Theorem tendoco2 40887

Description: Distribution of compositions in preparation for endomorphism sum definition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoco2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = (((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∘ ((𝑈‘𝐺) ∘ (𝑉‘𝐺))))

Proof of Theorem tendoco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1r 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
4		simp3l 1202	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
5		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
6		tendof.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		tendof.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		tendof.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9	6, 7, 8	tendovalco 40884	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑈‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑈‘𝐺)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	syl32anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑈‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑈‘𝐺)))
11		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝑉 ∈ 𝐸)
12	6, 7, 8	tendovalco 40884	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑉‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑉‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐺)))
13	1, 2, 11, 4, 5, 12	syl32anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑉‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑉‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐺)))
14	10, 13	coeq12d 5808	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = (((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑈‘𝐺)) ∘ ((𝑉‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐺))))
15		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16	6, 7, 8	tendocl 40886	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇)
17	15, 3, 5, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇)
18	6, 7, 8	tendocl 40886	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
19	15, 11, 4, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
20	6, 7	ltrnco4 40858	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑈‘𝐺)) ∘ ((𝑉‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐺))) = (((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∘ ((𝑈‘𝐺) ∘ (𝑉‘𝐺))))
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑈‘𝐺)) ∘ ((𝑉‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐺))) = (((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∘ ((𝑈‘𝐺) ∘ (𝑉‘𝐺))))
22	14, 21	eqtrd 2768	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = (((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∘ ((𝑈‘𝐺) ∘ (𝑉‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6486  HLchlt 39469  LHypclh 40103  LTrncltrn 40220  TEndoctendo 40871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-riotaBAD 39072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-undef 8209  df-map 8758  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-p1 18332  df-lat 18340  df-clat 18407  df-oposet 39295  df-ol 39297  df-oml 39298  df-covers 39385  df-ats 39386  df-atl 39417  df-cvlat 39441  df-hlat 39470  df-llines 39617  df-lplanes 39618  df-lvols 39619  df-lines 39620  df-psubsp 39622  df-pmap 39623  df-padd 39915  df-lhyp 40107  df-laut 40108  df-ldil 40223  df-ltrn 40224  df-trl 40278  df-tendo 40874

This theorem is referenced by:  tendoplco2  40898