Theorem elpell1qr2 43676

Description: The first quadrant solutions are precisely the positive Pell solutions which are at least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elpell1qr2	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem elpell1qr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pell1qrss14 43672	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
2	1	sselda 3938	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
3		pell1qrge1 43674	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴))
5		1red 11228	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 1 ∈ ℝ)
6		pell14qrre 43661	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	5, 6	leloed 11372	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
8	5, 6	ltnled 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
9	8	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
10		1div1e1 11924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 1) = 1
11	10	eqcomi 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1 / 1)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 1 = (1 / 1))
13	12	breq2d 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (1 / 1)))
14	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		pell14qrgt0 43663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
17		1red 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
18		0lt1 11755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
20		lerec2 12122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (𝐴 ≤ (1 / 1) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
21	14, 16, 17, 19, 20	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ (1 / 1) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
22	13, 21	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 1 ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
23	9, 22	mtbid 327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 ≤ (1 / 𝐴))
24		simplll 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
25		pell1qrge1 43674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ (1 / 𝐴))
26	24, 25	sylancom 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ (1 / 𝐴))
27	23, 26	mtand 828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
28		pell14qrdich 43673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
30		orel2 904	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷) → ((𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
31	27, 29, 30	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
32		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 1 = 𝐴)
33		pell1qr1 43675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
34	33	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
35	32, 34	eqeltrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
36	31, 35	jaodan 972	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
37	36	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
38	7, 37	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
39	38	impr 460	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
40	4, 39	impbida 813	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11118  0cc0 11119  1c1 11120   < clt 11262   ≤ cle 11263   / cdiv 11890  ℕcn 12252  ◻_NNcsquarenn 43640  Pell1QRcpell1qr 43641  Pell14QRcpell14qr 43643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-seq 14060  df-exp 14120  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-pell1qr 43646  df-pell14qr 43647  df-pell1234qr 43648

This theorem is used by:  pell14qrgap  43679  pellfundglb  43689