Theorem ltp1d 12199

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12108	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496

This theorem is referenced by:  zltp1le  12669  rpnnen1lem5  13024  fznatpl1  13619  fzonn0p1  13782  seqf1olem1  14083  seqf1olem2  14084  bernneq3  14271  expmulnbnd  14275  discr1  14279  discr  14280  bcp1nk  14357  bcpasc  14361  hashfzp1  14471  hashfun  14477  seqcoll  14504  seqcoll2  14505  o1rlimmul  15656  fsum1p  15790  climcndslem2  15887  mertenslem1  15921  fprodntriv  15979  fprod1p  16005  fprodeq0  16012  binomfallfaclem2  16077  fallfacval4  16080  sqrt2irr  16286  nno  16420  iserodd  16874  prmreclem4  16958  prmreclem5  16959  4sqlem11  16994  vdwlem6  17025  vdwlem11  17030  vdwlem12  17031  sylow1lem1  19617  efgsfo  19758  efgred  19767  telgsums  20012  srgbinomlem3  20226  icopnfcnv  24974  cnheibor  24988  pjthlem1  25472  ovolicopnf  25560  uniioombllem3  25621  dvfsumrlim  26073  plyco0  26232  vieta1lem2  26354  mtest  26448  itgulm  26452  psercnlem1  26470  psercn  26471  abelthlem2  26477  abelthlem7  26483  logcnlem4  26688  atanlogsublem  26959  birthdaylem2  26996  efrlim  27013  efrlimOLD  27014  fsumharmonic  27056  ftalem5  27121  basellem1  27125  basellem3  27127  ppiprm  27195  chtprm  27197  chtdif  27202  ppidif  27207  chtub  27257  perfectlem2  27275  gausslemma2dlem4  27414  gausslemma2dlem6  27417  lgsquadlem2  27426  dchrisum0lem1b  27560  dchrisum0lem3  27564  pntrlog2bndlem6  27628  pntpbnd1  27631  pntpbnd2  27632  pntlemc  27640  pntlemf  27650  ostth2lem1  27663  ostth2lem3  27680  axlowdimlem16  28973  crctcshwlkn0lem3  29833  wwlksnredwwlkn  29916  wwlksext2clwwlk  30077  smcnlem  30717  pjhthlem1  31411  chnub  33003  pmtrto1cl  33120  psgnfzto1stlem  33121  cycpmrn  33164  esumpmono  34081  oddpwdc  34357  ballotlemfc0  34496  ballotlemfcc  34497  fsum2dsub  34623  breprexp  34649  subfaclim  35194  erdsze2lem2  35210  cvmliftlem7  35297  cvmliftlem10  35300  relowlssretop  37365  poimirlem1  37629  poimirlem2  37630  poimirlem3  37631  poimirlem4  37632  poimirlem6  37634  poimirlem7  37635  poimirlem8  37636  poimirlem9  37637  poimirlem10  37638  poimirlem11  37639  poimirlem12  37640  poimirlem15  37643  poimirlem16  37644  poimirlem17  37645  poimirlem19  37647  poimirlem20  37648  poimirlem22  37650  poimirlem23  37651  poimirlem24  37652  poimirlem25  37653  poimirlem28  37656  poimirlem29  37657  poimirlem31  37659  mblfinlem2  37666  itg2addnclem2  37680  isbnd3  37792  aks4d1p1p3  42071  aks4d1p1p2  42072  aks4d1p1p6  42075  aks4d1p1p7  42076  aks4d1p1p5  42077  2np3bcnp1  42146  sticksstones6  42153  sticksstones7  42154  sticksstones10  42157  sticksstones12a  42159  sticksstones22  42170  metakunt12  42218  metakunt18  42224  prodsplit  42242  sumcubes  42352  3cubeslem1  42700  eldioph2lem1  42776  pell14qrgapw  42892  rmygeid  42981  monoords  45314  infxr  45383  supxrunb3  45415  uzubioo  45585  limsup10exlem  45792  xlimxrre  45851  xlimpnfv  45858  ioodvbdlimc1lem1  45951  ioodvbdlimc1lem2  45952  ioodvbdlimc2lem  45954  dvnxpaek  45962  dvnmul  45963  iblspltprt  45993  itgspltprt  45999  wallispilem5  46089  stirlinglem1  46094  stirlinglem3  46096  stirlinglem5  46098  stirlinglem6  46099  stirlinglem7  46100  stirlinglem10  46103  fourierdlem11  46138  fourierdlem12  46139  fourierdlem20  46147  fourierdlem30  46157  fourierdlem50  46176  fourierdlem54  46180  fourierdlem64  46190  fourierdlem65  46191  fourierdlem76  46202  fourierdlem77  46203  fourierdlem79  46205  fourierdlem102  46228  fourierdlem103  46229  fourierdlem104  46230  fourierdlem114  46240  etransclem46  46300  ioorrnopnxrlem  46326  caratheodorylem1  46546  vonioolem2  46701  vonicclem2  46704  smflimsuplem4  46843  ormklocald  46894  ormkglobd  46895  natglobalincr  46897  perfectALTVlem2  47714  aacllem  49375