Theorem elpell1qr2 44022

Description: The first quadrant solutions are precisely the positive Pell solutions which are at least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elpell1qr2	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem elpell1qr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pell1qrss14 44018	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
2	1	sselda 3913	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
3		pell1qrge1 44020	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴))
5		1red 11322	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 1 ∈ ℝ)
6		pell14qrre 44007	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	5, 6	leloed 11466	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
8	5, 6	ltnled 11470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
9	8	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
10		1div1e1 12020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 1) = 1
11	10	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1 / 1)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 1 = (1 / 1))
13	12	breq2d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (1 / 1)))
14	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		pell14qrgt0 44009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
17		1red 11322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
18		0lt1 11851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
20		lerec2 12218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (𝐴 ≤ (1 / 1) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
21	14, 16, 17, 19, 20	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ (1 / 1) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
22	13, 21	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 1 ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
23	9, 22	mtbid 327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 ≤ (1 / 𝐴))
24		simplll 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
25		pell1qrge1 44020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ (1 / 𝐴))
26	24, 25	sylancom 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ (1 / 𝐴))
27	23, 26	mtand 828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
28		pell14qrdich 44019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
30		orel2 904	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷) → ((𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∨ (1 / 𝐴) ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
31	27, 29, 30	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
32		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 1 = 𝐴)
33		pell1qr1 44021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
34	33	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
35	32, 34	eqeltrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ 1 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
36	31, 35	jaodan 972	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
37	36	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
38	7, 37	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 ≤ 𝐴 → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)))
39	38	impr 460	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
40	4, 39	impbida 813	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   < clt 11356   ≤ cle 11357   / cdiv 11986  ℕcn 12348  ◻_NNcsquarenn 43986  Pell1QRcpell1qr 43987  Pell14QRcpell14qr 43989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-pell1qr 43992  df-pell14qr 43993  df-pell1234qr 43994

This theorem is used by:  pell14qrgap  44025  pellfundglb  44035