MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindfres 20512
Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfres ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem lindfres
StepHypRef Expression
1 coires1 6084 . . 3 (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) = (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋))
2 resdmres 6056 . . 3 (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋)
31, 2eqtri 2821 . 2 (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋)
4 f1oi 6627 . . . . 5 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹𝑋)
5 f1of1 6589 . . . . 5 (( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹𝑋) → ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋)
7 resss 5843 . . . . 5 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐹
8 dmss 5735 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹
10 f1ss 6555 . . . 4 ((( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋) ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹) → ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹)
116, 9, 10mp2an 691 . . 3 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹
12 f1lindf 20511 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) LIndF 𝑊)
1311, 12mp3an3 1447 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) LIndF 𝑊)
143, 13eqbrtrrid 5066 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹𝑋) LIndF 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2111  wss 3881   class class class wbr 5030   I cid 5424  dom cdm 5519  cres 5521  ccom 5523  1-1wf1 6321  1-1-ontowf1o 6323  LModclmod 19627   LIndF clindf 20493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-slot 16479  df-base 16481  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lindf 20495
This theorem is referenced by:  lindsss  20513
  Copyright terms: Public domain W3C validator