Theorem divsclwd 28123

Description: Weak division closure law. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsclwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsclwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsclwd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divsclwd.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divsclwd	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem divsclwd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsclwd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		divsclwd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		divsclwd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
4		divsclwd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s )
5		divsclw 28122	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  (class class class)co 7353   No csur 27568   0_s c0s 27755   1_s c1s 27756   ·_s cmuls 28033   /_su cdivs 28114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8591  df-no 27571  df-slt 27572  df-bday 27573  df-sle 27674  df-sslt 27711  df-scut 27713  df-0s 27757  df-1s 27758  df-made 27776  df-old 27777  df-left 27779  df-right 27780  df-norec 27869  df-norec2 27880  df-adds 27891  df-negs 27951  df-subs 27952  df-muls 28034  df-divs 28115

This theorem is referenced by:  divscan2wd  28124  divscan1wd  28125  sltdivmulwd  28126  sltmuldivwd  28128  divsasswd  28130  precsexlem8  28140  pw2divscld  28350