Theorem fzp1disj 13590

Description: (𝑀...(𝑁 + 1)) is the disjoint union of (𝑀...𝑁) with {(𝑁 + 1)}. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1disj	⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Proof of Theorem fzp1disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 13535	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
2		elfzel2 13529	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zred 12679	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4		ltp1 12033	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		peano2re 11358	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6		ltnle 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
7	5, 6	mpdan 697	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8	4, 7	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
9	3, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
10	1, 9	pm2.65i 195	. 2 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)
11		disjsn 4672	. 2 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
12	10, 11	mpbir 233	1 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  {csn 4584   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11218   ≤ cle 11219  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515

This theorem is referenced by:  fzdifsuc  13591  fseq1p1m1  13605  fzennn  13983  gsummptfzsplit  19974  telgsumfzslem  20030  imasdsf1olem  24435  wlkp1  29882  esumfzf  34368  subfacp1lem6  35540  mapfzcons  43302  mapfzcons1  43303  mapfzcons2  43305  sge0p1  46993