Theorem mblvol 25431

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 25429	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6859	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6877	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  vol*covol 25363  volcvol 25364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-iota 6464  df-fv 6519  df-vol 25366

This theorem is referenced by:  volss  25434  volun  25446  volinun  25447  volfiniun  25448  voliunlem3  25453  volsup  25457  iccvolcl  25468  ovolioo  25469  volioo  25470  ioovolcl  25471  uniioovol  25480  uniioombllem4  25487  volcn  25507  volivth  25508  vitalilem4  25512  i1fima2  25580  i1fd  25582  i1f0rn  25583  itg1val2  25585  itg1ge0  25587  itg11  25592  i1fadd  25596  i1fmul  25597  itg1addlem2  25598  itg1addlem4  25600  i1fres  25606  itg10a  25611  itg1ge0a  25612  itg1climres  25615  mbfi1fseqlem4  25619  itg2const2  25642  itg2gt0  25661  itg2cnlem2  25663  ftc1a  25944  ftc1lem4  25946  itgulm  26317  areaf  26871  cntnevol  34218  volmeas  34221  mblfinlem3  37653  mblfinlem4  37654  ismblfin  37655  voliunnfl  37658  volsupnfl  37659  itg2addnclem  37665  itg2addnclem2  37666  itg2gt0cn  37669  ftc1cnnclem  37685  ftc1anclem7  37693  areacirc  37707  arearect  43204  areaquad  43205  vol0  45957  volge0  45959  volsn  45965  volicc  45996  vonvol  46660