Theorem mblvol 25584

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 25582	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6921	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  vol*covol 25516  volcvol 25517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-iota 6525  df-fv 6581  df-vol 25519

This theorem is referenced by:  volss  25587  volun  25599  volinun  25600  volfiniun  25601  voliunlem3  25606  volsup  25610  iccvolcl  25621  ovolioo  25622  volioo  25623  ioovolcl  25624  uniioovol  25633  uniioombllem4  25640  volcn  25660  volivth  25661  vitalilem4  25665  i1fima2  25733  i1fd  25735  i1f0rn  25736  itg1val2  25738  itg1ge0  25740  itg11  25745  i1fadd  25749  i1fmul  25750  itg1addlem2  25751  itg1addlem4  25753  itg1addlem4OLD  25754  i1fres  25760  itg10a  25765  itg1ge0a  25766  itg1climres  25769  mbfi1fseqlem4  25773  itg2const2  25796  itg2gt0  25815  itg2cnlem2  25817  ftc1a  26098  ftc1lem4  26100  itgulm  26469  areaf  27022  cntnevol  34192  volmeas  34195  mblfinlem3  37619  mblfinlem4  37620  ismblfin  37621  voliunnfl  37624  volsupnfl  37625  itg2addnclem  37631  itg2addnclem2  37632  itg2gt0cn  37635  ftc1cnnclem  37651  ftc1anclem7  37659  areacirc  37673  arearect  43176  areaquad  43177  vol0  45880  volge0  45882  volsn  45888  volicc  45919  vonvol  46583