Theorem ltp1d 12177

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12086	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137   < clt 11274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474

This theorem is referenced by:  zltp1le  12647  rpnnen1lem5  13002  fznatpl1  13600  fzonn0p1  13763  seqf1olem1  14064  seqf1olem2  14065  bernneq3  14254  expmulnbnd  14258  discr1  14262  discr  14263  bcp1nk  14340  bcpasc  14344  hashfzp1  14454  hashfun  14460  seqcoll  14487  seqcoll2  14488  o1rlimmul  15640  fsum1p  15774  climcndslem2  15871  mertenslem1  15905  fprodntriv  15963  fprod1p  15989  fprodeq0  15996  binomfallfaclem2  16061  fallfacval4  16064  sqrt2irr  16272  nno  16406  iserodd  16860  prmreclem4  16944  prmreclem5  16945  4sqlem11  16980  vdwlem6  17011  vdwlem11  17016  vdwlem12  17017  sylow1lem1  19584  efgsfo  19725  efgred  19734  telgsums  19979  srgbinomlem3  20193  icopnfcnv  24896  cnheibor  24910  pjthlem1  25394  ovolicopnf  25482  uniioombllem3  25543  dvfsumrlim  25995  plyco0  26154  vieta1lem2  26276  mtest  26370  itgulm  26374  psercnlem1  26392  psercn  26393  abelthlem2  26399  abelthlem7  26405  logcnlem4  26611  atanlogsublem  26882  birthdaylem2  26919  efrlim  26936  efrlimOLD  26937  fsumharmonic  26979  ftalem5  27044  basellem1  27048  basellem3  27050  ppiprm  27118  chtprm  27120  chtdif  27125  ppidif  27130  chtub  27180  perfectlem2  27198  gausslemma2dlem4  27337  gausslemma2dlem6  27340  lgsquadlem2  27349  dchrisum0lem1b  27483  dchrisum0lem3  27487  pntrlog2bndlem6  27551  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  pntlemc  27563  pntlemf  27573  ostth2lem1  27586  ostth2lem3  27603  axlowdimlem16  28941  crctcshwlkn0lem3  29799  wwlksnredwwlkn  29882  wwlksext2clwwlk  30043  smcnlem  30683  pjhthlem1  31377  chnub  32997  pmtrto1cl  33115  psgnfzto1stlem  33116  cycpmrn  33159  esumpmono  34115  oddpwdc  34391  ballotlemfc0  34530  ballotlemfcc  34531  fsum2dsub  34644  breprexp  34670  subfaclim  35215  erdsze2lem2  35231  cvmliftlem7  35318  cvmliftlem10  35321  relowlssretop  37386  poimirlem1  37650  poimirlem2  37651  poimirlem3  37652  poimirlem4  37653  poimirlem6  37655  poimirlem7  37656  poimirlem8  37657  poimirlem9  37658  poimirlem10  37659  poimirlem11  37660  poimirlem12  37661  poimirlem15  37664  poimirlem16  37665  poimirlem17  37666  poimirlem19  37668  poimirlem20  37669  poimirlem22  37671  poimirlem23  37672  poimirlem24  37673  poimirlem25  37674  poimirlem28  37677  poimirlem29  37678  poimirlem31  37680  mblfinlem2  37687  itg2addnclem2  37701  isbnd3  37813  aks4d1p1p3  42087  aks4d1p1p2  42088  aks4d1p1p6  42091  aks4d1p1p7  42092  aks4d1p1p5  42093  2np3bcnp1  42162  sticksstones6  42169  sticksstones7  42170  sticksstones10  42173  sticksstones12a  42175  sticksstones22  42186  sumcubes  42331  3cubeslem1  42682  eldioph2lem1  42758  pell14qrgapw  42874  rmygeid  42963  monoords  45306  infxr  45374  supxrunb3  45406  uzubioo  45574  limsup10exlem  45781  xlimxrre  45840  xlimpnfv  45847  ioodvbdlimc1lem1  45940  ioodvbdlimc1lem2  45941  ioodvbdlimc2lem  45943  dvnxpaek  45951  dvnmul  45952  iblspltprt  45982  itgspltprt  45988  wallispilem5  46078  stirlinglem1  46083  stirlinglem3  46085  stirlinglem5  46087  stirlinglem6  46088  stirlinglem7  46089  stirlinglem10  46092  fourierdlem11  46127  fourierdlem12  46128  fourierdlem20  46136  fourierdlem30  46146  fourierdlem50  46165  fourierdlem54  46169  fourierdlem64  46179  fourierdlem65  46180  fourierdlem76  46191  fourierdlem77  46192  fourierdlem79  46194  fourierdlem102  46217  fourierdlem103  46218  fourierdlem104  46219  fourierdlem114  46229  etransclem46  46289  ioorrnopnxrlem  46315  caratheodorylem1  46535  vonioolem2  46690  vonicclem2  46693  smflimsuplem4  46832  ormklocald  46883  ormkglobd  46884  natglobalincr  46886  perfectALTVlem2  47716  aacllem  49645