Theorem lindfres 22162

Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindfres	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem lindfres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coires1 6283	. . 3 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) = (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))
2		resdmres 6247	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝐹 ↾ 𝑋)
3	1, 2	eqtri 2786	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) = (𝐹 ↾ 𝑋)
4		f1oi 6889	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)⟶1-1ontodom (𝐹 ↾ 𝑋)
5		f1of1 6848	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)⟶1-1ontodom (𝐹 ↾ 𝑋) → ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)⟶1-1dom (𝐹 ↾ 𝑋))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)⟶1-1dom (𝐹 ↾ 𝑋)
7		resss 6004	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹
8		dmss 5892	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹
10		f1ss 6810	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)⟶1-1dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹) → ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)⟶1-1dom 𝐹)
11	6, 9, 10	mp2an 705	. . 3 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)⟶1-1dom 𝐹
12		f1lindf 22161	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)⟶1-1dom 𝐹) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) LIndF 𝑊)
13	11, 12	mp3an3 1480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) LIndF 𝑊)
14	3, 13	eqbrtrrid 5145	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   I cid 5550  dom cdm 5656   ↾ cres 5658   ∘ ccom 5660  ⟶1-1wf1 6558  ⟶1-1ontowf1o 6560  LModclmod 21168   LIndF clindf 22143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-1cn 11288  ax-addcl 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12366  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-lindf 22145

This theorem is used by:  lindsss  22163