MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindfres 21718
Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfres ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem lindfres
StepHypRef Expression
1 coires1 6257 . . 3 (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) = (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋))
2 resdmres 6225 . . 3 (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋)
31, 2eqtri 2754 . 2 (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋)
4 f1oi 6865 . . . . 5 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹𝑋)
5 f1of1 6826 . . . . 5 (( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹𝑋) → ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋)
7 resss 6000 . . . . 5 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐹
8 dmss 5896 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹
10 f1ss 6787 . . . 4 ((( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋) ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹) → ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹)
116, 9, 10mp2an 689 . . 3 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹
12 f1lindf 21717 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) LIndF 𝑊)
1311, 12mp3an3 1446 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) LIndF 𝑊)
143, 13eqbrtrrid 5177 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹𝑋) LIndF 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  wss 3943   class class class wbr 5141   I cid 5566  dom cdm 5669  cres 5671  ccom 5673  1-1wf1 6534  1-1-ontowf1o 6536  LModclmod 20706   LIndF clindf 21699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12217  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lindf 21701
This theorem is referenced by:  lindsss  21719
  Copyright terms: Public domain W3C validator