Theorem divsclwd 28075

Description: Weak division closure law. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsclwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsclwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsclwd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divsclwd.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divsclwd	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem divsclwd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsclwd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		divsclwd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		divsclwd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
4		divsclwd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s )
5		divsclw 28074	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  (class class class)co 7369   No csur 27527   0_s c0s 27710   1_s c1s 27711   ·_s cmuls 27985   /_su cdivs 28066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-1o 8411  df-2o 8412  df-nadd 8607  df-no 27530  df-slt 27531  df-bday 27532  df-sle 27633  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-0s 27712  df-1s 27713  df-made 27731  df-old 27732  df-left 27734  df-right 27735  df-norec 27821  df-norec2 27832  df-adds 27843  df-negs 27903  df-subs 27904  df-muls 27986  df-divs 28067

This theorem is referenced by:  divscan2wd  28076  divscan1wd  28077  sltdivmulwd  28078  sltmuldivwd  28080  divsasswd  28082  precsexlem8  28092  pw2divscld  28300