Theorem mblvol 25742

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 25740	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6886	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6904	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2812	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  dom cdm 5663   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  vol*covol 25674  volcvol 25675

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-iota 6496  df-fv 6548  df-vol 25677

This theorem is used by:  volss  25745  volun  25757  volinun  25758  volfiniun  25759  voliunlem3  25764  volsup  25768  iccvolcl  25779  ovolioo  25780  volioo  25781  ioovolcl  25782  uniioovol  25791  uniioombllem4  25798  volcn  25818  volivth  25819  vitalilem4  25823  i1fima2  25891  i1fd  25893  i1f0rn  25894  itg1val2  25896  itg1ge0  25898  itg11  25903  i1fadd  25907  i1fmul  25908  itg1addlem2  25909  itg1addlem4  25911  i1fres  25917  itg10a  25922  itg1ge0a  25923  itg1climres  25926  mbfi1fseqlem4  25930  itg2const2  25953  itg2gt0  25972  itg2cnlem2  25974  ftc1a  26249  ftc1lem4  26251  itgulm  26624  areaf  27179  cntnevol  34685  volmeas  34688  mblfinlem3  38369  mblfinlem4  38370  ismblfin  38371  voliunnfl  38374  volsupnfl  38375  itg2addnclem  38381  itg2addnclem2  38382  itg2gt0cn  38385  ftc1cnnclem  38401  ftc1anclem7  38409  areacirc  38423  arearect  44002  areaquad  44003  vol0  46733  volge0  46735  volsn  46741  volicc  46772  vonvol  47436