Theorem volss 25042

Description: The Lebesgue measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
volss	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (vol‘𝐴) ≤ (vol‘𝐵))

Proof of Theorem volss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		mblss 25040	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
3	2	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
4		ovolss 24994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
6		mblvol 25039	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
7	6	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
8		mblvol 25039	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
9	8	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
10	5, 7, 9	3brtr4d 5180	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (vol‘𝐴) ≤ (vol‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ‘cfv 6541  ℝcr 11106   ≤ cle 11246  vol*covol 24971  volcvol 24972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-ovol 24973  df-vol 24974

This theorem is referenced by:  voliune  33216  volfiniune  33217  fourierdlem87  44896  voliunsge0lem  45175  hsphoidmvle2  45288  hsphoidmvle  45289  hoidmv1lelem1  45294  hoidmv1lelem2  45295  hoidmv1lelem3  45296  hoidifhspdmvle  45323