Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpat3 39551
Description: There is only one atom under both 𝑃 ∨ 𝑄 and co-atom π‘Š. (Contributed by NM, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhpat.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lhpat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lhpat2.r 𝑅 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lhpat3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ↔ 𝑆 β‰  𝑅))

Proof of Theorem lhpat3
StepHypRef Expression
1 simpl3r 1226 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
2 simpr 483 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝑆 ≀ π‘Š)
3 simp1ll 1233 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38868 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2r 1197 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
6 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 lhpat.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 38793 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simp1rl 1235 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11 simp2l 1196 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
12 lhpat.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
136, 12, 7hlatjcl 38871 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
143, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 simp1lr 1234 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
16 lhpat.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
176, 16lhpbase 39503 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 lhpat.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
20 lhpat.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
216, 19, 20latlem12 18465 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
224, 9, 14, 18, 21syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
2322adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
241, 2, 23mpbi2and 710 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))
25 lhpat2.r . . . . . 6 𝑅 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
2624, 25breqtrrdi 5194 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝑆 ≀ 𝑅)
273adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ HL)
28 hlatl 38864 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
30 simpl2r 1224 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
31 simpl1l 1221 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
32 simpl1r 1222 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
33 simpl2l 1223 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
34 simpl3l 1225 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
3519, 12, 20, 7, 16, 25lhpat2 39550 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
3631, 32, 33, 34, 35syl112anc 1371 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
3719, 7atcmp 38815 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ≀ 𝑅 ↔ 𝑆 = 𝑅))
3829, 30, 36, 37syl3anc 1368 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ (𝑆 ≀ 𝑅 ↔ 𝑆 = 𝑅))
3926, 38mpbid 231 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑆 ≀ π‘Š) β†’ 𝑆 = 𝑅)
4039ex 411 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑆 ≀ π‘Š β†’ 𝑆 = 𝑅))
416, 19, 20latmle2 18464 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
424, 14, 18, 41syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
4325, 42eqbrtrid 5187 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 ≀ π‘Š)
44 breq1 5155 . . . 4 (𝑆 = 𝑅 β†’ (𝑆 ≀ π‘Š ↔ 𝑅 ≀ π‘Š))
4543, 44syl5ibrcom 246 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑆 = 𝑅 β†’ 𝑆 ≀ π‘Š))
4640, 45impbid 211 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑆 ≀ π‘Š ↔ 𝑆 = 𝑅))
4746necon3bbid 2975 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ↔ 𝑆 β‰  𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  Atomscatm 38767  AtLatcal 38768  HLchlt 38854  LHypclh 39489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-lhyp 39493
This theorem is referenced by:  4atexlemntlpq  39573  4atexlemnclw  39575
  Copyright terms: Public domain W3C validator