MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recrec 11912
Description: A number is equal to the reciprocal of its reciprocal. Theorem I.10 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
recrec ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / (1 / ๐ด)) = ๐ด)

Proof of Theorem recrec
StepHypRef Expression
1 recid2 11888 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1)
2 1cnd 11210 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3 simpl 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 reccl 11880 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 recne0 11886 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โ‰  0)
6 divmul 11876 . . 3 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / ๐ด) โ‰  0)) โ†’ ((1 / (1 / ๐ด)) = ๐ด โ†” ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1))
72, 3, 4, 5, 6syl112anc 1371 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / (1 / ๐ด)) = ๐ด โ†” ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1))
81, 7mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / (1 / ๐ด)) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   / cdiv 11872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873
This theorem is referenced by:  recreci  11947  recrecd  11988  ltrec1  12102  lerec2  12103  resqrex  15201  logrec  26646  rlimcnp  26848  rlimcnp2  26849  recsec  48056  reccsc  48057
  Copyright terms: Public domain W3C validator