Theorem divsasswd 28115

Description: An associative law for surreal division. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsasswd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsasswd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsasswd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsasswd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
divsasswd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divsasswd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem divsasswd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsasswd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divsasswd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		divsasswd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
4		divsasswd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
5	1, 2, 3, 4	divscan2wd 28109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶)) = 𝐵)
6	5	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
7		divsasswd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
8	1, 2, 3, 4	divsclwd 28108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) ∈ No )
9	2, 7, 8	muls12d 28094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))) = (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
10	7, 1	mulscld 28048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	10, 2, 3, 4	divscan2wd 28109	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐴 ·s 𝐵))
12	6, 9, 11	3eqtr4rd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
13	10, 2, 3, 4	divsclwd 28108	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) ∈ No )
14	7, 8	mulscld 28048	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)) ∈ No )
15	13, 14, 2, 3	mulscan1d 28093	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))) ↔ ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
16	12, 15	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067  (class class class)co 7420   No csur 27586   0_s c0s 27768   1_s c1s 27769   ·_s cmuls 28019   /_su cdivs 28100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-1o 8487  df-2o 8488  df-nadd 8687  df-no 27589  df-slt 27590  df-bday 27591  df-sle 27691  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27770  df-1s 27771  df-made 27787  df-old 27788  df-left 27790  df-right 27791  df-norec 27868  df-norec2 27879  df-adds 27890  df-negs 27947  df-subs 27948  df-muls 28020  df-divs 28101

This theorem is referenced by:  precsexlem9  28126  divsassd  28142