MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volss 24697
Description: The Lebesgue measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volss ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐴) ≤ (vol‘𝐵))

Proof of Theorem volss
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 mblss 24695 . . . 4 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
323ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
4 ovolss 24649 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
51, 3, 4syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
6 mblvol 24694 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
763ad2ant1 1132 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
8 mblvol 24694 . . 3 (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
983ad2ant2 1133 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
105, 7, 93brtr4d 5106 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐴) ≤ (vol‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3887   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  cfv 6433  cr 10870  cle 11010  vol*covol 24626  volcvol 24627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-ovol 24628  df-vol 24629
This theorem is referenced by:  voliune  32197  volfiniune  32198  fourierdlem87  43734  voliunsge0lem  44010  hsphoidmvle2  44123  hsphoidmvle  44124  hoidmv1lelem1  44129  hoidmv1lelem2  44130  hoidmv1lelem3  44131  hoidifhspdmvle  44158
  Copyright terms: Public domain W3C validator