Theorem mblvol 25458

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 25456	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6823	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6841	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  dom cdm 5614   ↾ cres 5616  ‘cfv 6481  vol*covol 25390  volcvol 25391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-iota 6437  df-fv 6489  df-vol 25393

This theorem is referenced by:  volss  25461  volun  25473  volinun  25474  volfiniun  25475  voliunlem3  25480  volsup  25484  iccvolcl  25495  ovolioo  25496  volioo  25497  ioovolcl  25498  uniioovol  25507  uniioombllem4  25514  volcn  25534  volivth  25535  vitalilem4  25539  i1fima2  25607  i1fd  25609  i1f0rn  25610  itg1val2  25612  itg1ge0  25614  itg11  25619  i1fadd  25623  i1fmul  25624  itg1addlem2  25625  itg1addlem4  25627  i1fres  25633  itg10a  25638  itg1ge0a  25639  itg1climres  25642  mbfi1fseqlem4  25646  itg2const2  25669  itg2gt0  25688  itg2cnlem2  25690  ftc1a  25971  ftc1lem4  25973  itgulm  26344  areaf  26898  cntnevol  34241  volmeas  34244  mblfinlem3  37709  mblfinlem4  37710  ismblfin  37711  voliunnfl  37714  volsupnfl  37715  itg2addnclem  37721  itg2addnclem2  37722  itg2gt0cn  37725  ftc1cnnclem  37741  ftc1anclem7  37749  areacirc  37763  arearect  43318  areaquad  43319  vol0  46067  volge0  46069  volsn  46075  volicc  46106  vonvol  46770