Theorem ltrnco4 39913

Description: Rearrange a composition of 4 translations, analogous to an4 652. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrncom.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnco4	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem ltrnco4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrncom.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		ltrncom.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrncom 39912	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐸 ∘ 𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐸))
4	3	coeq1d 5860	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐸 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐸) ∘ 𝐺))
5		coass 6263	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
6		coass 6263	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐸) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺))
7	4, 5, 6	3eqtr3g 2793	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))
8	7	coeq2d 5861	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺))))
9		coass 6263	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
10		coass 6263	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))
11	8, 9, 10	3eqtr4g 2795	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∘ ccom 5679  ‘cfv 6542  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-riotaBAD 38126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333

This theorem is referenced by:  tendoco2  39942