Theorem ltp1d 12228

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184   < clt 11324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525

This theorem is used by:  zltp1le  12727  rpnnen1lem5  13090  fznatpl1  13692  fzonn0p1  13857  seqf1olem1  14164  seqf1olem2  14165  bernneq3  14355  expmulnbnd  14359  discr1  14363  discr  14364  bcp1nk  14441  bcpasc  14445  hashfzp1  14556  hashfun  14562  seqcoll  14589  seqcoll2  14590  o1rlimmul  15766  fsum1p  15899  climcndslem2  15999  mertenslem1  16033  fprodntriv  16089  fprod1p  16115  fprodeq0  16122  binomfallfaclem2  16186  fallfacval4  16189  sqrt2irr  16397  nno  16532  iserodd  16993  prmreclem4  17077  prmreclem5  17078  4sqlem11  17113  vdwlem6  17144  vdwlem11  17149  vdwlem12  17150  chnub  18776  sylow1lem1  19792  efgsfo  19933  efgred  19942  telgsums  20187  srgbinomlem3  20434  icopnfcnv  25243  cnheibor  25256  pjthlem1  25738  ovolicopnf  25825  uniioombllem3  25886  dvfsumrlim  26331  plyco0  26490  vieta1lem2  26616  mtest  26713  itgulm  26717  psercnlem1  26734  psercn  26735  abelthlem2  26741  abelthlem7  26747  logcnlem4  26955  atanlogsublem  27225  birthdaylem2  27262  efrlim  27279  fsumharmonic  27321  ftalem5  27386  basellem1  27390  basellem3  27392  ppiprm  27460  chtprm  27462  chtdif  27467  ppidif  27472  chtub  27521  perfectlem2  27539  gausslemma2dlem4  27678  gausslemma2dlem6  27681  lgsquadlem2  27690  dchrisum0lem1b  27824  dchrisum0lem3  27828  pntrlog2bndlem6  27892  pntpbnd1  27895  pntpbnd2  27896  pntlemc  27904  pntlemf  27914  ostth2lem1  27927  ostth2lem3  27944  axlowdimlem16  29517  crctcshwlkn0lem3  30383  wwlksnredwwlkn  30466  wwlksext2clwwlk  30630  smcnlem  31281  pjhthlem1  31975  pmtrto1cl  33642  psgnfzto1stlem  33643  cycpmrn  33686  extdgfialglem1  34306  esumpmono  34693  oddpwdc  34969  ballotlemfc0  35108  ballotlemfcc  35109  fsum2dsub  35219  breprexp  35245  subfaclim  35922  erdsze2lem2  35938  cvmliftlem7  36025  cvmliftlem10  36028  relowlssretop  38254  poimirlem1  38507  poimirlem2  38508  poimirlem3  38509  poimirlem4  38510  poimirlem6  38512  poimirlem7  38513  poimirlem8  38514  poimirlem9  38515  poimirlem10  38516  poimirlem11  38517  poimirlem12  38518  poimirlem15  38521  poimirlem16  38522  poimirlem17  38523  poimirlem19  38525  poimirlem20  38526  poimirlem22  38528  poimirlem23  38529  poimirlem24  38530  poimirlem25  38531  poimirlem28  38534  poimirlem29  38535  poimirlem31  38537  mblfinlem2  38544  itg2addnclem2  38558  isbnd3  38686  aks4d1p1p3  43087  aks4d1p1p2  43088  aks4d1p1p6  43091  aks4d1p1p7  43092  aks4d1p1p5  43093  2np3bcnp1  43162  sticksstones6  43169  sticksstones7  43170  sticksstones10  43173  sticksstones12a  43175  sticksstones22  43186  sumcubes  43338  3cubeslem1  43648  eldioph2lem1  43724  pell14qrgapw  43836  rmygeid  43924  monoords  46256  infxr  46322  supxrunb3  46354  uzubioo  46521  limsup10exlem  46726  xlimxrre  46785  xlimpnfv  46792  ioodvbdlimc1lem1  46885  ioodvbdlimc1lem2  46886  ioodvbdlimc2lem  46888  dvnxpaek  46896  dvnmul  46897  iblspltprt  46927  itgspltprt  46933  wallispilem5  47023  stirlinglem1  47028  stirlinglem3  47030  stirlinglem5  47032  stirlinglem6  47033  stirlinglem7  47034  stirlinglem10  47037  fourierdlem11  47072  fourierdlem12  47073  fourierdlem20  47081  fourierdlem30  47091  fourierdlem50  47110  fourierdlem54  47114  fourierdlem64  47124  fourierdlem65  47125  fourierdlem76  47136  fourierdlem77  47137  fourierdlem79  47139  fourierdlem102  47162  fourierdlem103  47163  fourierdlem104  47164  fourierdlem114  47174  etransclem46  47234  ioorrnopnxrlem  47260  caratheodorylem1  47480  vonioolem2  47635  vonicclem2  47638  smflimsuplem4  47777  ormklocald  47830  ormkglobd  47831  perfectALTVlem2  48764  aacllem  50883