Theorem cxp112d 42914

Description: General condition for complex exponentiation to be one-to-one with respect to the second argument. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp112d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cxp112d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxp112d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cxp112d.0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
cxp112d.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxp112d	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem cxp112d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp112d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		cxp112d.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		cxp112d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	cxpefd 26754	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))))
5		cxp112d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	cxpefd 26754	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶))))
7	4, 6	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶)))))
8	1, 2	logcld 26612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
9	3, 8	mulcld 11199	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
10	5, 8	mulcld 11199	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
11	9, 10	ef11d 42912	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
12	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
14	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
15		ax-icn 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
16		2cn 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		picn 26498	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
18	16, 17	mulcli 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
19	15, 18	mulcli 11186	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
21		zcn 12570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
22	21	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 11199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
24	14, 23	addcld 11198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ)
25		cxp112d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 1)
26	1, 2, 25	logccne0d 42913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐶) ≠ 0)
27	26	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (log‘𝐶) ≠ 0)
28	12, 13, 24, 27	ldiv 12022	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶))))
29	14, 23, 13, 27	divdird 12002	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) = (((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
30	5, 8, 26	divcan4d 11970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) = 𝐵)
31	30	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) = 𝐵)
32	31	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))) = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
33	29, 32	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
34	33	eqeq2d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
35	28, 34	bitrd 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
36	35	rexbidva 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
37	7, 11, 36	3bitrd 307	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071  ici 11072   + caddc 11073   · cmul 11075   / cdiv 11841  2c2 12269  ℤcz 12565  expce 16074  πcpi 16079  logclog 26596  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-cxp 26599

This theorem is referenced by:  cxpi11d  42916