Theorem neg0s 28032

Description: Negative surreal zero is surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
neg0s	⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Proof of Theorem neg0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		right0s 27900	. . . . 5 ⊢ ( R ‘ 0s ) = ∅
2	1	imaeq2i 6017	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
3		ima0 6036	. . . 4 ⊢ ( -us “ ∅) = ∅
4	2, 3	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ∅
5		left0s 27899	. . . . 5 ⊢ ( L ‘ 0s ) = ∅
6	5	imaeq2i 6017	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
7	6, 3	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ∅
8	4, 7	oveq12i 7372	. 2 ⊢ (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))) = (∅ |s ∅)
9		0no 27815	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
10		negsval 28031	. . 3 ⊢ ( 0s ∈ No → ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s )))
12		df-0s 27813	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
13	8, 11, 12	3eqtr4i 2770	1 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   No csur 27617   |s ccuts 27765   0_s c0s 27811   L cleft 27831   R cright 27832   -u_s cnegs 28025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8398  df-2o 8399  df-no 27620  df-lts 27621  df-bday 27622  df-slts 27764  df-cuts 27766  df-0s 27813  df-made 27833  df-old 27834  df-left 27836  df-right 27837  df-norec 27944  df-negs 28027

This theorem is referenced by:  neg1s  28033  lt0negs2d  28057  subsfo  28071  subsid1  28074  ltmulnegs1d  28182  mulscan2d  28185  recsex  28225  abssnid  28249  absmuls  28250  abssge0  28251  absnegs  28253  leabss  28254  elzs2  28405  elnnzs  28407  elznns  28408  z12bday  28491  bdayfin  28493  recut  28500