Theorem ltp1d 12163

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12073	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462

This theorem is used by:  zltp1le  12662  rpnnen1lem5  13023  fznatpl1  13625  fzonn0p1  13790  seqf1olem1  14097  seqf1olem2  14098  bernneq3  14287  expmulnbnd  14291  discr1  14295  discr  14296  bcp1nk  14373  bcpasc  14377  hashfzp1  14488  hashfun  14494  seqcoll  14521  seqcoll2  14522  o1rlimmul  15696  fsum1p  15830  climcndslem2  15930  mertenslem1  15964  fprodntriv  16022  fprod1p  16048  fprodeq0  16055  binomfallfaclem2  16119  fallfacval4  16122  sqrt2irr  16330  nno  16465  iserodd  16920  prmreclem4  17004  prmreclem5  17005  4sqlem11  17040  vdwlem6  17071  vdwlem11  17076  vdwlem12  17077  chnub  18703  sylow1lem1  19699  efgsfo  19840  efgred  19849  telgsums  20094  srgbinomlem3  20341  icopnfcnv  25138  cnheibor  25151  pjthlem1  25633  ovolicopnf  25720  uniioombllem3  25781  dvfsumrlim  26227  plyco0  26386  vieta1lem2  26509  mtest  26604  itgulm  26608  psercnlem1  26625  psercn  26626  abelthlem2  26632  abelthlem7  26638  logcnlem4  26847  atanlogsublem  27117  birthdaylem2  27154  efrlim  27171  fsumharmonic  27213  ftalem5  27278  basellem1  27282  basellem3  27284  ppiprm  27352  chtprm  27354  chtdif  27359  ppidif  27364  chtub  27413  perfectlem2  27431  gausslemma2dlem4  27570  gausslemma2dlem6  27573  lgsquadlem2  27582  dchrisum0lem1b  27716  dchrisum0lem3  27720  pntrlog2bndlem6  27784  pntpbnd1  27787  pntpbnd2  27788  pntlemc  27796  pntlemf  27806  ostth2lem1  27819  ostth2lem3  27836  axlowdimlem16  29344  crctcshwlkn0lem3  30198  wwlksnredwwlkn  30281  wwlksext2clwwlk  30445  smcnlem  31086  pjhthlem1  31780  pmtrto1cl  33450  psgnfzto1stlem  33451  cycpmrn  33494  extdgfialglem1  34113  esumpmono  34500  oddpwdc  34776  ballotlemfc0  34915  ballotlemfcc  34916  fsum2dsub  35026  breprexp  35052  subfaclim  35701  erdsze2lem2  35717  cvmliftlem7  35804  cvmliftlem10  35807  relowlssretop  38050  poimirlem1  38313  poimirlem2  38314  poimirlem3  38315  poimirlem4  38316  poimirlem6  38318  poimirlem7  38319  poimirlem8  38320  poimirlem9  38321  poimirlem10  38322  poimirlem11  38323  poimirlem12  38324  poimirlem15  38327  poimirlem16  38328  poimirlem17  38329  poimirlem19  38331  poimirlem20  38332  poimirlem22  38334  poimirlem23  38335  poimirlem24  38336  poimirlem25  38337  poimirlem28  38340  poimirlem29  38341  poimirlem31  38343  mblfinlem2  38350  itg2addnclem2  38364  isbnd3  38476  aks4d1p1p3  42877  aks4d1p1p2  42878  aks4d1p1p6  42881  aks4d1p1p7  42882  aks4d1p1p5  42883  2np3bcnp1  42952  sticksstones6  42959  sticksstones7  42960  sticksstones10  42963  sticksstones12a  42965  sticksstones22  42976  sumcubes  43115  3cubeslem1  43456  eldioph2lem1  43532  pell14qrgapw  43644  rmygeid  43732  monoords  46057  infxr  46123  supxrunb3  46155  uzubioo  46322  limsup10exlem  46527  xlimxrre  46586  xlimpnfv  46593  ioodvbdlimc1lem1  46686  ioodvbdlimc1lem2  46687  ioodvbdlimc2lem  46689  dvnxpaek  46697  dvnmul  46698  iblspltprt  46728  itgspltprt  46734  wallispilem5  46824  stirlinglem1  46829  stirlinglem3  46831  stirlinglem5  46833  stirlinglem6  46834  stirlinglem7  46835  stirlinglem10  46838  fourierdlem11  46873  fourierdlem12  46874  fourierdlem20  46882  fourierdlem30  46892  fourierdlem50  46911  fourierdlem54  46915  fourierdlem64  46925  fourierdlem65  46926  fourierdlem76  46937  fourierdlem77  46938  fourierdlem79  46940  fourierdlem102  46963  fourierdlem103  46964  fourierdlem104  46965  fourierdlem114  46975  etransclem46  47035  ioorrnopnxrlem  47061  caratheodorylem1  47281  vonioolem2  47436  vonicclem2  47439  smflimsuplem4  47578  ormklocald  47631  ormkglobd  47632  natglobalincr  47634  perfectALTVlem2  48528  aacllem  50662