Theorem pw2ltmuldivs2d 28620

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2ltdivmulsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2ltdivmulsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2ltdivmulsd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2ltmuldivs2d	⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2ltmuldivs2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2ltdivmulsd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2ltdivmulsd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		2no 28588	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2ltdivmulsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28600	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		2nns 28587	. . . . 5 ⊢ 2s ∈ ℕs
8		nnsgt0 28508	. . . . 5 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0s <s 2s
10		expsgt0 28606	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑁))
11	3, 9, 10	mp3an13 1479	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑁))
12	4, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s (2s↑s𝑁))
13		pw2recs 28607	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
14	4, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
15	1, 2, 6, 12, 14	ltmuldivs2wd 28371	1 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410   No csur 27780   <s clts 27781   0_s c0s 27974   1_s c1s 27975   ·_s cmuls 28275   /_su cdivs 28356  ℕ_0scn0s 28481  ℕ_scnns 28482  2_sc2s 28579  ↑_scexps 28581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-nadd 8651  df-no 27783  df-lts 27784  df-bday 27785  df-les 27885  df-slts 27927  df-cuts 27929  df-0s 27976  df-1s 27977  df-made 27996  df-old 27997  df-left 27999  df-right 28000  df-norec 28107  df-norec2 28118  df-adds 28129  df-negs 28190  df-subs 28191  df-muls 28276  df-divs 28357  df-seqs 28453  df-n0s 28483  df-nns 28484  df-zs 28548  df-2s 28580  df-exps 28582

This theorem is referenced by:  avglts1d  28622