Theorem divsasswd 28358

Description: An associative law for surreal division. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsasswd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsasswd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsasswd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsasswd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
divsasswd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divsasswd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem divsasswd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsasswd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divsasswd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		divsasswd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
4		divsasswd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
5	1, 2, 3, 4	divscan2wd 28352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶)) = 𝐵)
6	5	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
7		divsasswd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
8	1, 2, 3, 4	divsclwd 28351	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) ∈ No )
9	2, 7, 8	muls12d 28336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))) = (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
10	7, 1	mulscld 28290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	10, 2, 3, 4	divscan2wd 28352	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐴 ·s 𝐵))
12	6, 9, 11	3eqtr4rd 2815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
13	10, 2, 3, 4	divsclwd 28351	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) ∈ No )
14	7, 8	mulscld 28290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)) ∈ No )
15	13, 14, 2, 3	mulscan1d 28335	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))) ↔ ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
16	12, 15	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  (class class class)co 7408   No csur 27766   0_s c0s 27960   1_s c1s 27961   ·_s cmuls 28261   /_su cdivs 28342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-2o 8450  df-nadd 8648  df-no 27769  df-lts 27770  df-bday 27771  df-les 27871  df-slts 27913  df-cuts 27915  df-0s 27962  df-1s 27963  df-made 27982  df-old 27983  df-left 27985  df-right 27986  df-norec 28093  df-norec2 28104  df-adds 28115  df-negs 28176  df-subs 28177  df-muls 28262  df-divs 28343

This theorem is referenced by:  precsexlem9  28370  divsassd  28386  pw2divsassd  28598  z12zsodd  28637