Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoco2 38782
Description: Distribution of compositions in preparation for endomorphism sum definition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoco2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))

Proof of Theorem tendoco2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑊𝐻)
3 simp2l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑈𝐸)
4 simp3l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐹𝑇)
5 simp3r 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
6 tendof.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 tendof.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 tendof.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
96, 7, 8tendovalco 38779 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑈𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))
101, 2, 3, 4, 5, 9syl32anc 1377 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))
11 simp2r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑉𝐸)
126, 7, 8tendovalco 38779 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉‘(𝐹𝐺)) = ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺)))
131, 2, 11, 4, 5, 12syl32anc 1377 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉‘(𝐹𝐺)) = ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺)))
1410, 13coeq12d 5773 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))))
15 simp1 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
166, 7, 8tendocl 38781 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
1715, 3, 5, 16syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
186, 7, 8tendocl 38781 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
1915, 11, 4, 18syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
206, 7ltrnco4 38753 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
2115, 17, 19, 20syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
2214, 21eqtrd 2778 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  ccom 5593  cfv 6433  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  TEndoctendo 38766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769
This theorem is referenced by:  tendoplco2  38793
  Copyright terms: Public domain W3C validator