MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltp1d 12090
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltp1d (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltp1 12000 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393
This theorem is referenced by:  zltp1le  12558  rpnnen1lem5  12911  fznatpl1  13501  fzonn0p1  13655  seqf1olem1  13953  seqf1olem2  13954  bernneq3  14140  expmulnbnd  14144  discr1  14148  discr  14149  bcp1nk  14223  bcpasc  14227  hashfzp1  14337  hashfun  14343  seqcoll  14369  seqcoll2  14370  o1rlimmul  15507  fsum1p  15643  climcndslem2  15740  mertenslem1  15774  fprodntriv  15830  fprod1p  15856  fprodeq0  15863  binomfallfaclem2  15928  fallfacval4  15931  sqrt2irr  16136  nno  16269  iserodd  16712  prmreclem4  16796  prmreclem5  16797  4sqlem11  16832  vdwlem6  16863  vdwlem11  16868  vdwlem12  16869  sylow1lem1  19385  efgsfo  19526  efgred  19535  telgsums  19775  srgbinomlem3  19964  icopnfcnv  24321  cnheibor  24334  pjthlem1  24817  ovolicopnf  24904  uniioombllem3  24965  dvfsumrlim  25411  plyco0  25569  vieta1lem2  25687  mtest  25779  itgulm  25783  psercnlem1  25800  psercn  25801  abelthlem2  25807  abelthlem7  25813  logcnlem4  26016  atanlogsublem  26281  birthdaylem2  26318  efrlim  26335  fsumharmonic  26377  ftalem5  26442  basellem1  26446  basellem3  26448  ppiprm  26516  chtprm  26518  chtdif  26523  ppidif  26528  chtub  26576  perfectlem2  26594  gausslemma2dlem4  26733  gausslemma2dlem6  26736  lgsquadlem2  26745  dchrisum0lem1b  26879  dchrisum0lem3  26883  pntrlog2bndlem6  26947  pntpbnd1  26950  pntpbnd2  26951  pntlemc  26959  pntlemf  26969  ostth2lem1  26982  ostth2lem3  26999  axlowdimlem16  27948  crctcshwlkn0lem3  28799  wwlksnredwwlkn  28882  wwlksext2clwwlk  29043  smcnlem  29681  pjhthlem1  30375  pmtrto1cl  31997  psgnfzto1stlem  31998  cycpmrn  32041  esumpmono  32735  oddpwdc  33011  ballotlemfc0  33149  ballotlemfcc  33150  fsum2dsub  33277  breprexp  33303  subfaclim  33839  erdsze2lem2  33855  cvmliftlem7  33942  cvmliftlem10  33945  relowlssretop  35880  poimirlem1  36125  poimirlem2  36126  poimirlem3  36127  poimirlem4  36128  poimirlem6  36130  poimirlem7  36131  poimirlem8  36132  poimirlem9  36133  poimirlem10  36134  poimirlem11  36135  poimirlem12  36136  poimirlem15  36139  poimirlem16  36140  poimirlem17  36141  poimirlem19  36143  poimirlem20  36144  poimirlem22  36146  poimirlem23  36147  poimirlem24  36148  poimirlem25  36149  poimirlem28  36152  poimirlem29  36153  poimirlem31  36155  mblfinlem2  36162  itg2addnclem2  36176  isbnd3  36289  aks4d1p1p3  40572  aks4d1p1p2  40573  aks4d1p1p6  40576  aks4d1p1p7  40577  aks4d1p1p5  40578  2np3bcnp1  40598  sticksstones6  40605  sticksstones7  40606  sticksstones10  40609  sticksstones12a  40611  sticksstones22  40622  metakunt12  40634  metakunt18  40640  prodsplit  40659  3cubeslem1  41050  eldioph2lem1  41126  pell14qrgapw  41242  rmygeid  41331  monoords  43618  infxr  43688  supxrunb3  43720  uzubioo  43891  limsup10exlem  44099  xlimxrre  44158  xlimpnfv  44165  ioodvbdlimc1lem1  44258  ioodvbdlimc1lem2  44259  ioodvbdlimc2lem  44261  dvnxpaek  44269  dvnmul  44270  iblspltprt  44300  itgspltprt  44306  wallispilem5  44396  stirlinglem1  44401  stirlinglem3  44403  stirlinglem5  44405  stirlinglem6  44406  stirlinglem7  44407  stirlinglem10  44410  fourierdlem11  44445  fourierdlem12  44446  fourierdlem20  44454  fourierdlem30  44464  fourierdlem50  44483  fourierdlem54  44487  fourierdlem64  44497  fourierdlem65  44498  fourierdlem76  44509  fourierdlem77  44510  fourierdlem79  44512  fourierdlem102  44535  fourierdlem103  44536  fourierdlem104  44537  fourierdlem114  44547  etransclem46  44607  ioorrnopnxrlem  44633  caratheodorylem1  44853  vonioolem2  45008  vonicclem2  45011  smflimsuplem4  45150  natglobalincr  45202  perfectALTVlem2  46000  aacllem  47334
  Copyright terms: Public domain W3C validator