Theorem divcan1d 11930

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 11817	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  ldiv  11987  ltdiv23  12045  lediv23  12046  recp1lt1  12052  ledivp1  12056  subhalfhalf  12387  xp1d2m1eqxm1d2  12407  div4p1lem1div2  12408  qmulz  12876  iccf1o  13424  ltdifltdiv  13766  bcpasc  14256  sqrtdiv  15200  geo2sum  15808  sqrt2irrlem  16185  dvdsval2  16194  flodddiv4t2lthalf  16357  bitsres  16412  bitsuz  16413  dvdsgcdidd  16476  mulgcddvds  16594  qredeq  16596  isprm6  16653  qmuldeneqnum  16686  hashgcdlem  16727  pcqdiv  16797  pockthlem  16845  prmreclem3  16858  4sqlem5  16882  4sqlem12  16896  4sqlem15  16899  sylow3lem4  19571  odadd1  19789  odadd2  19790  gexexlem  19793  pgpfac1lem3a  20019  pgpfac1lem3  20020  znidomb  21528  znrrg  21532  nmoleub2lem  25082  nmoleub3  25087  i1fmullem  25663  mbfi1fseqlem3  25686  mbfi1fseqlem4  25687  mbfi1fseqlem5  25688  dvcnp2  25889  dvcnp2OLD  25890  dvlip  25966  plydivlem4  26272  cosne0  26506  advlogexp  26632  root1id  26732  cxplogb  26764  ang180lem1  26787  ang180lem3  26789  angpieqvd  26809  chordthmlem  26810  dcubic2  26822  dcubic  26824  dquartlem2  26830  cxploglim2  26957  fsumdvdsdiaglem  27161  logexprlim  27204  bposlem3  27265  lgslem1  27276  gausslemma2dlem1a  27344  lgsquadlem1  27359  2lgslem1a1  27368  log2sumbnd  27523  chpdifbndlem1  27532  selberg4lem1  27539  pntrlog2bndlem3  27558  pntibndlem2  27570  pntlemr  27581  ostth2lem3  27614  ostth2  27616  ostth3  27617  axcontlem7  29055  blocnilem  30891  zringfrac  33646  constrrtcclem  33911  cos9thpiminplylem2  33960  qqhval2lem  34158  cndprobin  34611  itgexpif  34783  faclimlem1  35956  faclimlem3  35958  nn0prpwlem  36535  itg2addnclem3  37918  bfplem1  38067  rrncmslem  38077  rrnequiv  38080  nnproddivdvdsd  42364  lcmineqlem12  42404  3lexlogpow5ineq2  42419  3lexlogpow2ineq1  42422  aks4d1p8  42451  unitscyglem2  42560  readvrec2  42725  pellexlem6  43185  jm2.19  43344  jm2.27c  43358  binomcxplemnotnn0  44706  sineq0ALT  45286  xralrple2  45707  ltdiv23neg  45746  stoweidlem42  46394  stirlinglem3  46428  dirkertrigeq  46453  dirkercncflem2  46456  dirkercncflem4  46458  fourierdlem4  46463  fourierdlem63  46521  fourierdlem65  46523  fourierdlem83  46541  fourierdlem89  46547  fourierdlem90  46548  fourierdlem91  46549  etransclem38  46624  smfmullem1  47143  sigarcol  47216  sharhght  47217  mod0mul  47710  proththd  47968  nn0sumshdiglemA  48973  rrx2vlinest  49095