Theorem cxp112d 42773

Description: General condition for complex exponentiation to be one-to-one with respect to the second argument. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp112d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cxp112d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxp112d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cxp112d.0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
cxp112d.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxp112d	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem cxp112d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp112d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		cxp112d.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		cxp112d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	cxpefd 26676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))))
5		cxp112d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	cxpefd 26676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶))))
7	4, 6	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶)))))
8	1, 2	logcld 26534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
9	3, 8	mulcld 11165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
10	5, 8	mulcld 11165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
11	9, 10	ef11d 42771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
14	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
15		ax-icn 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
16		2cn 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		picn 26422	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
18	16, 17	mulcli 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
19	15, 18	mulcli 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
21		zcn 12529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 11165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
24	14, 23	addcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ)
25		cxp112d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 1)
26	1, 2, 25	logccne0d 42772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐶) ≠ 0)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (log‘𝐶) ≠ 0)
28	12, 13, 24, 27	ldiv 11989	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶))))
29	14, 23, 13, 27	divdird 11969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) = (((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
30	5, 8, 26	divcan4d 11937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) = 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) = 𝐵)
32	31	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))) = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
33	29, 32	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
34	33	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
35	28, 34	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
36	35	rexbidva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
37	7, 11, 36	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   / cdiv 11807  2c2 12236  ℤcz 12524  expce 16026  πcpi 16031  logclog 26518  ↑_𝑐ccxp 26519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-cxp 26521

This theorem is referenced by:  cxpi11d  42775