Theorem fzp1disj 13029

Description: (𝑀...(𝑁 + 1)) is the disjoint union of (𝑀...𝑁) with {(𝑁 + 1)}. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1disj	⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Proof of Theorem fzp1disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 12974	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
2		elfzel2 12968	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zred 12140	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4		ltp1 11532	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		peano2re 10865	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6		ltnle 10772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
7	5, 6	mpdan 686	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8	4, 7	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
9	3, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
10	1, 9	pm2.65i 197	. 2 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)
11		disjsn 4608	. 2 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
12	10, 11	mpbir 234	1 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3860  ∅c0 4228  {csn 4526   class class class wbr 5037  (class class class)co 7157  ℝcr 10588  1c1 10590   + caddc 10592   < clt 10727   ≤ cle 10728  ...cfz 12953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-id 5435  df-po 5448  df-so 5449  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-z 12035  df-uz 12297  df-fz 12954

This theorem is referenced by:  fzdifsuc  13030  fseq1p1m1  13044  fzennn  13399  gsummptfzsplit  19135  telgsumfzslem  19191  imasdsf1olem  23090  wlkp1  27585  esumfzf  31570  subfacp1lem6  32677  mapfzcons  40076  mapfzcons1  40077  mapfzcons2  40079  sge0p1  43465