Theorem ltp1d 12086

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 11995	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  zltp1le  12577  rpnnen1lem5  12931  fznatpl1  13532  fzonn0p1  13697  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  bernneq3  14193  expmulnbnd  14197  discr1  14201  discr  14202  bcp1nk  14279  bcpasc  14283  hashfzp1  14393  hashfun  14399  seqcoll  14426  seqcoll2  14427  o1rlimmul  15581  fsum1p  15715  climcndslem2  15815  mertenslem1  15849  fprodntriv  15907  fprod1p  15933  fprodeq0  15940  binomfallfaclem2  16005  fallfacval4  16008  sqrt2irr  16216  nno  16351  iserodd  16806  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  4sqlem11  16926  vdwlem6  16957  vdwlem11  16962  vdwlem12  16963  chnub  18588  sylow1lem1  19573  efgsfo  19714  efgred  19723  telgsums  19968  srgbinomlem3  20209  icopnfcnv  24909  cnheibor  24922  pjthlem1  25404  ovolicopnf  25491  uniioombllem3  25552  dvfsumrlim  25998  plyco0  26157  vieta1lem2  26277  mtest  26369  itgulm  26373  psercnlem1  26390  psercn  26391  abelthlem2  26397  abelthlem7  26403  logcnlem4  26609  atanlogsublem  26879  birthdaylem2  26916  efrlim  26933  fsumharmonic  26975  ftalem5  27040  basellem1  27044  basellem3  27046  ppiprm  27114  chtprm  27116  chtdif  27121  ppidif  27126  chtub  27175  perfectlem2  27193  gausslemma2dlem4  27332  gausslemma2dlem6  27335  lgsquadlem2  27344  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem3  27482  pntrlog2bndlem6  27546  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntlemc  27558  pntlemf  27568  ostth2lem1  27581  ostth2lem3  27598  axlowdimlem16  29026  crctcshwlkn0lem3  29880  wwlksnredwwlkn  29963  wwlksext2clwwlk  30127  smcnlem  30768  pjhthlem1  31462  pmtrto1cl  33160  psgnfzto1stlem  33161  cycpmrn  33204  extdgfialglem1  33836  esumpmono  34223  oddpwdc  34498  ballotlemfc0  34637  ballotlemfcc  34638  fsum2dsub  34751  breprexp  34777  subfaclim  35370  erdsze2lem2  35386  cvmliftlem7  35473  cvmliftlem10  35476  relowlssretop  37679  poimirlem1  37942  poimirlem2  37943  poimirlem3  37944  poimirlem4  37945  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem8  37949  poimirlem9  37950  poimirlem10  37951  poimirlem11  37952  poimirlem12  37953  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem22  37963  poimirlem23  37964  poimirlem24  37965  poimirlem25  37966  poimirlem28  37969  poimirlem29  37970  poimirlem31  37972  mblfinlem2  37979  itg2addnclem2  37993  isbnd3  38105  aks4d1p1p3  42508  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  2np3bcnp1  42583  sticksstones6  42590  sticksstones7  42591  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones22  42607  sumcubes  42745  3cubeslem1  43116  eldioph2lem1  43192  pell14qrgapw  43304  rmygeid  43392  monoords  45730  infxr  45796  supxrunb3  45828  uzubioo  45995  limsup10exlem  46200  xlimxrre  46259  xlimpnfv  46266  ioodvbdlimc1lem1  46359  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  dvnxpaek  46370  dvnmul  46371  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  wallispilem5  46497  stirlinglem1  46502  stirlinglem3  46504  stirlinglem5  46506  stirlinglem6  46507  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  fourierdlem11  46546  fourierdlem12  46547  fourierdlem20  46555  fourierdlem30  46565  fourierdlem50  46584  fourierdlem54  46588  fourierdlem64  46598  fourierdlem65  46599  fourierdlem76  46610  fourierdlem77  46611  fourierdlem79  46613  fourierdlem102  46636  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem114  46648  etransclem46  46708  ioorrnopnxrlem  46734  caratheodorylem1  46954  vonioolem2  47109  vonicclem2  47112  smflimsuplem4  47251  ormklocald  47304  ormkglobd  47305  natglobalincr  47307  perfectALTVlem2  48198  aacllem  50276