Theorem divsasswd 28112

Description: An associative law for surreal division. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsasswd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsasswd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsasswd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsasswd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
divsasswd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divsasswd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem divsasswd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsasswd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divsasswd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		divsasswd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
4		divsasswd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
5	1, 2, 3, 4	divscan2wd 28106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶)) = 𝐵)
6	5	oveq2d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
7		divsasswd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
8	1, 2, 3, 4	divsclwd 28105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) ∈ No )
9	2, 7, 8	muls12d 28090	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))) = (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
10	7, 1	mulscld 28044	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	10, 2, 3, 4	divscan2wd 28106	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐴 ·s 𝐵))
12	6, 9, 11	3eqtr4rd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
13	10, 2, 3, 4	divsclwd 28105	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) ∈ No )
14	7, 8	mulscld 28044	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)) ∈ No )
15	13, 14, 2, 3	mulscan1d 28089	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))) ↔ ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
16	12, 15	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  (class class class)co 7389   No csur 27557   0_s c0s 27740   1_s c1s 27741   ·_s cmuls 28015   /_su cdivs 28096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-1o 8436  df-2o 8437  df-nadd 8632  df-no 27560  df-slt 27561  df-bday 27562  df-sle 27663  df-sslt 27699  df-scut 27701  df-0s 27742  df-1s 27743  df-made 27761  df-old 27762  df-left 27764  df-right 27765  df-norec 27851  df-norec2 27862  df-adds 27873  df-negs 27933  df-subs 27934  df-muls 28016  df-divs 28097

This theorem is referenced by:  precsexlem9  28123  divsassd  28139