Theorem cxp112d 42377

Description: General condition for complex exponentiation to be one-to-one with respect to the second argument. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp112d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cxp112d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxp112d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cxp112d.0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
cxp112d.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxp112d	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem cxp112d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp112d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		cxp112d.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		cxp112d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	cxpefd 26754	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))))
5		cxp112d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	cxpefd 26754	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶))))
7	4, 6	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶)))))
8	1, 2	logcld 26612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
9	3, 8	mulcld 11281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
10	5, 8	mulcld 11281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
11	9, 10	ef11d 42375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
14	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
15		ax-icn 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
16		2cn 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		picn 26501	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
18	16, 17	mulcli 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
19	15, 18	mulcli 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
21		zcn 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 11281	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
24	14, 23	addcld 11280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ)
25		cxp112d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 1)
26	1, 2, 25	logccne0d 42376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐶) ≠ 0)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (log‘𝐶) ≠ 0)
28	12, 13, 24, 27	ldiv 12101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶))))
29	14, 23, 13, 27	divdird 12081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) = (((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
30	5, 8, 26	divcan4d 12049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) = 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) = 𝐵)
32	31	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))) = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
33	29, 32	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
34	33	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
35	28, 34	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
36	35	rexbidva 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
37	7, 11, 36	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   / cdiv 11920  2c2 12321  ℤcz 12613  expce 16097  πcpi 16102  logclog 26596  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599

This theorem is referenced by:  cxpi11d  42379