1d 11574

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  0cc0 10694   · cmul 10699   / cdiv 11454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455

This theorem is referenced by:  ldiv  11631  ltdiv23  11688  lediv23  11689  recp1lt1  11695  ledivp1  11699  subhalfhalf  12029  xp1d2m1eqxm1d2  12049  div4p1lem1div2  12050  qmulz  12512  iccf1o  13049  ltdifltdiv  13374  bcpasc  13852  sqrtdiv  14794  geo2sum  15400  sqrt2irrlem  15772  dvdsval2  15781  flodddiv4t2lthalf  15940  bitsres  15995  bitsuz  15996  dvdsgcdidd  16060  mulgcddvds  16175  qredeq  16177  isprm6  16234  qmuldeneqnum  16266  hashgcdlem  16304  pcqdiv  16373  pockthlem  16421  prmreclem3  16434  4sqlem5  16458  4sqlem12  16472  4sqlem15  16475  sylow3lem4  18973  odadd1  19187  odadd2  19188  gexexlem  19191  pgpfac1lem3a  19417  pgpfac1lem3  19418  znidomb  20480  znrrg  20484  nmoleub2lem  23965  nmoleub3  23970  i1fmullem  24545  mbfi1fseqlem3  24569  mbfi1fseqlem4  24570  mbfi1fseqlem5  24571  dvcnp2  24771  dvlip  24844  plydivlem4  25143  cosne0  25372  advlogexp  25497  root1id  25594  cxplogb  25623  ang180lem1  25646  ang180lem3  25648  angpieqvd  25668  chordthmlem  25669  dcubic2  25681  dcubic  25683  dquartlem2  25689  cxploglim2  25815  fsumdvdsdiaglem  26019  logexprlim  26060  bposlem3  26121  lgslem1  26132  gausslemma2dlem1a  26200  lgsquadlem1  26215  2lgslem1a1  26224  log2sumbnd  26379  chpdifbndlem1  26388  selberg4lem1  26395  pntrlog2bndlem3  26414  pntibndlem2  26426  pntlemr  26437  ostth2lem3  26470  ostth2  26472  ostth3  26473  axcontlem7  27015  blocnilem  28839  qqhval2lem  31597  cndprobin  32067  itgexpif  32252  faclimlem1  33378  faclimlem3  33380  nn0prpwlem  34197  itg2addnclem3  35516  bfplem1  35666  rrncmslem  35676  rrnequiv  35679  nnproddivdvdsd  39692  lcmineqlem12  39731  3lexlogpow5ineq2  39746  3lexlogpow2ineq1  39749  pellexlem6  40300  jm2.19  40459  jm2.27c  40473  binomcxplemnotnn0  41588  sineq0ALT  42171  xralrple2  42507  ltdiv23neg  42548  stoweidlem42  43201  stirlinglem3  43235  dirkertrigeq  43260  dirkercncflem2  43263  dirkercncflem4  43265  fourierdlem4  43270  fourierdlem63  43328  fourierdlem65  43330  fourierdlem83  43348  fourierdlem89  43354  fourierdlem90  43355  fourierdlem91  43356  etransclem38  43431  smfmullem1  43940  sigarcol  43995  sharhght  43996  proththd  44682  mod0mul  45481  nn0sumshdiglemA  45581  rrx2vlinest  45703