Theorem cxp112d 43486

Description: General condition for complex exponentiation to be one-to-one with respect to the second argument. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp112d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cxp112d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxp112d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cxp112d.0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
cxp112d.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxp112d	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem cxp112d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp112d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		cxp112d.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		cxp112d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	cxpefd 27046	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))))
5		cxp112d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	cxpefd 27046	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶))))
7	4, 6	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶)))))
8	1, 2	logcld 26904	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
9	3, 8	mulcld 11333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
10	5, 8	mulcld 11333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
11	9, 10	ef11d 43484	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 · (log‘𝐶))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐶))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
12	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
14	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵 · (log‘𝐶)) ∈ ℂ)
15		ax-icn 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
16		2cn 12422	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		picn 26791	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
18	16, 17	mulcli 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
19	15, 18	mulcli 11320	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
21		zcn 12702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
22	21	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 11333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
24	14, 23	addcld 11332	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ∈ ℂ)
25		cxp112d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 1)
26	1, 2, 25	logccne0d 43485	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐶) ≠ 0)
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (log‘𝐶) ≠ 0)
28	12, 13, 24, 27	ldiv 12155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶))))
29	14, 23, 13, 27	divdird 12135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) = (((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
30	5, 8, 26	divcan4d 12103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) = 𝐵)
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) = 𝐵)
32	31	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐶)) + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))) = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
33	29, 32	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶))))
34	33	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = (((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) / (log‘𝐶)) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
35	28, 34	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
36	35	rexbidva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 · (log‘𝐶)) = ((𝐵 · (log‘𝐶)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))
37	7, 11, 36	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑐𝐴) = (𝐶↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘𝐶)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205  ici 11206   + caddc 11207   · cmul 11209   / cdiv 11977  2c2 12401  ℤcz 12697  expce 16233  πcpi 16238  logclog 26888  ↑_𝑐ccxp 26889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-log 26890  df-cxp 26891

This theorem is used by:  cxpi11d  43488