Theorem llycmpkgen 23439

Description: A locally compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
llycmpkgen	⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Proof of Theorem llycmpkgen

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		nllytop 23360	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp)
4	1	topopn 22793	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
8		nllyi 23362	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑘 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp))
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑘 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp))
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
11	10	reximi 3067	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑘 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
13	1, 2, 12	llycmpkgen2 23437	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ∪ cuni 4871  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↾_t crest 17383  Topctop 22780  neicnei 22984  Compccmp 23273  𝑛-Locally cnlly 23352  𝑘Genckgen 23420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-en 8919  df-fin 8922  df-fi 9362  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-ntr 22907  df-nei 22985  df-cmp 23274  df-nlly 23354  df-kgen 23421

This theorem is referenced by:  txkgen  23539