Theorem cntnevol 34780

Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cntnevol	⊢ (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11226	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3		snelpwi 5412	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4		fvres 6893	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
6		1re 11265	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		hashsng 14466	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (♯‘{1}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{1}) = 1
9	5, 8	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10		snssi 4746	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11		ovolsn 25763	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12		nulmbl 25803	. . . . . . 7 ⊢ (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14		mblvol 25798	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
15	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘{1}) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
17	6, 13, 16	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (vol‘{1}) = 0
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
19	2, 9, 18	3netr4d 3032	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20		fveq1 6873	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
21	20	necon3i 2987	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
22	19, 21	syl 18	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
23	6, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ∈ dom vol
24	23	biantrur 540	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)))
25		snex 5397	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ∈ V
26	25	elpw 4561	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27		dmhashres 14438	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
28	27	eleq2i 2852	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29		1ex 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
30	29	snss 4745	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
31	26, 28, 30	3bitr4i 306	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
32	31	notbii 323	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
33	24, 32	bitr3i 280	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34		nelne1 3052	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
35	33, 34	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
36	35	necomd 3010	. . 3 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37		dmeq 5882	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
38	37	necon3i 2987	. . 3 ⊢ (dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
39	36, 38	syl 18	. 2 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
40	22, 39	pm2.61i 184	1 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  dom cdm 5648   ↾ cres 5650  ‘cfv 6528  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158  ♯chash 14427  vol*covol 25730  volcvol 25731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xadd 13197  df-ioo 13435  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-sum 15807  df-xmet 21618  df-met 21619  df-ovol 25732  df-vol 25733

This theorem is used by: (None)