Theorem lindfres 21796

Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindfres	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem lindfres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coires1 6264	. . 3 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) = (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))
2		resdmres 6232	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝐹 ↾ 𝑋)
3	1, 2	eqtri 2757	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) = (𝐹 ↾ 𝑋)
4		f1oi 6865	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹 ↾ 𝑋)
5		f1of1 6826	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹 ↾ 𝑋) → ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋)
7		resss 5999	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹
8		dmss 5893	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹
10		f1ss 6788	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹) → ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹)
11	6, 9, 10	mp2an 692	. . 3 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹
12		f1lindf 21795	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) LIndF 𝑊)
13	11, 12	mp3an3 1451	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) LIndF 𝑊)
14	3, 13	eqbrtrrid 5159	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5123   I cid 5557  dom cdm 5665   ↾ cres 5667   ∘ ccom 5669  –1-1→wf1 6537  –1-1-onto→wf1o 6539  LModclmod 20825   LIndF clindf 21777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-1cn 11194  ax-addcl 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12248  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-0g 17456  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-grp 18922  df-lmod 20827  df-lss 20897  df-lsp 20937  df-lindf 21779

This theorem is referenced by:  lindsss  21797