Theorem ltp1d 12146

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  1c1 11102   + caddc 11104   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  zltp1le  12645  rpnnen1lem5  13006  fznatpl1  13608  fzonn0p1  13773  seqf1olem1  14079  seqf1olem2  14080  bernneq3  14269  expmulnbnd  14273  discr1  14277  discr  14278  bcp1nk  14355  bcpasc  14359  hashfzp1  14470  hashfun  14476  seqcoll  14503  seqcoll2  14504  o1rlimmul  15672  fsum1p  15806  climcndslem2  15906  mertenslem1  15940  fprodntriv  15998  fprod1p  16024  fprodeq0  16031  binomfallfaclem2  16095  fallfacval4  16098  sqrt2irr  16306  nno  16441  iserodd  16896  prmreclem4  16980  prmreclem5  16981  4sqlem11  17016  vdwlem6  17047  vdwlem11  17052  vdwlem12  17053  chnub  18679  sylow1lem1  19669  efgsfo  19810  efgred  19819  telgsums  20064  srgbinomlem3  20311  icopnfcnv  25082  cnheibor  25095  pjthlem1  25577  ovolicopnf  25664  uniioombllem3  25725  dvfsumrlim  26171  plyco0  26330  vieta1lem2  26453  mtest  26548  itgulm  26552  psercnlem1  26569  psercn  26570  abelthlem2  26576  abelthlem7  26582  logcnlem4  26791  atanlogsublem  27061  birthdaylem2  27098  efrlim  27115  fsumharmonic  27157  ftalem5  27222  basellem1  27226  basellem3  27228  ppiprm  27296  chtprm  27298  chtdif  27303  ppidif  27308  chtub  27357  perfectlem2  27375  gausslemma2dlem4  27514  gausslemma2dlem6  27517  lgsquadlem2  27526  dchrisum0lem1b  27660  dchrisum0lem3  27664  pntrlog2bndlem6  27728  pntpbnd1  27731  pntpbnd2  27732  pntlemc  27740  pntlemf  27750  ostth2lem1  27763  ostth2lem3  27780  axlowdimlem16  29288  crctcshwlkn0lem3  30142  wwlksnredwwlkn  30225  wwlksext2clwwlk  30389  smcnlem  31030  pjhthlem1  31724  pmtrto1cl  33400  psgnfzto1stlem  33401  cycpmrn  33444  extdgfialglem1  34063  esumpmono  34450  oddpwdc  34725  ballotlemfc0  34864  ballotlemfcc  34865  fsum2dsub  34975  breprexp  35001  subfaclim  35661  erdsze2lem2  35677  cvmliftlem7  35764  cvmliftlem10  35767  relowlssretop  37990  poimirlem1  38253  poimirlem2  38254  poimirlem3  38255  poimirlem4  38256  poimirlem6  38258  poimirlem7  38259  poimirlem8  38260  poimirlem9  38261  poimirlem10  38262  poimirlem11  38263  poimirlem12  38264  poimirlem15  38267  poimirlem16  38268  poimirlem17  38269  poimirlem19  38271  poimirlem20  38272  poimirlem22  38274  poimirlem23  38275  poimirlem24  38276  poimirlem25  38277  poimirlem28  38280  poimirlem29  38281  poimirlem31  38283  mblfinlem2  38290  itg2addnclem2  38304  isbnd3  38416  aks4d1p1p3  42817  aks4d1p1p2  42818  aks4d1p1p6  42821  aks4d1p1p7  42822  aks4d1p1p5  42823  2np3bcnp1  42892  sticksstones6  42899  sticksstones7  42900  sticksstones10  42903  sticksstones12a  42905  sticksstones22  42916  sumcubes  43055  3cubeslem1  43398  eldioph2lem1  43474  pell14qrgapw  43586  rmygeid  43674  monoords  45999  infxr  46065  supxrunb3  46097  uzubioo  46264  limsup10exlem  46469  xlimxrre  46528  xlimpnfv  46535  ioodvbdlimc1lem1  46628  ioodvbdlimc1lem2  46629  ioodvbdlimc2lem  46631  dvnxpaek  46639  dvnmul  46640  iblspltprt  46670  itgspltprt  46676  wallispilem5  46766  stirlinglem1  46771  stirlinglem3  46773  stirlinglem5  46775  stirlinglem6  46776  stirlinglem7  46777  stirlinglem10  46780  fourierdlem11  46815  fourierdlem12  46816  fourierdlem20  46824  fourierdlem30  46834  fourierdlem50  46853  fourierdlem54  46857  fourierdlem64  46867  fourierdlem65  46868  fourierdlem76  46879  fourierdlem77  46880  fourierdlem79  46882  fourierdlem102  46905  fourierdlem103  46906  fourierdlem104  46907  fourierdlem114  46917  etransclem46  46977  ioorrnopnxrlem  47003  caratheodorylem1  47223  vonioolem2  47378  vonicclem2  47381  smflimsuplem4  47520  ormklocald  47573  ormkglobd  47574  natglobalincr  47576  perfectALTVlem2  48470  aacllem  50584