Theorem llycmpkgen 23778

Description: A locally compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
llycmpkgen	⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Proof of Theorem llycmpkgen

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		nllytop 23699	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp)
4	1	topopn 23131	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
8		nllyi 23701	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑘 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp))
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑘 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp))
10		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
11	10	reximi 3100	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑘 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
12	9, 11	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
13	1, 2, 12	llycmpkgen2 23776	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↾_t crest 17505  Topctop 23118  neicnei 23322  Compccmp 23611  𝑛-Locally cnlly 23691  𝑘Genckgen 23759

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-en 8953  df-fin 8956  df-fi 9381  df-rest 17507  df-topgen 17528  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-ntr 23245  df-nei 23323  df-cmp 23612  df-nlly 23693  df-kgen 23760

This theorem is used by:  txkgen  23878