Theorem ltp1d 12113

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12022	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  zltp1le  12583  rpnnen1lem5  12940  fznatpl1  13539  fzonn0p1  13703  seqf1olem1  14006  seqf1olem2  14007  bernneq3  14196  expmulnbnd  14200  discr1  14204  discr  14205  bcp1nk  14282  bcpasc  14286  hashfzp1  14396  hashfun  14402  seqcoll  14429  seqcoll2  14430  o1rlimmul  15585  fsum1p  15719  climcndslem2  15816  mertenslem1  15850  fprodntriv  15908  fprod1p  15934  fprodeq0  15941  binomfallfaclem2  16006  fallfacval4  16009  sqrt2irr  16217  nno  16352  iserodd  16806  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  4sqlem11  16926  vdwlem6  16957  vdwlem11  16962  vdwlem12  16963  sylow1lem1  19528  efgsfo  19669  efgred  19678  telgsums  19923  srgbinomlem3  20137  icopnfcnv  24840  cnheibor  24854  pjthlem1  25337  ovolicopnf  25425  uniioombllem3  25486  dvfsumrlim  25938  plyco0  26097  vieta1lem2  26219  mtest  26313  itgulm  26317  psercnlem1  26335  psercn  26336  abelthlem2  26342  abelthlem7  26348  logcnlem4  26554  atanlogsublem  26825  birthdaylem2  26862  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  fsumharmonic  26922  ftalem5  26987  basellem1  26991  basellem3  26993  ppiprm  27061  chtprm  27063  chtdif  27068  ppidif  27073  chtub  27123  perfectlem2  27141  gausslemma2dlem4  27280  gausslemma2dlem6  27283  lgsquadlem2  27292  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem3  27430  pntrlog2bndlem6  27494  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntlemc  27506  pntlemf  27516  ostth2lem1  27529  ostth2lem3  27546  axlowdimlem16  28884  crctcshwlkn0lem3  29742  wwlksnredwwlkn  29825  wwlksext2clwwlk  29986  smcnlem  30626  pjhthlem1  31320  chnub  32938  pmtrto1cl  33056  psgnfzto1stlem  33057  cycpmrn  33100  esumpmono  34069  oddpwdc  34345  ballotlemfc0  34484  ballotlemfcc  34485  fsum2dsub  34598  breprexp  34624  subfaclim  35175  erdsze2lem2  35191  cvmliftlem7  35278  cvmliftlem10  35281  relowlssretop  37351  poimirlem1  37615  poimirlem2  37616  poimirlem3  37617  poimirlem4  37618  poimirlem6  37620  poimirlem7  37621  poimirlem8  37622  poimirlem9  37623  poimirlem10  37624  poimirlem11  37625  poimirlem12  37626  poimirlem15  37629  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem22  37636  poimirlem23  37637  poimirlem24  37638  poimirlem25  37639  poimirlem28  37642  poimirlem29  37643  poimirlem31  37645  mblfinlem2  37652  itg2addnclem2  37666  isbnd3  37778  aks4d1p1p3  42057  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  2np3bcnp1  42132  sticksstones6  42139  sticksstones7  42140  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  sticksstones22  42156  sumcubes  42301  3cubeslem1  42672  eldioph2lem1  42748  pell14qrgapw  42864  rmygeid  42953  monoords  45295  infxr  45363  supxrunb3  45395  uzubioo  45563  limsup10exlem  45770  xlimxrre  45829  xlimpnfv  45836  ioodvbdlimc1lem1  45929  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  dvnxpaek  45940  dvnmul  45941  iblspltprt  45971  itgspltprt  45977  wallispilem5  46067  stirlinglem1  46072  stirlinglem3  46074  stirlinglem5  46076  stirlinglem6  46077  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  fourierdlem11  46116  fourierdlem12  46117  fourierdlem20  46125  fourierdlem30  46135  fourierdlem50  46154  fourierdlem54  46158  fourierdlem64  46168  fourierdlem65  46169  fourierdlem76  46180  fourierdlem77  46181  fourierdlem79  46183  fourierdlem102  46206  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem114  46218  etransclem46  46278  ioorrnopnxrlem  46304  caratheodorylem1  46524  vonioolem2  46679  vonicclem2  46682  smflimsuplem4  46821  ormklocald  46872  ormkglobd  46873  natglobalincr  46875  perfectALTVlem2  47723  aacllem  49790