Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoco2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoco2 40281
Description: Distribution of compositions in preparation for endomorphism sum definition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendof.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendof.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoco2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∘ (π‘‰β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = (((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)) ∘ ((π‘ˆβ€˜πΊ) ∘ (π‘‰β€˜πΊ))))
Proof of Theorem tendoco2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3 simp2l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
4 simp3l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 simp3r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6 tendof.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 tendof.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendof.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
96, 7, 8tendovalco 40278 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘ˆβ€˜πΊ)))
101, 2, 3, 4, 5, 9syl32anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘ˆβ€˜πΊ)))
11 simp2r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
126, 7, 8tendovalco 40278 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((π‘‰β€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΊ)))
131, 2, 11, 4, 5, 12syl32anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((π‘‰β€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΊ)))
1410, 13coeq12d 5871 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∘ (π‘‰β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = (((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘ˆβ€˜πΊ)) ∘ ((π‘‰β€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΊ))))
15 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
166, 7, 8tendocl 40280 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΊ) ∈ 𝑇)
1715, 3, 5, 16syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΊ) ∈ 𝑇)
186, 7, 8tendocl 40280 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
1915, 11, 4, 18syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
206, 7ltrnco4 40252 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΊ) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘ˆβ€˜πΊ)) ∘ ((π‘‰β€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΊ))) = (((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)) ∘ ((π‘ˆβ€˜πΊ) ∘ (π‘‰β€˜πΊ))))
2115, 17, 19, 20syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘ˆβ€˜πΊ)) ∘ ((π‘‰β€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΊ))) = (((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)) ∘ ((π‘ˆβ€˜πΊ) ∘ (π‘‰β€˜πΊ))))
2214, 21eqtrd 2768 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∘ (π‘‰β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = (((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)) ∘ ((π‘ˆβ€˜πΊ) ∘ (π‘‰β€˜πΊ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  HLchlt 38862  LHypclh 39497  LTrncltrn 39614  TEndoctendo 40265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8287  df-map 8855  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tendo 40268
This theorem is referenced by:  tendoplco2  40292
  Copyright terms: Public domain W3C validator