Theorem ltp1d 12151

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12061	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  zltp1le  12650  rpnnen1lem5  13011  fznatpl1  13613  fzonn0p1  13778  seqf1olem1  14084  seqf1olem2  14085  bernneq3  14274  expmulnbnd  14278  discr1  14282  discr  14283  bcp1nk  14360  bcpasc  14364  hashfzp1  14475  hashfun  14481  seqcoll  14508  seqcoll2  14509  o1rlimmul  15677  fsum1p  15811  climcndslem2  15911  mertenslem1  15945  fprodntriv  16003  fprod1p  16029  fprodeq0  16036  binomfallfaclem2  16100  fallfacval4  16103  sqrt2irr  16311  nno  16446  iserodd  16901  prmreclem4  16985  prmreclem5  16986  4sqlem11  17021  vdwlem6  17052  vdwlem11  17057  vdwlem12  17058  chnub  18684  sylow1lem1  19674  efgsfo  19815  efgred  19824  telgsums  20069  srgbinomlem3  20316  icopnfcnv  25112  cnheibor  25125  pjthlem1  25607  ovolicopnf  25694  uniioombllem3  25755  dvfsumrlim  26201  plyco0  26360  vieta1lem2  26483  mtest  26578  itgulm  26582  psercnlem1  26599  psercn  26600  abelthlem2  26606  abelthlem7  26612  logcnlem4  26821  atanlogsublem  27091  birthdaylem2  27128  efrlim  27145  fsumharmonic  27187  ftalem5  27252  basellem1  27256  basellem3  27258  ppiprm  27326  chtprm  27328  chtdif  27333  ppidif  27338  chtub  27387  perfectlem2  27405  gausslemma2dlem4  27544  gausslemma2dlem6  27547  lgsquadlem2  27556  dchrisum0lem1b  27690  dchrisum0lem3  27694  pntrlog2bndlem6  27758  pntpbnd1  27761  pntpbnd2  27762  pntlemc  27770  pntlemf  27780  ostth2lem1  27793  ostth2lem3  27810  axlowdimlem16  29318  crctcshwlkn0lem3  30172  wwlksnredwwlkn  30255  wwlksext2clwwlk  30419  smcnlem  31060  pjhthlem1  31754  pmtrto1cl  33428  psgnfzto1stlem  33429  cycpmrn  33472  extdgfialglem1  34091  esumpmono  34478  oddpwdc  34753  ballotlemfc0  34892  ballotlemfcc  34893  fsum2dsub  35003  breprexp  35029  subfaclim  35688  erdsze2lem2  35704  cvmliftlem7  35791  cvmliftlem10  35794  relowlssretop  38037  poimirlem1  38300  poimirlem2  38301  poimirlem3  38302  poimirlem4  38303  poimirlem6  38305  poimirlem7  38306  poimirlem8  38307  poimirlem9  38308  poimirlem10  38309  poimirlem11  38310  poimirlem12  38311  poimirlem15  38314  poimirlem16  38315  poimirlem17  38316  poimirlem19  38318  poimirlem20  38319  poimirlem22  38321  poimirlem23  38322  poimirlem24  38323  poimirlem25  38324  poimirlem28  38327  poimirlem29  38328  poimirlem31  38330  mblfinlem2  38337  itg2addnclem2  38351  isbnd3  38463  aks4d1p1p3  42864  aks4d1p1p2  42865  aks4d1p1p6  42868  aks4d1p1p7  42869  aks4d1p1p5  42870  2np3bcnp1  42939  sticksstones6  42946  sticksstones7  42947  sticksstones10  42950  sticksstones12a  42952  sticksstones22  42963  sumcubes  43102  3cubeslem1  43443  eldioph2lem1  43519  pell14qrgapw  43631  rmygeid  43719  monoords  46044  infxr  46110  supxrunb3  46142  uzubioo  46309  limsup10exlem  46514  xlimxrre  46573  xlimpnfv  46580  ioodvbdlimc1lem1  46673  ioodvbdlimc1lem2  46674  ioodvbdlimc2lem  46676  dvnxpaek  46684  dvnmul  46685  iblspltprt  46715  itgspltprt  46721  wallispilem5  46811  stirlinglem1  46816  stirlinglem3  46818  stirlinglem5  46820  stirlinglem6  46821  stirlinglem7  46822  stirlinglem10  46825  fourierdlem11  46860  fourierdlem12  46861  fourierdlem20  46869  fourierdlem30  46879  fourierdlem50  46898  fourierdlem54  46902  fourierdlem64  46912  fourierdlem65  46913  fourierdlem76  46924  fourierdlem77  46925  fourierdlem79  46927  fourierdlem102  46950  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem114  46962  etransclem46  47022  ioorrnopnxrlem  47048  caratheodorylem1  47268  vonioolem2  47423  vonicclem2  47426  smflimsuplem4  47565  ormklocald  47618  ormkglobd  47619  natglobalincr  47621  perfectALTVlem2  48515  aacllem  50649