Theorem neg0s 28020

Description: Negative surreal zero is surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
neg0s	⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Proof of Theorem neg0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		right0s 27888	. . . . 5 ⊢ ( R ‘ 0s ) = ∅
2	1	imaeq2i 6025	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
3		ima0 6044	. . . 4 ⊢ ( -us “ ∅) = ∅
4	2, 3	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ∅
5		left0s 27887	. . . . 5 ⊢ ( L ‘ 0s ) = ∅
6	5	imaeq2i 6025	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
7	6, 3	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ∅
8	4, 7	oveq12i 7381	. 2 ⊢ (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))) = (∅ |s ∅)
9		0no 27803	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
10		negsval 28019	. . 3 ⊢ ( 0s ∈ No → ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s )))
12		df-0s 27801	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
13	8, 11, 12	3eqtr4i 2770	1 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274   “ cima 5635  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369   No csur 27605   |s ccuts 27753   0_s c0s 27799   L cleft 27819   R cright 27820   -u_s cnegs 28013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27608  df-lts 27609  df-bday 27610  df-slts 27752  df-cuts 27754  df-0s 27801  df-made 27821  df-old 27822  df-left 27824  df-right 27825  df-norec 27932  df-negs 28015

This theorem is referenced by:  neg1s  28021  lt0negs2d  28045  subsfo  28059  subsid1  28062  ltmulnegs1d  28170  mulscan2d  28173  recsex  28213  abssnid  28237  absmuls  28238  abssge0  28239  absnegs  28241  leabss  28242  elzs2  28393  elnnzs  28395  elznns  28396  z12bday  28479  bdayfin  28481  recut  28488