Theorem ltp1d 12084

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 11993	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  zltp1le  12575  rpnnen1lem5  12929  fznatpl1  13530  fzonn0p1  13695  seqf1olem1  14001  seqf1olem2  14002  bernneq3  14191  expmulnbnd  14195  discr1  14199  discr  14200  bcp1nk  14277  bcpasc  14281  hashfzp1  14391  hashfun  14397  seqcoll  14424  seqcoll2  14425  o1rlimmul  15579  fsum1p  15713  climcndslem2  15813  mertenslem1  15847  fprodntriv  15905  fprod1p  15931  fprodeq0  15938  binomfallfaclem2  16003  fallfacval4  16006  sqrt2irr  16214  nno  16349  iserodd  16804  prmreclem4  16888  prmreclem5  16889  4sqlem11  16924  vdwlem6  16955  vdwlem11  16960  vdwlem12  16961  chnub  18586  sylow1lem1  19571  efgsfo  19712  efgred  19721  telgsums  19966  srgbinomlem3  20207  icopnfcnv  24934  cnheibor  24947  pjthlem1  25429  ovolicopnf  25516  uniioombllem3  25577  dvfsumrlim  26023  plyco0  26182  vieta1lem2  26302  mtest  26394  itgulm  26398  psercnlem1  26415  psercn  26416  abelthlem2  26422  abelthlem7  26428  logcnlem4  26634  atanlogsublem  26904  birthdaylem2  26941  efrlim  26958  fsumharmonic  27000  ftalem5  27065  basellem1  27069  basellem3  27071  ppiprm  27139  chtprm  27141  chtdif  27146  ppidif  27151  chtub  27200  perfectlem2  27218  gausslemma2dlem4  27357  gausslemma2dlem6  27360  lgsquadlem2  27369  dchrisum0lem1b  27503  dchrisum0lem3  27507  pntrlog2bndlem6  27571  pntpbnd1  27574  pntpbnd2  27575  pntlemc  27583  pntlemf  27593  ostth2lem1  27606  ostth2lem3  27623  axlowdimlem16  29051  crctcshwlkn0lem3  29905  wwlksnredwwlkn  29988  wwlksext2clwwlk  30152  smcnlem  30793  pjhthlem1  31487  pmtrto1cl  33187  psgnfzto1stlem  33188  cycpmrn  33231  extdgfialglem1  33883  esumpmono  34270  oddpwdc  34545  ballotlemfc0  34684  ballotlemfcc  34685  fsum2dsub  34798  breprexp  34824  subfaclim  35423  erdsze2lem2  35439  cvmliftlem7  35526  cvmliftlem10  35529  relowlssretop  37732  poimirlem1  37995  poimirlem2  37996  poimirlem3  37997  poimirlem4  37998  poimirlem6  38000  poimirlem7  38001  poimirlem8  38002  poimirlem9  38003  poimirlem10  38004  poimirlem11  38005  poimirlem12  38006  poimirlem15  38009  poimirlem16  38010  poimirlem17  38011  poimirlem19  38013  poimirlem20  38014  poimirlem22  38016  poimirlem23  38017  poimirlem24  38018  poimirlem25  38019  poimirlem28  38022  poimirlem29  38023  poimirlem31  38025  mblfinlem2  38032  itg2addnclem2  38046  isbnd3  38158  aks4d1p1p3  42561  aks4d1p1p2  42562  aks4d1p1p6  42565  aks4d1p1p7  42566  aks4d1p1p5  42567  2np3bcnp1  42636  sticksstones6  42643  sticksstones7  42644  sticksstones10  42647  sticksstones12a  42649  sticksstones22  42660  sumcubes  42797  3cubeslem1  43140  eldioph2lem1  43216  pell14qrgapw  43328  rmygeid  43416  monoords  45752  infxr  45818  supxrunb3  45850  uzubioo  46017  limsup10exlem  46222  xlimxrre  46281  xlimpnfv  46288  ioodvbdlimc1lem1  46381  ioodvbdlimc1lem2  46382  ioodvbdlimc2lem  46384  dvnxpaek  46392  dvnmul  46393  iblspltprt  46423  itgspltprt  46429  wallispilem5  46519  stirlinglem1  46524  stirlinglem3  46526  stirlinglem5  46528  stirlinglem6  46529  stirlinglem7  46530  stirlinglem10  46533  fourierdlem11  46568  fourierdlem12  46569  fourierdlem20  46577  fourierdlem30  46587  fourierdlem50  46606  fourierdlem54  46610  fourierdlem64  46620  fourierdlem65  46621  fourierdlem76  46632  fourierdlem77  46633  fourierdlem79  46635  fourierdlem102  46658  fourierdlem103  46659  fourierdlem104  46660  fourierdlem114  46670  etransclem46  46730  ioorrnopnxrlem  46756  caratheodorylem1  46976  vonioolem2  47131  vonicclem2  47134  smflimsuplem4  47273  ormklocald  47326  ormkglobd  47327  natglobalincr  47329  perfectALTVlem2  48220  aacllem  50298