Theorem lindfres 21790

Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindfres	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem lindfres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coires1 6231	. . 3 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) = (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))
2		resdmres 6198	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝐹 ↾ 𝑋)
3	1, 2	eqtri 2760	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) = (𝐹 ↾ 𝑋)
4		f1oi 6820	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹 ↾ 𝑋)
5		f1of1 6781	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹 ↾ 𝑋) → ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋)
7		resss 5968	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹
8		dmss 5859	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹
10		f1ss 6743	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹) → ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹)
11	6, 9, 10	mp2an 693	. . 3 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹
12		f1lindf 21789	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) LIndF 𝑊)
13	11, 12	mp3an3 1453	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) LIndF 𝑊)
14	3, 13	eqbrtrrid 5136	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   I cid 5526  dom cdm 5632   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  –1-1→wf1 6497  –1-1-onto→wf1o 6499  LModclmod 20823   LIndF clindf 21771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lindf 21773

This theorem is referenced by:  lindsss  21791