Theorem ltrnco4 40728

Description: Rearrange a composition of 4 translations, analogous to an4 656. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrncom.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnco4	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem ltrnco4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrncom.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		ltrncom.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrncom 40727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐸 ∘ 𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐸))
4	3	coeq1d 5827	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐸 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐸) ∘ 𝐺))
5		coass 6240	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
6		coass 6240	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐸) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺))
7	4, 5, 6	3eqtr3g 2788	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))
8	7	coeq2d 5828	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺))))
9		coass 6240	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
10		coass 6240	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))
11	8, 9, 10	3eqtr4g 2790	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐸 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐷 ∘ 𝐸) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝐷 ∘ 𝐹) ∘ (𝐸 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∘ ccom 5644  ‘cfv 6513  HLchlt 39338  LHypclh 39973  LTrncltrn 40090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-riotaBAD 38941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-undef 8254  df-map 8803  df-proset 18261  df-poset 18280  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 39164  df-ol 39166  df-oml 39167  df-covers 39254  df-ats 39255  df-atl 39286  df-cvlat 39310  df-hlat 39339  df-llines 39487  df-lplanes 39488  df-lvols 39489  df-lines 39490  df-psubsp 39492  df-pmap 39493  df-padd 39785  df-lhyp 39977  df-laut 39978  df-ldil 40093  df-ltrn 40094  df-trl 40148

This theorem is referenced by:  tendoco2  40757