MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv1ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv1ii 12190
Description: Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3 𝐶 ∈ ℝ
ltmul1i.4 0 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
ltdiv1ii (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem ltdiv1ii
StepHypRef Expression
1 ltmul1i.4 . 2 0 < 𝐶
2 ltplus1.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
3 prodgt0.2 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
4 ltmul1.3 . . 3 𝐶 ∈ ℝ
52, 3, 4ltdiv1i 12180 . 2 (0 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))
61, 5ax-mp 5 1 (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7423  cr 11153  0cc0 11154   < clt 11294   / cdiv 11917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  16181  cos01gt0  16188  sincos4thpi  26533  pigt3  26537  log2le1  26970  bposlem8  27312  dp2ltsuc  32736  sqsscirc1  33679  problem5  35449  stoweidlem26  45584
  Copyright terms: Public domain W3C validator