Theorem lnopmulsubi 29756

Description: Product/subtraction property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopmulsubi	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) −ℎ (𝑇‘𝐶)))

Proof of Theorem lnopmulsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 28793	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		lnopl.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopsubi 29754	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ 𝐶)) = ((𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝑇‘𝐶)))
4	1, 3	stoic3 1776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ 𝐶)) = ((𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝑇‘𝐶)))
5	2	lnopmuli 29752	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
6	5	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
7	6	oveq1d 7174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝑇‘𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) −ℎ (𝑇‘𝐶)))
8	4, 7	eqtrd 2859	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) −ℎ (𝑇‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538   ℋchba 28699   ·_ℎ csm 28701   −_ℎ cmv 28705  LinOpclo 28727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-hilex 28779  ax-hfvadd 28780  ax-hvass 28782  ax-hv0cl 28783  ax-hvaddid 28784  ax-hfvmul 28785  ax-hvmulid 28786  ax-hvdistr2 28789  ax-hvmul0 28790

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-sub 10875  df-neg 10876  df-hvsub 28751  df-lnop 29621

This theorem is referenced by:  lnophmlem2  29797