Theorem lindfres 21868

Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindfres	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem lindfres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coires1 6297	. . 3 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) = (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))
2		resdmres 6265	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝐹 ↾ 𝑋)
3	1, 2	eqtri 2768	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) = (𝐹 ↾ 𝑋)
4		f1oi 6902	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹 ↾ 𝑋)
5		f1of1 6863	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹 ↾ 𝑋) → ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋)
7		resss 6033	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹
8		dmss 5927	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹
10		f1ss 6824	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹) → ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹)
11	6, 9, 10	mp2an 691	. . 3 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹
12		f1lindf 21867	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) LIndF 𝑊)
13	11, 12	mp3an3 1450	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) LIndF 𝑊)
14	3, 13	eqbrtrrid 5202	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   I cid 5592  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  –1-1→wf1 6572  –1-1-onto→wf1o 6574  LModclmod 20882   LIndF clindf 21849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-1cn 11244  ax-addcl 11246

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-nn 12296  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-grp 18978  df-lmod 20884  df-lss 20955  df-lsp 20995  df-lindf 21851

This theorem is referenced by:  lindsss  21869