Theorem ltp1d 12251

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12161	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  1c1 11205   + caddc 11207   < clt 11347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  zltp1le  12750  rpnnen1lem5  13113  fznatpl1  13716  fzonn0p1  13881  seqf1olem1  14188  seqf1olem2  14189  bernneq3  14379  expmulnbnd  14383  discr1  14387  discr  14388  bcp1nk  14465  bcpasc  14469  hashfzp1  14580  hashfun  14586  seqcoll  14613  seqcoll2  14614  o1rlimmul  15792  fsum1p  15925  climcndslem2  16025  mertenslem1  16059  fprodntriv  16115  fprod1p  16141  fprodeq0  16148  binomfallfaclem2  16212  fallfacval4  16215  sqrt2irr  16423  nno  16558  iserodd  17019  prmreclem4  17103  prmreclem5  17104  4sqlem11  17139  vdwlem6  17170  vdwlem11  17175  vdwlem12  17176  chnub  18802  sylow1lem1  19818  efgsfo  19959  efgred  19968  telgsums  20213  srgbinomlem3  20460  icopnfcnv  25269  cnheibor  25282  pjthlem1  25764  ovolicopnf  25851  uniioombllem3  25912  dvfsumrlim  26357  plyco0  26516  vieta1lem2  26640  mtest  26737  itgulm  26741  psercnlem1  26758  psercn  26759  abelthlem2  26765  abelthlem7  26771  logcnlem4  26979  atanlogsublem  27249  birthdaylem2  27286  efrlim  27303  fsumharmonic  27345  ftalem5  27410  basellem1  27414  basellem3  27416  ppiprm  27484  chtprm  27486  chtdif  27491  ppidif  27496  chtub  27545  perfectlem2  27563  gausslemma2dlem4  27702  gausslemma2dlem6  27705  lgsquadlem2  27714  dchrisum0lem1b  27848  dchrisum0lem3  27852  pntrlog2bndlem6  27916  pntpbnd1  27919  pntpbnd2  27920  pntlemc  27928  pntlemf  27938  ostth2lem1  27951  ostth2lem3  27968  axlowdimlem16  29541  crctcshwlkn0lem3  30407  wwlksnredwwlkn  30490  wwlksext2clwwlk  30654  smcnlem  31305  pjhthlem1  31999  pmtrto1cl  33707  psgnfzto1stlem  33708  cycpmrn  33751  extdgfialglem1  34371  esumpmono  34758  oddpwdc  35033  ballotlemfc0  35172  ballotlemfcc  35173  fsum2dsub  35283  breprexp  35309  subfaclim  36040  erdsze2lem2  36056  cvmliftlem7  36143  cvmliftlem10  36146  relowlssretop  38380  poimirlem1  38633  poimirlem2  38634  poimirlem3  38635  poimirlem4  38636  poimirlem6  38638  poimirlem7  38639  poimirlem8  38640  poimirlem9  38641  poimirlem10  38642  poimirlem11  38643  poimirlem12  38644  poimirlem15  38647  poimirlem16  38648  poimirlem17  38649  poimirlem19  38651  poimirlem20  38652  poimirlem22  38654  poimirlem23  38655  poimirlem24  38656  poimirlem25  38657  poimirlem28  38660  poimirlem29  38661  poimirlem31  38663  mblfinlem2  38670  itg2addnclem2  38684  isbnd3  38812  aks4d1p1p3  43213  aks4d1p1p2  43214  aks4d1p1p6  43217  aks4d1p1p7  43218  aks4d1p1p5  43219  2np3bcnp1  43288  sticksstones6  43295  sticksstones7  43296  sticksstones10  43299  sticksstones12a  43301  sticksstones22  43312  sumcubes  43464  3cubeslem1  43788  eldioph2lem1  43865  pell14qrgapw  43977  rmygeid  44065  monoords  46407  infxr  46472  supxrunb3  46504  uzubioo  46671  limsup10exlem  46876  xlimxrre  46935  xlimpnfv  46942  ioodvbdlimc1lem1  47035  ioodvbdlimc1lem2  47036  ioodvbdlimc2lem  47038  dvnxpaek  47046  dvnmul  47047  iblspltprt  47077  itgspltprt  47083  wallispilem5  47173  stirlinglem1  47178  stirlinglem3  47180  stirlinglem5  47182  stirlinglem6  47183  stirlinglem7  47184  stirlinglem10  47187  fourierdlem11  47222  fourierdlem12  47223  fourierdlem20  47231  fourierdlem30  47241  fourierdlem50  47260  fourierdlem54  47264  fourierdlem64  47274  fourierdlem65  47275  fourierdlem76  47286  fourierdlem77  47287  fourierdlem79  47289  fourierdlem102  47312  fourierdlem103  47313  fourierdlem104  47314  fourierdlem114  47324  etransclem46  47384  ioorrnopnxrlem  47410  caratheodorylem1  47630  vonioolem2  47785  vonicclem2  47788  smflimsuplem4  47927  ormklocald  47980  ormkglobd  47981  perfectALTVlem2  48914  aacllem  51108