Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntnevol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntnevol 33847
Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
cntnevol (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 11208 . . . . 5 1 ≠ 0
21a1i 11 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3 snelpwi 5445 . . . . . 6 (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4 fvres 6916 . . . . . 6 ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
53, 4syl 17 . . . . 5 (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
6 1re 11245 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
7 hashsng 14361 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (♯‘{1}) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘{1}) = 1
95, 8eqtrdi 2784 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10 snssi 4812 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11 ovolsn 25437 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12 nulmbl 25477 . . . . . . 7 (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
1310, 11, 12syl2anc 583 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14 mblvol 25472 . . . . . . 7 ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
156, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (vol*‘{1}) = 0
1614, 15eqtrdi 2784 . . . . . 6 ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
176, 13, 16mp2b 10 . . . . 5 (vol‘{1}) = 0
1817a1i 11 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
192, 9, 183netr4d 3015 . . 3 (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20 fveq1 6896 . . . 4 ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
2120necon3i 2970 . . 3 (((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
2219, 21syl 17 . 2 (1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
236, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 {1} ∈ dom vol
2423biantrur 530 . . . . . 6 (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)))
25 snex 5433 . . . . . . . . 9 {1} ∈ V
2625elpw 4607 . . . . . . . 8 ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27 dmhashres 14333 . . . . . . . . 9 dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
2827eleq2i 2821 . . . . . . . 8 ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29 1ex 11241 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3029snss 4790 . . . . . . . 8 (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
3126, 28, 303bitr4i 303 . . . . . . 7 ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
3231notbii 320 . . . . . 6 (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
3324, 32bitr3i 277 . . . . 5 (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34 nelne1 3036 . . . . 5 (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
3533, 34sylbir 234 . . . 4 (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
3635necomd 2993 . . 3 (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37 dmeq 5906 . . . 4 ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
3837necon3i 2970 . . 3 (dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
3936, 38syl 17 . 2 (¬ 1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
4022, 39pm2.61i 182 1 (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wss 3947  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  dom cdm 5678  cres 5680  cfv 6548  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140  chash 14322  vol*covol 25404  volcvol 25405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25406  df-vol 25407
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator