Theorem mblvol 25438

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 25436	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6862	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  vol*covol 25370  volcvol 25371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-iota 6467  df-fv 6522  df-vol 25373

This theorem is referenced by:  volss  25441  volun  25453  volinun  25454  volfiniun  25455  voliunlem3  25460  volsup  25464  iccvolcl  25475  ovolioo  25476  volioo  25477  ioovolcl  25478  uniioovol  25487  uniioombllem4  25494  volcn  25514  volivth  25515  vitalilem4  25519  i1fima2  25587  i1fd  25589  i1f0rn  25590  itg1val2  25592  itg1ge0  25594  itg11  25599  i1fadd  25603  i1fmul  25604  itg1addlem2  25605  itg1addlem4  25607  i1fres  25613  itg10a  25618  itg1ge0a  25619  itg1climres  25622  mbfi1fseqlem4  25626  itg2const2  25649  itg2gt0  25668  itg2cnlem2  25670  ftc1a  25951  ftc1lem4  25953  itgulm  26324  areaf  26878  cntnevol  34225  volmeas  34228  mblfinlem3  37660  mblfinlem4  37661  ismblfin  37662  voliunnfl  37665  volsupnfl  37666  itg2addnclem  37672  itg2addnclem2  37673  itg2gt0cn  37676  ftc1cnnclem  37692  ftc1anclem7  37700  areacirc  37714  arearect  43211  areaquad  43212  vol0  45964  volge0  45966  volsn  45972  volicc  46003  vonvol  46667