Theorem ltp1d 12077

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 11986	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  zltp1le  12568  rpnnen1lem5  12922  fznatpl1  13523  fzonn0p1  13688  seqf1olem1  13994  seqf1olem2  13995  bernneq3  14184  expmulnbnd  14188  discr1  14192  discr  14193  bcp1nk  14270  bcpasc  14274  hashfzp1  14384  hashfun  14390  seqcoll  14417  seqcoll2  14418  o1rlimmul  15572  fsum1p  15706  climcndslem2  15806  mertenslem1  15840  fprodntriv  15898  fprod1p  15924  fprodeq0  15931  binomfallfaclem2  15996  fallfacval4  15999  sqrt2irr  16207  nno  16342  iserodd  16797  prmreclem4  16881  prmreclem5  16882  4sqlem11  16917  vdwlem6  16948  vdwlem11  16953  vdwlem12  16954  chnub  18579  sylow1lem1  19564  efgsfo  19705  efgred  19714  telgsums  19959  srgbinomlem3  20200  icopnfcnv  24919  cnheibor  24932  pjthlem1  25414  ovolicopnf  25501  uniioombllem3  25562  dvfsumrlim  26008  plyco0  26167  vieta1lem2  26288  mtest  26382  itgulm  26386  psercnlem1  26403  psercn  26404  abelthlem2  26410  abelthlem7  26416  logcnlem4  26622  atanlogsublem  26892  birthdaylem2  26929  efrlim  26946  efrlimOLD  26947  fsumharmonic  26989  ftalem5  27054  basellem1  27058  basellem3  27060  ppiprm  27128  chtprm  27130  chtdif  27135  ppidif  27140  chtub  27189  perfectlem2  27207  gausslemma2dlem4  27346  gausslemma2dlem6  27349  lgsquadlem2  27358  dchrisum0lem1b  27492  dchrisum0lem3  27496  pntrlog2bndlem6  27560  pntpbnd1  27563  pntpbnd2  27564  pntlemc  27572  pntlemf  27582  ostth2lem1  27595  ostth2lem3  27612  axlowdimlem16  29040  crctcshwlkn0lem3  29895  wwlksnredwwlkn  29978  wwlksext2clwwlk  30142  smcnlem  30783  pjhthlem1  31477  pmtrto1cl  33175  psgnfzto1stlem  33176  cycpmrn  33219  extdgfialglem1  33852  esumpmono  34239  oddpwdc  34514  ballotlemfc0  34653  ballotlemfcc  34654  fsum2dsub  34767  breprexp  34793  subfaclim  35386  erdsze2lem2  35402  cvmliftlem7  35489  cvmliftlem10  35492  relowlssretop  37693  poimirlem1  37956  poimirlem2  37957  poimirlem3  37958  poimirlem4  37959  poimirlem6  37961  poimirlem7  37962  poimirlem8  37963  poimirlem9  37964  poimirlem10  37965  poimirlem11  37966  poimirlem12  37967  poimirlem15  37970  poimirlem16  37971  poimirlem17  37972  poimirlem19  37974  poimirlem20  37975  poimirlem22  37977  poimirlem23  37978  poimirlem24  37979  poimirlem25  37980  poimirlem28  37983  poimirlem29  37984  poimirlem31  37986  mblfinlem2  37993  itg2addnclem2  38007  isbnd3  38119  aks4d1p1p3  42522  aks4d1p1p2  42523  aks4d1p1p6  42526  aks4d1p1p7  42527  aks4d1p1p5  42528  2np3bcnp1  42597  sticksstones6  42604  sticksstones7  42605  sticksstones10  42608  sticksstones12a  42610  sticksstones22  42621  sumcubes  42759  3cubeslem1  43130  eldioph2lem1  43206  pell14qrgapw  43322  rmygeid  43410  monoords  45748  infxr  45814  supxrunb3  45846  uzubioo  46013  limsup10exlem  46218  xlimxrre  46277  xlimpnfv  46284  ioodvbdlimc1lem1  46377  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  dvnxpaek  46388  dvnmul  46389  iblspltprt  46419  itgspltprt  46425  wallispilem5  46515  stirlinglem1  46520  stirlinglem3  46522  stirlinglem5  46524  stirlinglem6  46525  stirlinglem7  46526  stirlinglem10  46529  fourierdlem11  46564  fourierdlem12  46565  fourierdlem20  46573  fourierdlem30  46583  fourierdlem50  46602  fourierdlem54  46606  fourierdlem64  46616  fourierdlem65  46617  fourierdlem76  46628  fourierdlem77  46629  fourierdlem79  46631  fourierdlem102  46654  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  fourierdlem114  46666  etransclem46  46726  ioorrnopnxrlem  46752  caratheodorylem1  46972  vonioolem2  47127  vonicclem2  47130  smflimsuplem4  47269  ormklocald  47320  ormkglobd  47321  natglobalincr  47323  perfectALTVlem2  48210  aacllem  50288