MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindfres 21378
Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfres ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem lindfres
StepHypRef Expression
1 coires1 6264 . . 3 (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) = (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋))
2 resdmres 6232 . . 3 (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋)
31, 2eqtri 2761 . 2 (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋)
4 f1oi 6872 . . . . 5 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹𝑋)
5 f1of1 6833 . . . . 5 (( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹𝑋) → ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋)
7 resss 6007 . . . . 5 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐹
8 dmss 5903 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹
10 f1ss 6794 . . . 4 ((( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋) ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹) → ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹)
116, 9, 10mp2an 691 . . 3 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹
12 f1lindf 21377 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) LIndF 𝑊)
1311, 12mp3an3 1451 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) LIndF 𝑊)
143, 13eqbrtrrid 5185 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹𝑋) LIndF 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wss 3949   class class class wbr 5149   I cid 5574  dom cdm 5677  cres 5679  ccom 5681  1-1wf1 6541  1-1-ontowf1o 6543  LModclmod 20471   LIndF clindf 21359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lindf 21361
This theorem is referenced by:  lindsss  21379
  Copyright terms: Public domain W3C validator