Theorem divsasswd 28476

Description: An associative law for surreal division. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsasswd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsasswd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsasswd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsasswd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
divsasswd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divsasswd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem divsasswd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsasswd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divsasswd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		divsasswd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
4		divsasswd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
5	1, 2, 3, 4	divscan2wd 28470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶)) = 𝐵)
6	5	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
7		divsasswd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
8	1, 2, 3, 4	divsclwd 28469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) ∈ No )
9	2, 7, 8	muls12d 28454	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))) = (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
10	7, 1	mulscld 28408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	10, 2, 3, 4	divscan2wd 28470	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐴 ·s 𝐵))
12	6, 9, 11	3eqtr4rd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
13	10, 2, 3, 4	divsclwd 28469	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) ∈ No )
14	7, 8	mulscld 28408	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)) ∈ No )
15	13, 14, 2, 3	mulscan1d 28453	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))) ↔ ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
16	12, 15	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  (class class class)co 7417   No csur 27884   0_s c0s 28078   1_s c1s 28079   ·_s cmuls 28379   /_su cdivs 28460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-2o 8460  df-nadd 8658  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-les 27989  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-0s 28080  df-1s 28081  df-made 28100  df-old 28101  df-left 28103  df-right 28104  df-norec 28211  df-norec2 28222  df-adds 28233  df-negs 28294  df-subs 28295  df-muls 28380  df-divs 28461

This theorem is used by:  precsexlem9  28488  divsassd  28504  pw2divsassd  28716  z12zsodd  28755