Theorem fzp1disj 13551

Description: (𝑀...(𝑁 + 1)) is the disjoint union of (𝑀...𝑁) with {(𝑁 + 1)}. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1disj	⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Proof of Theorem fzp1disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 13496	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
2		elfzel2 13490	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zred 12645	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4		ltp1 12029	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		peano2re 11354	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6		ltnle 11260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
7	5, 6	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8	4, 7	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
9	3, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
10	1, 9	pm2.65i 194	. 2 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)
11		disjsn 4678	. 2 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
12	10, 11	mpbir 231	1 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476

This theorem is referenced by:  fzdifsuc  13552  fseq1p1m1  13566  fzennn  13940  gsummptfzsplit  19869  telgsumfzslem  19925  imasdsf1olem  24268  wlkp1  29616  esumfzf  34066  subfacp1lem6  35179  mapfzcons  42711  mapfzcons1  42712  mapfzcons2  42714  sge0p1  46419