Theorem ltp1d 12277

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12187	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  1c1 11231   + caddc 11233   < clt 11373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574

This theorem is used by:  zltp1le  12776  rpnnen1lem5  13139  fznatpl1  13742  fzonn0p1  13907  seqf1olem1  14214  seqf1olem2  14215  bernneq3  14405  expmulnbnd  14409  discr1  14413  discr  14414  bcp1nk  14491  bcpasc  14495  hashfzp1  14606  hashfun  14612  seqcoll  14639  seqcoll2  14640  o1rlimmul  15818  fsum1p  15951  climcndslem2  16051  mertenslem1  16085  fprodntriv  16141  fprod1p  16167  fprodeq0  16174  binomfallfaclem2  16238  fallfacval4  16241  sqrt2irr  16449  nno  16584  iserodd  17045  prmreclem4  17129  prmreclem5  17130  4sqlem11  17165  vdwlem6  17196  vdwlem11  17201  vdwlem12  17202  chnub  18828  sylow1lem1  19845  efgsfo  19986  efgred  19995  telgsums  20240  srgbinomlem3  20487  icopnfcnv  25296  cnheibor  25309  pjthlem1  25791  ovolicopnf  25878  uniioombllem3  25939  dvfsumrlim  26384  plyco0  26543  vieta1lem2  26667  mtest  26764  itgulm  26768  psercnlem1  26785  psercn  26786  abelthlem2  26792  abelthlem7  26798  logcnlem4  27006  atanlogsublem  27276  birthdaylem2  27313  efrlim  27330  fsumharmonic  27372  ftalem5  27437  basellem1  27441  basellem3  27443  ppiprm  27511  chtprm  27513  chtdif  27518  ppidif  27523  chtub  27572  perfectlem2  27590  gausslemma2dlem4  27729  gausslemma2dlem6  27732  lgsquadlem2  27741  dchrisum0lem1b  27875  dchrisum0lem3  27879  pntrlog2bndlem6  27943  pntpbnd1  27946  pntpbnd2  27947  pntlemc  27955  pntlemf  27965  ostth2lem1  27978  ostth2lem3  27995  axlowdimlem16  29568  crctcshwlkn0lem3  30434  wwlksnredwwlkn  30517  wwlksext2clwwlk  30681  smcnlem  31332  pjhthlem1  32026  pmtrto1cl  33736  psgnfzto1stlem  33737  cycpmrn  33780  extdgfialglem1  34407  esumpmono  34794  oddpwdc  35069  ballotlemfc0  35208  ballotlemfcc  35209  fsum2dsub  35319  breprexp  35345  subfaclim  36133  erdsze2lem2  36149  cvmliftlem7  36236  cvmliftlem10  36239  relowlssretop  38491  poimirlem1  38744  poimirlem2  38745  poimirlem3  38746  poimirlem4  38747  poimirlem6  38749  poimirlem7  38750  poimirlem8  38751  poimirlem9  38752  poimirlem10  38753  poimirlem11  38754  poimirlem12  38755  poimirlem15  38758  poimirlem16  38759  poimirlem17  38760  poimirlem19  38762  poimirlem20  38763  poimirlem22  38765  poimirlem23  38766  poimirlem24  38767  poimirlem25  38768  poimirlem28  38771  poimirlem29  38772  poimirlem31  38774  mblfinlem2  38781  itg2addnclem2  38795  isbnd3  38921  aks4d1p1p3  43322  aks4d1p1p2  43323  aks4d1p1p6  43326  aks4d1p1p7  43327  aks4d1p1p5  43328  2np3bcnp1  43397  sticksstones6  43404  sticksstones7  43405  sticksstones10  43408  sticksstones12a  43410  sticksstones22  43421  sumcubes  43574  3cubeslem1  43898  eldioph2lem1  43975  pell14qrgapw  44087  rmygeid  44175  monoords  46528  infxr  46593  supxrunb3  46625  uzubioo  46792  limsup10exlem  46997  xlimxrre  47056  xlimpnfv  47063  ioodvbdlimc1lem1  47156  ioodvbdlimc1lem2  47157  ioodvbdlimc2lem  47159  dvnxpaek  47167  dvnmul  47168  iblspltprt  47198  itgspltprt  47204  wallispilem5  47294  stirlinglem1  47299  stirlinglem3  47301  stirlinglem5  47303  stirlinglem6  47304  stirlinglem7  47305  stirlinglem10  47308  fourierdlem11  47343  fourierdlem12  47344  fourierdlem20  47352  fourierdlem30  47362  fourierdlem50  47381  fourierdlem54  47385  fourierdlem64  47395  fourierdlem65  47396  fourierdlem76  47407  fourierdlem77  47408  fourierdlem79  47410  fourierdlem102  47433  fourierdlem103  47434  fourierdlem104  47435  fourierdlem114  47445  etransclem46  47505  ioorrnopnxrlem  47531  caratheodorylem1  47751  vonioolem2  47906  vonicclem2  47909  smflimsuplem4  48048  ormklocald  48101  ormkglobd  48102  perfectALTVlem2  49035  aacllem  51251