Theorem mblvol 25047

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 25045	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6893	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6911	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2785	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  dom cdm 5677   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  vol*covol 24979  volcvol 24980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-iota 6496  df-fv 6552  df-vol 24982

This theorem is referenced by:  volss  25050  volun  25062  volinun  25063  volfiniun  25064  voliunlem3  25069  volsup  25073  iccvolcl  25084  ovolioo  25085  volioo  25086  ioovolcl  25087  uniioovol  25096  uniioombllem4  25103  volcn  25123  volivth  25124  vitalilem4  25128  i1fima2  25196  i1fd  25198  i1f0rn  25199  itg1val2  25201  itg1ge0  25203  itg11  25208  i1fadd  25212  i1fmul  25213  itg1addlem2  25214  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  i1fres  25223  itg10a  25228  itg1ge0a  25229  itg1climres  25232  mbfi1fseqlem4  25236  itg2const2  25259  itg2gt0  25278  itg2cnlem2  25280  ftc1a  25554  ftc1lem4  25556  itgulm  25920  areaf  26466  cntnevol  33226  volmeas  33229  mblfinlem3  36527  mblfinlem4  36528  ismblfin  36529  voliunnfl  36532  volsupnfl  36533  itg2addnclem  36539  itg2addnclem2  36540  itg2gt0cn  36543  ftc1cnnclem  36559  ftc1anclem7  36567  areacirc  36581  arearect  41964  areaquad  41965  vol0  44675  volge0  44677  volsn  44683  volicc  44714  vonvol  45378