Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpell1qr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpell1qr2 41238
Description: The first quadrant solutions are precisely the positive Pell solutions which are at least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elpell1qr2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem elpell1qr2
StepHypRef Expression
1 pell1qrss14 41234 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
21sselda 3945 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
3 pell1qrge1 41236 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)
42, 3jca 513 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴))
5 1red 11161 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 1 ∈ ℝ)
6 pell14qrre 41223 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
75, 6leloed 11303 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
85, 6ltnled 11307 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
98biimpa 478 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
10 1div1e1 11850 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 1) = 1
1110eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1 / 1)
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 1 = (1 / 1))
1312breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (1 / 1)))
146adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 pell14qrgt0 41225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
17 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
18 0lt1 11682 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
20 lerec2 12048 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (𝐴 ≤ (1 / 1) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
2114, 16, 17, 19, 20syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ (1 / 1) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
2213, 21bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 1 ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
239, 22mtbid 324 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 ≤ (1 / 𝐴))
24 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
25 pell1qrge1 41236 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ (1 / 𝐴))
2624, 25sylancom 589 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ (1 / 𝐴))
2723, 26mtand 815 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
28 pell14qrdich 41235 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
2928adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
30 orel2 890 . . . . . . 7 (¬ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷) → ((𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
3127, 29, 30sylc 65 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
32 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 1 = 𝐴)
33 pell1qr1 41237 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
3433ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
3532, 34eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
3631, 35jaodan 957 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
3736ex 414 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
387, 37sylbid 239 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
3938impr 456 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
404, 39impbida 800 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3908   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   < clt 11194  cle 11195   / cdiv 11817  cn 12158  NNcsquarenn 41202  Pell1QRcpell1qr 41203  Pell14QRcpell14qr 41205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-pell1qr 41208  df-pell14qr 41209  df-pell1234qr 41210
This theorem is referenced by:  pell14qrgap  41241  pellfundglb  41251
  Copyright terms: Public domain W3C validator