Theorem divcan1d 12016

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11903	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132   / cdiv 11892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893

This theorem is referenced by:  ldiv  12073  ltdiv23  12131  lediv23  12132  recp1lt1  12138  ledivp1  12142  subhalfhalf  12473  xp1d2m1eqxm1d2  12493  div4p1lem1div2  12494  qmulz  12965  iccf1o  13511  ltdifltdiv  13849  bcpasc  14337  sqrtdiv  15282  geo2sum  15887  sqrt2irrlem  16264  dvdsval2  16273  flodddiv4t2lthalf  16435  bitsres  16490  bitsuz  16491  dvdsgcdidd  16554  mulgcddvds  16672  qredeq  16674  isprm6  16731  qmuldeneqnum  16764  hashgcdlem  16805  pcqdiv  16875  pockthlem  16923  prmreclem3  16936  4sqlem5  16960  4sqlem12  16974  4sqlem15  16977  sylow3lem4  19609  odadd1  19827  odadd2  19828  gexexlem  19831  pgpfac1lem3a  20057  pgpfac1lem3  20058  znidomb  21520  znrrg  21524  nmoleub2lem  25063  nmoleub3  25068  i1fmullem  25645  mbfi1fseqlem3  25668  mbfi1fseqlem4  25669  mbfi1fseqlem5  25670  dvcnp2  25871  dvcnp2OLD  25872  dvlip  25948  plydivlem4  26254  cosne0  26488  advlogexp  26614  root1id  26714  cxplogb  26746  ang180lem1  26769  ang180lem3  26771  angpieqvd  26791  chordthmlem  26792  dcubic2  26804  dcubic  26806  dquartlem2  26812  cxploglim2  26939  fsumdvdsdiaglem  27143  logexprlim  27186  bposlem3  27247  lgslem1  27258  gausslemma2dlem1a  27326  lgsquadlem1  27341  2lgslem1a1  27350  log2sumbnd  27505  chpdifbndlem1  27514  selberg4lem1  27521  pntrlog2bndlem3  27540  pntibndlem2  27552  pntlemr  27563  ostth2lem3  27596  ostth2  27598  ostth3  27599  axcontlem7  28895  blocnilem  30731  zringfrac  33515  constrrtcclem  33714  cos9thpiminplylem2  33763  qqhval2lem  33958  cndprobin  34412  itgexpif  34584  faclimlem1  35706  faclimlem3  35708  nn0prpwlem  36286  itg2addnclem3  37643  bfplem1  37792  rrncmslem  37802  rrnequiv  37805  nnproddivdvdsd  41959  lcmineqlem12  41999  3lexlogpow5ineq2  42014  3lexlogpow2ineq1  42017  aks4d1p8  42046  unitscyglem2  42155  readvrec2  42351  pellexlem6  42804  jm2.19  42964  jm2.27c  42978  binomcxplemnotnn0  44328  sineq0ALT  44909  xralrple2  45329  ltdiv23neg  45369  stoweidlem42  46019  stirlinglem3  46053  dirkertrigeq  46078  dirkercncflem2  46081  dirkercncflem4  46083  fourierdlem4  46088  fourierdlem63  46146  fourierdlem65  46148  fourierdlem83  46166  fourierdlem89  46172  fourierdlem90  46173  fourierdlem91  46174  etransclem38  46249  smfmullem1  46768  sigarcol  46841  sharhght  46842  proththd  47576  mod0mul  48447  nn0sumshdiglemA  48547  rrx2vlinest  48669