Theorem divsasswd 28195

Description: An associative law for surreal division. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsasswd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsasswd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsasswd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsasswd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
divsasswd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divsasswd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem divsasswd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsasswd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divsasswd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		divsasswd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
4		divsasswd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
5	1, 2, 3, 4	divscan2wd 28189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶)) = 𝐵)
6	5	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
7		divsasswd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
8	1, 2, 3, 4	divsclwd 28188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) ∈ No )
9	2, 7, 8	muls12d 28173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))) = (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
10	7, 1	mulscld 28127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	10, 2, 3, 4	divscan2wd 28189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐴 ·s 𝐵))
12	6, 9, 11	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
13	10, 2, 3, 4	divsclwd 28188	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) ∈ No )
14	7, 8	mulscld 28127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)) ∈ No )
15	13, 14, 2, 3	mulscan1d 28172	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶)) = (𝐶 ·s (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))) ↔ ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶))))
16	12, 15	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 ·s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  (class class class)co 7367   No csur 27603   0_s c0s 27797   1_s c1s 27798   ·_s cmuls 28098   /_su cdivs 28179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-1o 8405  df-2o 8406  df-nadd 8602  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-1s 27800  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec 27930  df-norec2 27941  df-adds 27952  df-negs 28013  df-subs 28014  df-muls 28099  df-divs 28180

This theorem is referenced by:  precsexlem9  28207  divsassd  28223  pw2divsassd  28435  z12zsodd  28474