Theorem ltmuldivs2wd 28470

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdivmulswd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltdivmulswd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltdivmulswd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltdivmulswd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
ltdivmulswd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
ltmuldivs2wd	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ltmuldivs2wd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivmulswd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltdivmulswd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulscomd 28408	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐴))
4	3	breq1d 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵))
5		ltdivmulswd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6		ltdivmulswd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
7		ltdivmulswd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
8	1, 5, 2, 6, 7	ltmuldivswd 28469	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))
9	4, 8	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414   No csur 27879   <s clts 27880   0_s c0s 28073   1_s c1s 28074   ·_s cmuls 28374   /_su cdivs 28455

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-1o 8458  df-2o 8459  df-nadd 8657  df-no 27882  df-lts 27883  df-bday 27884  df-les 27984  df-slts 28026  df-cuts 28028  df-0s 28075  df-1s 28076  df-made 28095  df-old 28096  df-left 28098  df-right 28099  df-norec 28206  df-norec2 28217  df-adds 28228  df-negs 28289  df-subs 28290  df-muls 28375  df-divs 28456

This theorem is used by:  precsexlem11  28485  ltmuldivs2d  28498  pw2ltmuldivs2d  28719