Theorem ltp1d 12119

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 12028	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  1c1 11071   + caddc 11073   < clt 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414

This theorem is referenced by:  zltp1le  12618  rpnnen1lem5  12979  fznatpl1  13580  fzonn0p1  13745  seqf1olem1  14051  seqf1olem2  14052  bernneq3  14241  expmulnbnd  14245  discr1  14249  discr  14250  bcp1nk  14327  bcpasc  14331  hashfzp1  14441  hashfun  14447  seqcoll  14474  seqcoll2  14475  o1rlimmul  15629  fsum1p  15763  climcndslem2  15863  mertenslem1  15897  fprodntriv  15955  fprod1p  15981  fprodeq0  15988  binomfallfaclem2  16053  fallfacval4  16056  sqrt2irr  16264  nno  16399  iserodd  16854  prmreclem4  16938  prmreclem5  16939  4sqlem11  16974  vdwlem6  17005  vdwlem11  17010  vdwlem12  17011  chnub  18637  sylow1lem1  19621  efgsfo  19762  efgred  19771  telgsums  20016  srgbinomlem3  20257  icopnfcnv  24984  cnheibor  24997  pjthlem1  25479  ovolicopnf  25566  uniioombllem3  25627  dvfsumrlim  26073  plyco0  26232  vieta1lem2  26352  mtest  26444  itgulm  26448  psercnlem1  26465  psercn  26466  abelthlem2  26472  abelthlem7  26478  logcnlem4  26687  atanlogsublem  26957  birthdaylem2  26994  efrlim  27011  fsumharmonic  27053  ftalem5  27118  basellem1  27122  basellem3  27124  ppiprm  27192  chtprm  27194  chtdif  27199  ppidif  27204  chtub  27253  perfectlem2  27271  gausslemma2dlem4  27410  gausslemma2dlem6  27413  lgsquadlem2  27422  dchrisum0lem1b  27556  dchrisum0lem3  27560  pntrlog2bndlem6  27624  pntpbnd1  27627  pntpbnd2  27628  pntlemc  27636  pntlemf  27646  ostth2lem1  27659  ostth2lem3  27676  axlowdimlem16  29104  crctcshwlkn0lem3  29958  wwlksnredwwlkn  30041  wwlksext2clwwlk  30205  smcnlem  30846  pjhthlem1  31540  pmtrto1cl  33240  psgnfzto1stlem  33241  cycpmrn  33284  extdgfialglem1  33950  esumpmono  34337  oddpwdc  34612  ballotlemfc0  34751  ballotlemfcc  34752  fsum2dsub  34865  breprexp  34891  subfaclim  35502  erdsze2lem2  35518  cvmliftlem7  35605  cvmliftlem10  35608  relowlssretop  37821  poimirlem1  38084  poimirlem2  38085  poimirlem3  38086  poimirlem4  38087  poimirlem6  38089  poimirlem7  38090  poimirlem8  38091  poimirlem9  38092  poimirlem10  38093  poimirlem11  38094  poimirlem12  38095  poimirlem15  38098  poimirlem16  38099  poimirlem17  38100  poimirlem19  38102  poimirlem20  38103  poimirlem22  38105  poimirlem23  38106  poimirlem24  38107  poimirlem25  38108  poimirlem28  38111  poimirlem29  38112  poimirlem31  38114  mblfinlem2  38121  itg2addnclem2  38135  isbnd3  38247  aks4d1p1p3  42650  aks4d1p1p2  42651  aks4d1p1p6  42654  aks4d1p1p7  42655  aks4d1p1p5  42656  2np3bcnp1  42725  sticksstones6  42732  sticksstones7  42733  sticksstones10  42736  sticksstones12a  42738  sticksstones22  42749  sumcubes  42886  3cubeslem1  43229  eldioph2lem1  43305  pell14qrgapw  43417  rmygeid  43505  monoords  45840  infxr  45906  supxrunb3  45938  uzubioo  46105  limsup10exlem  46310  xlimxrre  46369  xlimpnfv  46376  ioodvbdlimc1lem1  46469  ioodvbdlimc1lem2  46470  ioodvbdlimc2lem  46472  dvnxpaek  46480  dvnmul  46481  iblspltprt  46511  itgspltprt  46517  wallispilem5  46607  stirlinglem1  46612  stirlinglem3  46614  stirlinglem5  46616  stirlinglem6  46617  stirlinglem7  46618  stirlinglem10  46621  fourierdlem11  46656  fourierdlem12  46657  fourierdlem20  46665  fourierdlem30  46675  fourierdlem50  46694  fourierdlem54  46698  fourierdlem64  46708  fourierdlem65  46709  fourierdlem76  46720  fourierdlem77  46721  fourierdlem79  46723  fourierdlem102  46746  fourierdlem103  46747  fourierdlem104  46748  fourierdlem114  46758  etransclem46  46818  ioorrnopnxrlem  46844  caratheodorylem1  47064  vonioolem2  47219  vonicclem2  47222  smflimsuplem4  47361  ormklocald  47414  ormkglobd  47415  natglobalincr  47417  perfectALTVlem2  48308  aacllem  50386