Theorem ltp1d 11559

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 11469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  zltp1le  12020  rpnnen1lem5  12368  fznatpl1  12956  fzonn0p1  13109  seqf1olem1  13405  seqf1olem2  13406  bernneq3  13588  expmulnbnd  13592  discr1  13596  discr  13597  bcp1nk  13673  bcpasc  13677  hashfzp1  13788  hashfun  13794  seqcoll  13818  seqcoll2  13819  o1rlimmul  14967  fsum1p  15100  climcndslem2  15197  mertenslem1  15232  fprodntriv  15288  fprod1p  15314  fprodeq0  15321  binomfallfaclem2  15386  fallfacval4  15389  sqrt2irr  15594  nno  15723  iserodd  16162  prmreclem4  16245  prmreclem5  16246  4sqlem11  16281  vdwlem6  16312  vdwlem11  16317  vdwlem12  16318  sylow1lem1  18715  efgsfo  18857  efgred  18866  telgsums  19106  srgbinomlem3  19285  icopnfcnv  23547  cnheibor  23560  pjthlem1  24041  ovolicopnf  24128  uniioombllem3  24189  dvfsumrlim  24634  plyco0  24789  vieta1lem2  24907  mtest  24999  itgulm  25003  psercnlem1  25020  psercn  25021  abelthlem2  25027  abelthlem7  25033  logcnlem4  25236  atanlogsublem  25501  birthdaylem2  25538  efrlim  25555  fsumharmonic  25597  ftalem5  25662  basellem1  25666  basellem3  25668  ppiprm  25736  chtprm  25738  chtdif  25743  ppidif  25748  chtub  25796  perfectlem2  25814  gausslemma2dlem4  25953  gausslemma2dlem6  25956  lgsquadlem2  25965  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem3  26103  pntrlog2bndlem6  26167  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntlemc  26179  pntlemf  26189  ostth2lem1  26202  ostth2lem3  26219  axlowdimlem16  26751  crctcshwlkn0lem3  27598  wwlksnredwwlkn  27681  wwlksext2clwwlk  27842  smcnlem  28480  pjhthlem1  29174  pmtrto1cl  30791  psgnfzto1stlem  30792  cycpmrn  30835  esumpmono  31448  oddpwdc  31722  ballotlemfc0  31860  ballotlemfcc  31861  fsum2dsub  31988  breprexp  32014  subfaclim  32548  erdsze2lem2  32564  cvmliftlem7  32651  cvmliftlem10  32654  relowlssretop  34780  poimirlem1  35058  poimirlem2  35059  poimirlem3  35060  poimirlem4  35061  poimirlem6  35063  poimirlem7  35064  poimirlem8  35065  poimirlem9  35066  poimirlem10  35067  poimirlem11  35068  poimirlem12  35069  poimirlem15  35072  poimirlem16  35073  poimirlem17  35074  poimirlem19  35076  poimirlem20  35077  poimirlem22  35079  poimirlem23  35080  poimirlem24  35081  poimirlem25  35082  poimirlem28  35085  poimirlem29  35086  poimirlem31  35088  mblfinlem2  35095  itg2addnclem2  35109  isbnd3  35222  2np3bcnp1  39348  metakunt12  39361  metakunt18  39367  prodsplit  39386  3cubeslem1  39625  eldioph2lem1  39701  pell14qrgapw  39817  rmygeid  39905  monoords  41929  infxr  41999  supxrunb3  42036  uzubioo  42204  limsup10exlem  42414  xlimxrre  42473  xlimpnfv  42480  ioodvbdlimc1lem1  42573  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnxpaek  42584  dvnmul  42585  iblspltprt  42615  itgspltprt  42621  wallispilem5  42711  stirlinglem1  42716  stirlinglem3  42718  stirlinglem5  42720  stirlinglem6  42721  stirlinglem7  42722  stirlinglem10  42725  fourierdlem11  42760  fourierdlem12  42761  fourierdlem20  42769  fourierdlem30  42779  fourierdlem50  42798  fourierdlem54  42802  fourierdlem64  42812  fourierdlem65  42813  fourierdlem76  42824  fourierdlem77  42825  fourierdlem79  42827  fourierdlem102  42850  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem114  42862  etransclem46  42922  ioorrnopnxrlem  42948  caratheodorylem1  43165  vonioolem2  43320  vonicclem2  43323  smflimsuplem4  43454  perfectALTVlem2  44240  aacllem  45329