Theorem ltp1d 12094

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12004	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  ℝcr 11059  1c1 11061   + caddc 11063   < clt 11198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397

This theorem is referenced by:  zltp1le  12562  rpnnen1lem5  12915  fznatpl1  13505  fzonn0p1  13659  seqf1olem1  13957  seqf1olem2  13958  bernneq3  14144  expmulnbnd  14148  discr1  14152  discr  14153  bcp1nk  14227  bcpasc  14231  hashfzp1  14341  hashfun  14347  seqcoll  14375  seqcoll2  14376  o1rlimmul  15513  fsum1p  15649  climcndslem2  15746  mertenslem1  15780  fprodntriv  15836  fprod1p  15862  fprodeq0  15869  binomfallfaclem2  15934  fallfacval4  15937  sqrt2irr  16142  nno  16275  iserodd  16718  prmreclem4  16802  prmreclem5  16803  4sqlem11  16838  vdwlem6  16869  vdwlem11  16874  vdwlem12  16875  sylow1lem1  19394  efgsfo  19535  efgred  19544  telgsums  19784  srgbinomlem3  19973  icopnfcnv  24342  cnheibor  24355  pjthlem1  24838  ovolicopnf  24925  uniioombllem3  24986  dvfsumrlim  25432  plyco0  25590  vieta1lem2  25708  mtest  25800  itgulm  25804  psercnlem1  25821  psercn  25822  abelthlem2  25828  abelthlem7  25834  logcnlem4  26037  atanlogsublem  26302  birthdaylem2  26339  efrlim  26356  fsumharmonic  26398  ftalem5  26463  basellem1  26467  basellem3  26469  ppiprm  26537  chtprm  26539  chtdif  26544  ppidif  26549  chtub  26597  perfectlem2  26615  gausslemma2dlem4  26754  gausslemma2dlem6  26757  lgsquadlem2  26766  dchrisum0lem1b  26900  dchrisum0lem3  26904  pntrlog2bndlem6  26968  pntpbnd1  26971  pntpbnd2  26972  pntlemc  26980  pntlemf  26990  ostth2lem1  27003  ostth2lem3  27020  axlowdimlem16  27969  crctcshwlkn0lem3  28820  wwlksnredwwlkn  28903  wwlksext2clwwlk  29064  smcnlem  29702  pjhthlem1  30396  pmtrto1cl  32018  psgnfzto1stlem  32019  cycpmrn  32062  esumpmono  32767  oddpwdc  33043  ballotlemfc0  33181  ballotlemfcc  33182  fsum2dsub  33309  breprexp  33335  subfaclim  33869  erdsze2lem2  33885  cvmliftlem7  33972  cvmliftlem10  33975  relowlssretop  35907  poimirlem1  36152  poimirlem2  36153  poimirlem3  36154  poimirlem4  36155  poimirlem6  36157  poimirlem7  36158  poimirlem8  36159  poimirlem9  36160  poimirlem10  36161  poimirlem11  36162  poimirlem12  36163  poimirlem15  36166  poimirlem16  36167  poimirlem17  36168  poimirlem19  36170  poimirlem20  36171  poimirlem22  36173  poimirlem23  36174  poimirlem24  36175  poimirlem25  36176  poimirlem28  36179  poimirlem29  36180  poimirlem31  36182  mblfinlem2  36189  itg2addnclem2  36203  isbnd3  36316  aks4d1p1p3  40599  aks4d1p1p2  40600  aks4d1p1p6  40603  aks4d1p1p7  40604  aks4d1p1p5  40605  2np3bcnp1  40625  sticksstones6  40632  sticksstones7  40633  sticksstones10  40636  sticksstones12a  40638  sticksstones22  40649  metakunt12  40661  metakunt18  40667  prodsplit  40686  3cubeslem1  41065  eldioph2lem1  41141  pell14qrgapw  41257  rmygeid  41346  monoords  43652  infxr  43722  supxrunb3  43754  uzubioo  43925  limsup10exlem  44133  xlimxrre  44192  xlimpnfv  44199  ioodvbdlimc1lem1  44292  ioodvbdlimc1lem2  44293  ioodvbdlimc2lem  44295  dvnxpaek  44303  dvnmul  44304  iblspltprt  44334  itgspltprt  44340  wallispilem5  44430  stirlinglem1  44435  stirlinglem3  44437  stirlinglem5  44439  stirlinglem6  44440  stirlinglem7  44441  stirlinglem10  44444  fourierdlem11  44479  fourierdlem12  44480  fourierdlem20  44488  fourierdlem30  44498  fourierdlem50  44517  fourierdlem54  44521  fourierdlem64  44531  fourierdlem65  44532  fourierdlem76  44543  fourierdlem77  44544  fourierdlem79  44546  fourierdlem102  44569  fourierdlem103  44570  fourierdlem104  44571  fourierdlem114  44581  etransclem46  44641  ioorrnopnxrlem  44667  caratheodorylem1  44887  vonioolem2  45042  vonicclem2  45045  smflimsuplem4  45184  natglobalincr  45236  perfectALTVlem2  46034  aacllem  47368