Theorem mblvol 24694

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 24692	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6775	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6793	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  vol*covol 24626  volcvol 24627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-iota 6391  df-fv 6441  df-vol 24629

This theorem is referenced by:  volss  24697  volun  24709  volinun  24710  volfiniun  24711  voliunlem3  24716  volsup  24720  iccvolcl  24731  ovolioo  24732  volioo  24733  ioovolcl  24734  uniioovol  24743  uniioombllem4  24750  volcn  24770  volivth  24771  vitalilem4  24775  i1fima2  24843  i1fd  24845  i1f0rn  24846  itg1val2  24848  itg1ge0  24850  itg11  24855  i1fadd  24859  i1fmul  24860  itg1addlem2  24861  itg1addlem4  24863  itg1addlem4OLD  24864  i1fres  24870  itg10a  24875  itg1ge0a  24876  itg1climres  24879  mbfi1fseqlem4  24883  itg2const2  24906  itg2gt0  24925  itg2cnlem2  24927  ftc1a  25201  ftc1lem4  25203  itgulm  25567  areaf  26111  cntnevol  32196  volmeas  32199  mblfinlem3  35816  mblfinlem4  35817  ismblfin  35818  voliunnfl  35821  volsupnfl  35822  itg2addnclem  35828  itg2addnclem2  35829  itg2gt0cn  35832  ftc1cnnclem  35848  ftc1anclem7  35856  areacirc  35870  arearect  41046  areaquad  41047  vol0  43500  volge0  43502  volsn  43508  volicc  43539  vonvol  44200