Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnco4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnco4 39231
Description: Rearrange a composition of 4 translations, analogous to an4 655. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncom.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnco4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → ((𝐷𝐸) ∘ (𝐹𝐺)) = ((𝐷𝐹) ∘ (𝐸𝐺)))

Proof of Theorem ltrnco4
StepHypRef Expression
1 ltrncom.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ltrncom.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrncom 39230 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → (𝐸𝐹) = (𝐹𝐸))
43coeq1d 5822 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → ((𝐸𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐹𝐸) ∘ 𝐺))
5 coass 6222 . . . 4 ((𝐸𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐸 ∘ (𝐹𝐺))
6 coass 6222 . . . 4 ((𝐹𝐸) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐸𝐺))
74, 5, 63eqtr3g 2800 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → (𝐸 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ (𝐸𝐺)))
87coeq2d 5823 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹𝐺))) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸𝐺))))
9 coass 6222 . 2 ((𝐷𝐸) ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹𝐺)))
10 coass 6222 . 2 ((𝐷𝐹) ∘ (𝐸𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸𝐺)))
118, 9, 103eqtr4g 2802 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → ((𝐷𝐸) ∘ (𝐹𝐺)) = ((𝐷𝐹) ∘ (𝐸𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  ccom 5642  cfv 6501  HLchlt 37841  LHypclh 38476  LTrncltrn 38593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-undef 8209  df-map 8774  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651
This theorem is referenced by:  tendoco2  39260
  Copyright terms: Public domain W3C validator