Theorem mulnegs2d 28225

Description: Product with negative is negative of product. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulnegs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulnegs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
mulnegs2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐵)) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem mulnegs2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnegs1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		mulnegs1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3	1, 2	mulnegs1d 28224	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐵) ·s 𝐴) = ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐴)))
4	1	negscld 28107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
5	2, 4	mulscomd 28204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐵)) = (( -us ‘𝐵) ·s 𝐴))
6	2, 1	mulscomd 28204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) = (𝐵 ·s 𝐴))
7	6	fveq2d 6927	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐴)))
8	3, 5, 7	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐵)) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6576  (class class class)co 7451   No csur 27722   -u_s cnegs 28089   ·_s cmuls 28170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5304  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4933  df-int 4972  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-se 5654  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-1o 8525  df-2o 8526  df-nadd 8725  df-no 27725  df-slt 27726  df-bday 27727  df-sle 27828  df-sslt 27864  df-scut 27866  df-0s 27907  df-made 27924  df-old 27925  df-left 27927  df-right 27928  df-norec 28009  df-norec2 28020  df-adds 28031  df-negs 28091  df-subs 28092  df-muls 28171

This theorem is referenced by:  mul2negsd  28226  sltmulneg1d  28240  mulscan2d  28243  recsex  28281  absmuls  28306