Theorem ltp1d 12225

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  zltp1le  12693  rpnnen1lem5  13046  fznatpl1  13638  fzonn0p1  13793  seqf1olem1  14092  seqf1olem2  14093  bernneq3  14280  expmulnbnd  14284  discr1  14288  discr  14289  bcp1nk  14366  bcpasc  14370  hashfzp1  14480  hashfun  14486  seqcoll  14513  seqcoll2  14514  o1rlimmul  15665  fsum1p  15801  climcndslem2  15898  mertenslem1  15932  fprodntriv  15990  fprod1p  16016  fprodeq0  16023  binomfallfaclem2  16088  fallfacval4  16091  sqrt2irr  16297  nno  16430  iserodd  16882  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  4sqlem11  17002  vdwlem6  17033  vdwlem11  17038  vdwlem12  17039  sylow1lem1  19640  efgsfo  19781  efgred  19790  telgsums  20035  srgbinomlem3  20255  icopnfcnv  24992  cnheibor  25006  pjthlem1  25490  ovolicopnf  25578  uniioombllem3  25639  dvfsumrlim  26092  plyco0  26251  vieta1lem2  26371  mtest  26465  itgulm  26469  psercnlem1  26487  psercn  26488  abelthlem2  26494  abelthlem7  26500  logcnlem4  26705  atanlogsublem  26976  birthdaylem2  27013  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  fsumharmonic  27073  ftalem5  27138  basellem1  27142  basellem3  27144  ppiprm  27212  chtprm  27214  chtdif  27219  ppidif  27224  chtub  27274  perfectlem2  27292  gausslemma2dlem4  27431  gausslemma2dlem6  27434  lgsquadlem2  27443  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem3  27581  pntrlog2bndlem6  27645  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  pntlemc  27657  pntlemf  27667  ostth2lem1  27680  ostth2lem3  27697  axlowdimlem16  28990  crctcshwlkn0lem3  29845  wwlksnredwwlkn  29928  wwlksext2clwwlk  30089  smcnlem  30729  pjhthlem1  31423  chnub  32984  pmtrto1cl  33092  psgnfzto1stlem  33093  cycpmrn  33136  esumpmono  34043  oddpwdc  34319  ballotlemfc0  34457  ballotlemfcc  34458  fsum2dsub  34584  breprexp  34610  subfaclim  35156  erdsze2lem2  35172  cvmliftlem7  35259  cvmliftlem10  35262  relowlssretop  37329  poimirlem1  37581  poimirlem2  37582  poimirlem3  37583  poimirlem4  37584  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem8  37588  poimirlem9  37589  poimirlem10  37590  poimirlem11  37591  poimirlem12  37592  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem22  37602  poimirlem23  37603  poimirlem24  37604  poimirlem25  37605  poimirlem28  37608  poimirlem29  37609  poimirlem31  37611  mblfinlem2  37618  itg2addnclem2  37632  isbnd3  37744  aks4d1p1p3  42026  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  2np3bcnp1  42101  sticksstones6  42108  sticksstones7  42109  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  sticksstones22  42125  metakunt12  42173  metakunt18  42179  prodsplit  42197  sumcubes  42301  3cubeslem1  42640  eldioph2lem1  42716  pell14qrgapw  42832  rmygeid  42921  monoords  45212  infxr  45282  supxrunb3  45314  uzubioo  45485  limsup10exlem  45693  xlimxrre  45752  xlimpnfv  45759  ioodvbdlimc1lem1  45852  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  dvnxpaek  45863  dvnmul  45864  iblspltprt  45894  itgspltprt  45900  wallispilem5  45990  stirlinglem1  45995  stirlinglem3  45997  stirlinglem5  45999  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  fourierdlem11  46039  fourierdlem12  46040  fourierdlem20  46048  fourierdlem30  46058  fourierdlem50  46077  fourierdlem54  46081  fourierdlem64  46091  fourierdlem65  46092  fourierdlem76  46103  fourierdlem77  46104  fourierdlem79  46106  fourierdlem102  46129  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem114  46141  etransclem46  46201  ioorrnopnxrlem  46227  caratheodorylem1  46447  vonioolem2  46602  vonicclem2  46605  smflimsuplem4  46744  natglobalincr  46796  perfectALTVlem2  47596  aacllem  48895