HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopmulsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopmulsubi 29745
Description: Product/subtraction property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopl.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopmulsubi ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) − 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) − (𝑇𝐶)))

Proof of Theorem lnopmulsubi
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 28782 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
2 lnopl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinOp
32lnopsubi 29743 . . 3 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) − 𝐶)) = ((𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) − (𝑇𝐶)))
41, 3stoic3 1770 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) − 𝐶)) = ((𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) − (𝑇𝐶)))
52lnopmuli 29741 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
653adant3 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
76oveq1d 7163 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) − (𝑇𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) − (𝑇𝐶)))
84, 7eqtrd 2854 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) − 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) − (𝑇𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  chba 28688   · csm 28690   cmv 28694  LinOpclo 28716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-hilex 28768  ax-hfvadd 28769  ax-hvass 28771  ax-hv0cl 28772  ax-hvaddid 28773  ax-hfvmul 28774  ax-hvmulid 28775  ax-hvdistr2 28778  ax-hvmul0 28779
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865  df-hvsub 28740  df-lnop 29610
This theorem is referenced by:  lnophmlem2  29786
  Copyright terms: Public domain W3C validator