Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoco2 40770
Description: Distribution of compositions in preparation for endomorphism sum definition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoco2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))

Proof of Theorem tendoco2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑊𝐻)
3 simp2l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑈𝐸)
4 simp3l 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐹𝑇)
5 simp3r 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
6 tendof.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 tendof.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 tendof.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
96, 7, 8tendovalco 40767 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑈𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))
101, 2, 3, 4, 5, 9syl32anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))
11 simp2r 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑉𝐸)
126, 7, 8tendovalco 40767 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉‘(𝐹𝐺)) = ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺)))
131, 2, 11, 4, 5, 12syl32anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉‘(𝐹𝐺)) = ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺)))
1410, 13coeq12d 5875 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))))
15 simp1 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
166, 7, 8tendocl 40769 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
1715, 3, 5, 16syl3anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
186, 7, 8tendocl 40769 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
1915, 11, 4, 18syl3anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
206, 7ltrnco4 40741 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
2115, 17, 19, 20syl3anc 1373 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
2214, 21eqtrd 2777 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  ccom 5689  cfv 6561  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  TEndoctendo 40754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757
This theorem is referenced by:  tendoplco2  40781
  Copyright terms: Public domain W3C validator