Theorem mblvol 25658

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 25656	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6883	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6901	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2816	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  dom cdm 5662   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  vol*covol 25590  volcvol 25591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-iota 6493  df-fv 6545  df-vol 25593

This theorem is referenced by:  volss  25661  volun  25673  volinun  25674  volfiniun  25675  voliunlem3  25680  volsup  25684  iccvolcl  25695  ovolioo  25696  volioo  25697  ioovolcl  25698  uniioovol  25707  uniioombllem4  25714  volcn  25734  volivth  25735  vitalilem4  25739  i1fima2  25807  i1fd  25809  i1f0rn  25810  itg1val2  25812  itg1ge0  25814  itg11  25819  i1fadd  25823  i1fmul  25824  itg1addlem2  25825  itg1addlem4  25827  i1fres  25833  itg10a  25838  itg1ge0a  25839  itg1climres  25842  mbfi1fseqlem4  25846  itg2const2  25869  itg2gt0  25888  itg2cnlem2  25890  ftc1a  26165  ftc1lem4  26167  itgulm  26537  areaf  27092  cntnevol  34563  volmeas  34566  mblfinlem3  38198  mblfinlem4  38199  ismblfin  38200  voliunnfl  38203  volsupnfl  38204  itg2addnclem  38210  itg2addnclem2  38211  itg2gt0cn  38214  ftc1cnnclem  38230  ftc1anclem7  38238  areacirc  38252  arearect  43834  areaquad  43835  vol0  46565  volge0  46567  volsn  46573  volicc  46604  vonvol  47268