Theorem ltrnco4 39275

Description: Rearrange a composition of 4 translations, analogous to an4 654. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrncom.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnco4	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem ltrnco4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrncom.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		ltrncom.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrncom 39274	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐸 ∘ 𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐸))
4	3	coeq1d 5822	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐸 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐸) ∘ 𝐺))
5		coass 6222	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
6		coass 6222	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐸) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺))
7	4, 5, 6	3eqtr3g 2794	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))
8	7	coeq2d 5823	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺))))
9		coass 6222	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
10		coass 6222	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))
11	8, 9, 10	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6501  HLchlt 37885  LHypclh 38520  LTrncltrn 38637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-riotaBAD 37488

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-undef 8209  df-map 8774  df-proset 18198  df-poset 18216  df-plt 18233  df-lub 18249  df-glb 18250  df-join 18251  df-meet 18252  df-p0 18328  df-p1 18329  df-lat 18335  df-clat 18402  df-oposet 37711  df-ol 37713  df-oml 37714  df-covers 37801  df-ats 37802  df-atl 37833  df-cvlat 37857  df-hlat 37886  df-llines 38034  df-lplanes 38035  df-lvols 38036  df-lines 38037  df-psubsp 38039  df-pmap 38040  df-padd 38332  df-lhyp 38524  df-laut 38525  df-ldil 38640  df-ltrn 38641  df-trl 38695

This theorem is referenced by:  tendoco2  39304