MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  llycmpkgen Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem llycmpkgen 23277
Description: A locally compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
llycmpkgen (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp β†’ 𝐽 ∈ ran π‘˜Gen)
Proof of Theorem llycmpkgen
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . 2 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 nllytop 23198 . 2 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 simpl 482 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp)
41topopn 22629 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
65adantr 480 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
7 simpr 484 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽)
8 nllyi 23200 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp))
93, 6, 7, 8syl3anc 1370 . . 3 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp))
10 simpr 484 . . . 4 ((π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
1110reximi 3083 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
129, 11syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
131, 2, 12llycmpkgen2 23275 1 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp β†’ 𝐽 ∈ ran π‘˜Gen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   β†Ύt crest 17371  Topctop 22616  neicnei 22822  Compccmp 23111  π‘›-Locally cnlly 23190  π‘˜Genckgen 23258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-en 8943  df-fin 8946  df-fi 9409  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-ntr 22745  df-nei 22823  df-cmp 23112  df-nlly 23192  df-kgen 23259
This theorem is referenced by:  txkgen  23377
  Copyright terms: Public domain W3C validator