Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoco2 37784
Description: Distribution of compositions in preparation for endomorphism sum definition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoco2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))

Proof of Theorem tendoco2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑊𝐻)
3 simp2l 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑈𝐸)
4 simp3l 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐹𝑇)
5 simp3r 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
6 tendof.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 tendof.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 tendof.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
96, 7, 8tendovalco 37781 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑈𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))
101, 2, 3, 4, 5, 9syl32anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))
11 simp2r 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑉𝐸)
126, 7, 8tendovalco 37781 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉‘(𝐹𝐺)) = ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺)))
131, 2, 11, 4, 5, 12syl32anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉‘(𝐹𝐺)) = ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺)))
1410, 13coeq12d 5728 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))))
15 simp1 1128 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
166, 7, 8tendocl 37783 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
1715, 3, 5, 16syl3anc 1363 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
186, 7, 8tendocl 37783 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
1915, 11, 4, 18syl3anc 1363 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
206, 7ltrnco4 37755 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
2115, 17, 19, 20syl3anc 1363 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
2214, 21eqtrd 2853 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  ccom 5552  cfv 6348  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  TEndoctendo 37768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771
This theorem is referenced by:  tendoplco2  37795
  Copyright terms: Public domain W3C validator