Theorem elpell1qr2 42975

Description: The first quadrant solutions are precisely the positive Pell solutions which are at least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elpell1qr2	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem elpell1qr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pell1qrss14 42971	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
2	1	sselda 3929	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
3		pell1qrge1 42973	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴))
5		1red 11113	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 1 ∈ ℝ)
6		pell14qrre 42960	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	5, 6	leloed 11256	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
8	5, 6	ltnled 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
9	8	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
10		1div1e1 11812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 1) = 1
11	10	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1 / 1)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 1 = (1 / 1))
13	12	breq2d 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (1 / 1)))
14	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		pell14qrgt0 42962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
17		1red 11113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
18		0lt1 11639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
20		lerec2 12010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (𝐴 ≤ (1 / 1) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
21	14, 16, 17, 19, 20	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ (1 / 1) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
22	13, 21	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 1 ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
23	9, 22	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 ≤ (1 / 𝐴))
24		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
25		pell1qrge1 42973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ (1 / 𝐴))
26	24, 25	sylancom 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ (1 / 𝐴))
27	23, 26	mtand 815	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
28		pell14qrdich 42972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
30		orel2 890	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷) → ((𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
31	27, 29, 30	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 1 = 𝐴)
33		pell1qr1 42974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
35	32, 34	eqeltrrd 2832	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
36	31, 35	jaodan 959	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
38	7, 37	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
39	38	impr 454	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
40	4, 39	impbida 800	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   < clt 11146   ≤ cle 11147   / cdiv 11774  ℕcn 12125  ◻_NNcsquarenn 42939  Pell1QRcpell1qr 42940  Pell14QRcpell14qr 42942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-pell1qr 42945  df-pell14qr 42946  df-pell1234qr 42947

This theorem is referenced by:  pell14qrgap  42978  pellfundglb  42988