Theorem mblvol 24134

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 24132	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6646	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6664	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	syl5eq 2845	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  vol*covol 24066  volcvol 24067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-iota 6283  df-fv 6332  df-vol 24069

This theorem is referenced by:  volss  24137  volun  24149  volinun  24150  volfiniun  24151  voliunlem3  24156  volsup  24160  iccvolcl  24171  ovolioo  24172  volioo  24173  ioovolcl  24174  uniioovol  24183  uniioombllem4  24190  volcn  24210  volivth  24211  vitalilem4  24215  i1fima2  24283  i1fd  24285  i1f0rn  24286  itg1val2  24288  itg1ge0  24290  itg11  24295  i1fadd  24299  i1fmul  24300  itg1addlem2  24301  itg1addlem4  24303  i1fres  24309  itg10a  24314  itg1ge0a  24315  itg1climres  24318  mbfi1fseqlem4  24322  itg2const2  24345  itg2gt0  24364  itg2cnlem2  24366  ftc1a  24640  ftc1lem4  24642  itgulm  25003  areaf  25547  cntnevol  31597  volmeas  31600  mblfinlem3  35096  mblfinlem4  35097  ismblfin  35098  voliunnfl  35101  volsupnfl  35102  itg2addnclem  35108  itg2addnclem2  35109  itg2gt0cn  35112  ftc1cnnclem  35128  ftc1anclem7  35136  areacirc  35150  arearect  40165  areaquad  40166  vol0  42601  volge0  42603  volsn  42609  volicc  42640  vonvol  43301