Theorem ltrnco4 36888

Description: Rearrange a composition of 4 translations, analogous to an4 646. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrncom.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnco4	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem ltrnco4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrncom.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		ltrncom.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrncom 36887	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐸 ∘ 𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐸))
4	3	coeq1d 5529	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐸 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐸) ∘ 𝐺))
5		coass 5908	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
6		coass 5908	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐸) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺))
7	4, 5, 6	3eqtr3g 2836	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))
8	7	coeq2d 5530	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺))))
9		coass 5908	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
10		coass 5908	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))
11	8, 9, 10	3eqtr4g 2838	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ∘ ccom 5359  ‘cfv 6135  HLchlt 35499  LHypclh 36133  LTrncltrn 36250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-riotaBAD 35102

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-undef 7681  df-map 8142  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-llines 35647  df-lplanes 35648  df-lvols 35649  df-lines 35650  df-psubsp 35652  df-pmap 35653  df-padd 35945  df-lhyp 36137  df-laut 36138  df-ldil 36253  df-ltrn 36254  df-trl 36308

This theorem is referenced by:  tendoco2  36917