MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindfres 20487
Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfres ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem lindfres
StepHypRef Expression
1 coires1 5872 . . 3 (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) = (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋))
2 resdmres 5844 . . 3 (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋)
31, 2eqtri 2821 . 2 (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋)
4 f1oi 6393 . . . . 5 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹𝑋)
5 f1of1 6355 . . . . 5 (( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹𝑋) → ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋)
7 resss 5632 . . . . 5 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐹
8 dmss 5526 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹
10 f1ss 6321 . . . 4 ((( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋) ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹) → ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹)
116, 9, 10mp2an 684 . . 3 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹
12 f1lindf 20486 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) LIndF 𝑊)
1311, 12mp3an3 1575 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) LIndF 𝑊)
143, 13syl5eqbrr 4879 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹𝑋) LIndF 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wcel 2157  wss 3769   class class class wbr 4843   I cid 5219  dom cdm 5312  cres 5314  ccom 5316  1-1wf1 6098  1-1-ontowf1o 6100  LModclmod 19181   LIndF clindf 20468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-slot 16188  df-base 16190  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lindf 20470
This theorem is referenced by:  lindsss  20488
  Copyright terms: Public domain W3C validator