Theorem ltp1d 12073

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 11982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by:  zltp1le  12543  rpnnen1lem5  12900  fznatpl1  13499  fzonn0p1  13663  seqf1olem1  13966  seqf1olem2  13967  bernneq3  14156  expmulnbnd  14160  discr1  14164  discr  14165  bcp1nk  14242  bcpasc  14246  hashfzp1  14356  hashfun  14362  seqcoll  14389  seqcoll2  14390  o1rlimmul  15544  fsum1p  15678  climcndslem2  15775  mertenslem1  15809  fprodntriv  15867  fprod1p  15893  fprodeq0  15900  binomfallfaclem2  15965  fallfacval4  15968  sqrt2irr  16176  nno  16311  iserodd  16765  prmreclem4  16849  prmreclem5  16850  4sqlem11  16885  vdwlem6  16916  vdwlem11  16921  vdwlem12  16922  sylow1lem1  19495  efgsfo  19636  efgred  19645  telgsums  19890  srgbinomlem3  20131  icopnfcnv  24856  cnheibor  24870  pjthlem1  25353  ovolicopnf  25441  uniioombllem3  25502  dvfsumrlim  25954  plyco0  26113  vieta1lem2  26235  mtest  26329  itgulm  26333  psercnlem1  26351  psercn  26352  abelthlem2  26358  abelthlem7  26364  logcnlem4  26570  atanlogsublem  26841  birthdaylem2  26878  efrlim  26895  efrlimOLD  26896  fsumharmonic  26938  ftalem5  27003  basellem1  27007  basellem3  27009  ppiprm  27077  chtprm  27079  chtdif  27084  ppidif  27089  chtub  27139  perfectlem2  27157  gausslemma2dlem4  27296  gausslemma2dlem6  27299  lgsquadlem2  27308  dchrisum0lem1b  27442  dchrisum0lem3  27446  pntrlog2bndlem6  27510  pntpbnd1  27513  pntpbnd2  27514  pntlemc  27522  pntlemf  27532  ostth2lem1  27545  ostth2lem3  27562  axlowdimlem16  28920  crctcshwlkn0lem3  29775  wwlksnredwwlkn  29858  wwlksext2clwwlk  30019  smcnlem  30659  pjhthlem1  31353  chnub  32967  pmtrto1cl  33054  psgnfzto1stlem  33055  cycpmrn  33098  esumpmono  34048  oddpwdc  34324  ballotlemfc0  34463  ballotlemfcc  34464  fsum2dsub  34577  breprexp  34603  subfaclim  35163  erdsze2lem2  35179  cvmliftlem7  35266  cvmliftlem10  35269  relowlssretop  37339  poimirlem1  37603  poimirlem2  37604  poimirlem3  37605  poimirlem4  37606  poimirlem6  37608  poimirlem7  37609  poimirlem8  37610  poimirlem9  37611  poimirlem10  37612  poimirlem11  37613  poimirlem12  37614  poimirlem15  37617  poimirlem16  37618  poimirlem17  37619  poimirlem19  37621  poimirlem20  37622  poimirlem22  37624  poimirlem23  37625  poimirlem24  37626  poimirlem25  37627  poimirlem28  37630  poimirlem29  37631  poimirlem31  37633  mblfinlem2  37640  itg2addnclem2  37654  isbnd3  37766  aks4d1p1p3  42045  aks4d1p1p2  42046  aks4d1p1p6  42049  aks4d1p1p7  42050  aks4d1p1p5  42051  2np3bcnp1  42120  sticksstones6  42127  sticksstones7  42128  sticksstones10  42131  sticksstones12a  42133  sticksstones22  42144  sumcubes  42289  3cubeslem1  42660  eldioph2lem1  42736  pell14qrgapw  42852  rmygeid  42940  monoords  45282  infxr  45350  supxrunb3  45382  uzubioo  45550  limsup10exlem  45757  xlimxrre  45816  xlimpnfv  45823  ioodvbdlimc1lem1  45916  ioodvbdlimc1lem2  45917  ioodvbdlimc2lem  45919  dvnxpaek  45927  dvnmul  45928  iblspltprt  45958  itgspltprt  45964  wallispilem5  46054  stirlinglem1  46059  stirlinglem3  46061  stirlinglem5  46063  stirlinglem6  46064  stirlinglem7  46065  stirlinglem10  46068  fourierdlem11  46103  fourierdlem12  46104  fourierdlem20  46112  fourierdlem30  46122  fourierdlem50  46141  fourierdlem54  46145  fourierdlem64  46155  fourierdlem65  46156  fourierdlem76  46167  fourierdlem77  46168  fourierdlem79  46170  fourierdlem102  46193  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  fourierdlem114  46205  etransclem46  46265  ioorrnopnxrlem  46291  caratheodorylem1  46511  vonioolem2  46666  vonicclem2  46669  smflimsuplem4  46808  ormklocald  46859  ormkglobd  46860  natglobalincr  46862  perfectALTVlem2  47710  aacllem  49790