Theorem cxp112d 42356

Description: General condition for complex exponentiation to be one-to-one with respect to the second argument. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp112d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cxp112d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxp112d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cxp112d.0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
cxp112d.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxp112d	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem cxp112d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp112d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		cxp112d.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		cxp112d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	cxpefd 26769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))))
5		cxp112d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	cxpefd 26769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶))))
7	4, 6	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶)))))
8	1, 2	logcld 26627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
9	3, 8	mulcld 11279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
10	5, 8	mulcld 11279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
11	9, 10	ef11d 42354	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
14	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
15		ax-icn 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
16		2cn 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		picn 26516	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
18	16, 17	mulcli 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
19	15, 18	mulcli 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
21		zcn 12616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 11279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
24	14, 23	addcld 11278	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ)
25		cxp112d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 1)
26	1, 2, 25	logccne0d 42355	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐶) ≠ 0)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (log‘𝐶) ≠ 0)
28	12, 13, 24, 27	ldiv 12099	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶))))
29	14, 23, 13, 27	divdird 12079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) = (((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
30	5, 8, 26	divcan4d 12047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) = 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) = 𝐵)
32	31	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))) = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
33	29, 32	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
34	33	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
35	28, 34	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
36	35	rexbidva 3175	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
37	7, 11, 36	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158   / cdiv 11918  2c2 12319  ℤcz 12611  expce 16094  πcpi 16099  logclog 26611  ↑_𝑐ccxp 26612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614

This theorem is referenced by:  cxpi11d  42358