Theorem fzp1disj 13513

Description: (𝑀...(𝑁 + 1)) is the disjoint union of (𝑀...𝑁) with {(𝑁 + 1)}. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1disj	⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Proof of Theorem fzp1disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 13458	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
2		elfzel2 13452	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zred 12610	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4		ltp1 11995	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		peano2re 11320	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6		ltnle 11226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
7	5, 6	mpdan 688	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8	4, 7	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
9	3, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
10	1, 9	pm2.65i 194	. 2 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)
11		disjsn 4670	. 2 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
12	10, 11	mpbir 231	1 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  1c1 11041   + caddc 11043   < clt 11180   ≤ cle 11181  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by:  fzdifsuc  13514  fseq1p1m1  13528  fzennn  13905  gsummptfzsplit  19878  telgsumfzslem  19934  imasdsf1olem  24334  wlkp1  29771  esumfzf  34253  subfacp1lem6  35407  mapfzcons  43102  mapfzcons1  43103  mapfzcons2  43105  sge0p1  46801