Theorem elpell1qr2 43056

Description: The first quadrant solutions are precisely the positive Pell solutions which are at least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elpell1qr2	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem elpell1qr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pell1qrss14 43052	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
2	1	sselda 3931	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
3		pell1qrge1 43054	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴))
5		1red 11131	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 1 ∈ ℝ)
6		pell14qrre 43041	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	5, 6	leloed 11274	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
8	5, 6	ltnled 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
9	8	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
10		1div1e1 11830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 1) = 1
11	10	eqcomi 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1 / 1)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 1 = (1 / 1))
13	12	breq2d 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (1 / 1)))
14	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		pell14qrgt0 43043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
17		1red 11131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
18		0lt1 11657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
20		lerec2 12028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (𝐴 ≤ (1 / 1) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
21	14, 16, 17, 19, 20	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ (1 / 1) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
22	13, 21	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 1 ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
23	9, 22	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 ≤ (1 / 𝐴))
24		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
25		pell1qrge1 43054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ (1 / 𝐴))
26	24, 25	sylancom 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ (1 / 𝐴))
27	23, 26	mtand 815	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
28		pell14qrdich 43053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
30		orel2 890	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷) → ((𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
31	27, 29, 30	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 1 = 𝐴)
33		pell1qr1 43055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
35	32, 34	eqeltrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
36	31, 35	jaodan 959	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
38	7, 37	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
39	38	impr 454	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
40	4, 39	impbida 800	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   < clt 11164   ≤ cle 11165   / cdiv 11792  ℕcn 12143  ◻_NNcsquarenn 43020  Pell1QRcpell1qr 43021  Pell14QRcpell14qr 43023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-pell1qr 43026  df-pell14qr 43027  df-pell1234qr 43028

This theorem is referenced by:  pell14qrgap  43059  pellfundglb  43069