Theorem mblvol 25515

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 25513	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6828	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6846	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  dom cdm 5618   ↾ cres 5620  ‘cfv 6485  vol*covol 25447  volcvol 25448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-iota 6441  df-fv 6493  df-vol 25450

This theorem is referenced by:  volss  25518  volun  25530  volinun  25531  volfiniun  25532  voliunlem3  25537  volsup  25541  iccvolcl  25552  ovolioo  25553  volioo  25554  ioovolcl  25555  uniioovol  25564  uniioombllem4  25571  volcn  25591  volivth  25592  vitalilem4  25596  i1fima2  25664  i1fd  25666  i1f0rn  25667  itg1val2  25669  itg1ge0  25671  itg11  25676  i1fadd  25680  i1fmul  25681  itg1addlem2  25682  itg1addlem4  25684  i1fres  25690  itg10a  25695  itg1ge0a  25696  itg1climres  25699  mbfi1fseqlem4  25703  itg2const2  25726  itg2gt0  25745  itg2cnlem2  25747  ftc1a  26022  ftc1lem4  26024  itgulm  26391  areaf  26943  cntnevol  34412  volmeas  34415  mblfinlem3  38026  mblfinlem4  38027  ismblfin  38028  voliunnfl  38031  volsupnfl  38032  itg2addnclem  38038  itg2addnclem2  38039  itg2gt0cn  38042  ftc1cnnclem  38058  ftc1anclem7  38066  areacirc  38080  arearect  43660  areaquad  43661  vol0  46402  volge0  46404  volsn  46410  volicc  46441  vonvol  47105