Theorem mblvol 25497

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 25495	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6841	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6859	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  vol*covol 25429  volcvol 25430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-iota 6454  df-fv 6506  df-vol 25432

This theorem is referenced by:  volss  25500  volun  25512  volinun  25513  volfiniun  25514  voliunlem3  25519  volsup  25523  iccvolcl  25534  ovolioo  25535  volioo  25536  ioovolcl  25537  uniioovol  25546  uniioombllem4  25553  volcn  25573  volivth  25574  vitalilem4  25578  i1fima2  25646  i1fd  25648  i1f0rn  25649  itg1val2  25651  itg1ge0  25653  itg11  25658  i1fadd  25662  i1fmul  25663  itg1addlem2  25664  itg1addlem4  25666  i1fres  25672  itg10a  25677  itg1ge0a  25678  itg1climres  25681  mbfi1fseqlem4  25685  itg2const2  25708  itg2gt0  25727  itg2cnlem2  25729  ftc1a  26004  ftc1lem4  26006  itgulm  26373  areaf  26925  cntnevol  34372  volmeas  34375  mblfinlem3  37980  mblfinlem4  37981  ismblfin  37982  voliunnfl  37985  volsupnfl  37986  itg2addnclem  37992  itg2addnclem2  37993  itg2gt0cn  37996  ftc1cnnclem  38012  ftc1anclem7  38020  areacirc  38034  arearect  43643  areaquad  43644  vol0  46387  volge0  46389  volsn  46395  volicc  46426  vonvol  47090