Theorem mulnegs2d 28251

Description: Product with negative is negative of product. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulnegs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulnegs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
mulnegs2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐵)) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem mulnegs2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnegs1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		mulnegs1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3	1, 2	mulnegs1d 28250	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐵) ·s 𝐴) = ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐴)))
4	1	negscld 28127	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
5	2, 4	mulscomd 28230	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐵)) = (( -us ‘𝐵) ·s 𝐴))
6	2, 1	mulscomd 28230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) = (𝐵 ·s 𝐴))
7	6	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐴)))
8	3, 5, 7	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐵)) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   No csur 27701   -u_s cnegs 28109   ·_s cmuls 28196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-1o 8437  df-2o 8438  df-nadd 8636  df-no 27704  df-lts 27705  df-bday 27706  df-les 27806  df-slts 27848  df-cuts 27850  df-0s 27897  df-made 27917  df-old 27918  df-left 27920  df-right 27921  df-norec 28028  df-norec2 28039  df-adds 28050  df-negs 28111  df-subs 28112  df-muls 28197

This theorem is referenced by:  mul2negsd  28252  ltmulnegs1d  28266  mulscan2d  28269  recsex  28309  absmuls  28334