Theorem mblvol 25279

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 25277	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6891	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  dom cdm 5675   ↾ cres 5677  ‘cfv 6542  vol*covol 25211  volcvol 25212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-iota 6494  df-fv 6550  df-vol 25214

This theorem is referenced by:  volss  25282  volun  25294  volinun  25295  volfiniun  25296  voliunlem3  25301  volsup  25305  iccvolcl  25316  ovolioo  25317  volioo  25318  ioovolcl  25319  uniioovol  25328  uniioombllem4  25335  volcn  25355  volivth  25356  vitalilem4  25360  i1fima2  25428  i1fd  25430  i1f0rn  25431  itg1val2  25433  itg1ge0  25435  itg11  25440  i1fadd  25444  i1fmul  25445  itg1addlem2  25446  itg1addlem4  25448  itg1addlem4OLD  25449  i1fres  25455  itg10a  25460  itg1ge0a  25461  itg1climres  25464  mbfi1fseqlem4  25468  itg2const2  25491  itg2gt0  25510  itg2cnlem2  25512  ftc1a  25789  ftc1lem4  25791  itgulm  26156  areaf  26702  cntnevol  33524  volmeas  33527  mblfinlem3  36830  mblfinlem4  36831  ismblfin  36832  voliunnfl  36835  volsupnfl  36836  itg2addnclem  36842  itg2addnclem2  36843  itg2gt0cn  36846  ftc1cnnclem  36862  ftc1anclem7  36870  areacirc  36884  arearect  42266  areaquad  42267  vol0  44973  volge0  44975  volsn  44981  volicc  45012  vonvol  45676