Theorem ltp1d 12052

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 11961	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  zltp1le  12522  rpnnen1lem5  12879  fznatpl1  13478  fzonn0p1  13642  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  bernneq3  14138  expmulnbnd  14142  discr1  14146  discr  14147  bcp1nk  14224  bcpasc  14228  hashfzp1  14338  hashfun  14344  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  o1rlimmul  15526  fsum1p  15660  climcndslem2  15757  mertenslem1  15791  fprodntriv  15849  fprod1p  15875  fprodeq0  15882  binomfallfaclem2  15947  fallfacval4  15950  sqrt2irr  16158  nno  16293  iserodd  16747  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  4sqlem11  16867  vdwlem6  16898  vdwlem11  16903  vdwlem12  16904  chnub  18528  sylow1lem1  19511  efgsfo  19652  efgred  19661  telgsums  19906  srgbinomlem3  20147  icopnfcnv  24868  cnheibor  24882  pjthlem1  25365  ovolicopnf  25453  uniioombllem3  25514  dvfsumrlim  25966  plyco0  26125  vieta1lem2  26247  mtest  26341  itgulm  26345  psercnlem1  26363  psercn  26364  abelthlem2  26370  abelthlem7  26376  logcnlem4  26582  atanlogsublem  26853  birthdaylem2  26890  efrlim  26907  efrlimOLD  26908  fsumharmonic  26950  ftalem5  27015  basellem1  27019  basellem3  27021  ppiprm  27089  chtprm  27091  chtdif  27096  ppidif  27101  chtub  27151  perfectlem2  27169  gausslemma2dlem4  27308  gausslemma2dlem6  27311  lgsquadlem2  27320  dchrisum0lem1b  27454  dchrisum0lem3  27458  pntrlog2bndlem6  27522  pntpbnd1  27525  pntpbnd2  27526  pntlemc  27534  pntlemf  27544  ostth2lem1  27557  ostth2lem3  27574  axlowdimlem16  28936  crctcshwlkn0lem3  29791  wwlksnredwwlkn  29874  wwlksext2clwwlk  30035  smcnlem  30675  pjhthlem1  31369  pmtrto1cl  33066  psgnfzto1stlem  33067  cycpmrn  33110  extdgfialglem1  33703  esumpmono  34090  oddpwdc  34365  ballotlemfc0  34504  ballotlemfcc  34505  fsum2dsub  34618  breprexp  34644  subfaclim  35230  erdsze2lem2  35246  cvmliftlem7  35333  cvmliftlem10  35336  relowlssretop  37403  poimirlem1  37667  poimirlem2  37668  poimirlem3  37669  poimirlem4  37670  poimirlem6  37672  poimirlem7  37673  poimirlem8  37674  poimirlem9  37675  poimirlem10  37676  poimirlem11  37677  poimirlem12  37678  poimirlem15  37681  poimirlem16  37682  poimirlem17  37683  poimirlem19  37685  poimirlem20  37686  poimirlem22  37688  poimirlem23  37689  poimirlem24  37690  poimirlem25  37691  poimirlem28  37694  poimirlem29  37695  poimirlem31  37697  mblfinlem2  37704  itg2addnclem2  37718  isbnd3  37830  aks4d1p1p3  42108  aks4d1p1p2  42109  aks4d1p1p6  42112  aks4d1p1p7  42113  aks4d1p1p5  42114  2np3bcnp1  42183  sticksstones6  42190  sticksstones7  42191  sticksstones10  42194  sticksstones12a  42196  sticksstones22  42207  sumcubes  42352  3cubeslem1  42723  eldioph2lem1  42799  pell14qrgapw  42915  rmygeid  43003  monoords  45344  infxr  45411  supxrunb3  45443  uzubioo  45611  limsup10exlem  45816  xlimxrre  45875  xlimpnfv  45882  ioodvbdlimc1lem1  45975  ioodvbdlimc1lem2  45976  ioodvbdlimc2lem  45978  dvnxpaek  45986  dvnmul  45987  iblspltprt  46017  itgspltprt  46023  wallispilem5  46113  stirlinglem1  46118  stirlinglem3  46120  stirlinglem5  46122  stirlinglem6  46123  stirlinglem7  46124  stirlinglem10  46127  fourierdlem11  46162  fourierdlem12  46163  fourierdlem20  46171  fourierdlem30  46181  fourierdlem50  46200  fourierdlem54  46204  fourierdlem64  46214  fourierdlem65  46215  fourierdlem76  46226  fourierdlem77  46227  fourierdlem79  46229  fourierdlem102  46252  fourierdlem103  46253  fourierdlem104  46254  fourierdlem114  46264  etransclem46  46324  ioorrnopnxrlem  46350  caratheodorylem1  46570  vonioolem2  46725  vonicclem2  46728  smflimsuplem4  46867  ormklocald  46918  ormkglobd  46919  natglobalincr  46921  perfectALTVlem2  47759  aacllem  49839