MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volss 25582
Description: The Lebesgue measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volss ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐴) ≤ (vol‘𝐵))

Proof of Theorem volss
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 mblss 25580 . . . 4 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
323ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
4 ovolss 25534 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
51, 3, 4syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
6 mblvol 25579 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
763ad2ant1 1132 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
8 mblvol 25579 . . 3 (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
983ad2ant2 1133 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
105, 7, 93brtr4d 5180 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐴) ≤ (vol‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  cr 11152  cle 11294  vol*covol 25511  volcvol 25512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-ovol 25513  df-vol 25514
This theorem is referenced by:  voliune  34210  volfiniune  34211  fourierdlem87  46149  voliunsge0lem  46428  hsphoidmvle2  46541  hsphoidmvle  46542  hoidmv1lelem1  46547  hoidmv1lelem2  46548  hoidmv1lelem3  46549  hoidifhspdmvle  46576
  Copyright terms: Public domain W3C validator