Theorem cntnevol 33226

Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cntnevol	⊢ (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11179	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3		snelpwi 5444	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4		fvres 6911	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
6		1re 11214	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		hashsng 14329	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (♯‘{1}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{1}) = 1
9	5, 8	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10		snssi 4812	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11		ovolsn 25012	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12		nulmbl 25052	. . . . . . 7 ⊢ (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14		mblvol 25047	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
15	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘{1}) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2789	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
17	6, 13, 16	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (vol‘{1}) = 0
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
19	2, 9, 18	3netr4d 3019	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20		fveq1 6891	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
21	20	necon3i 2974	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
22	19, 21	syl 17	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
23	6, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ∈ dom vol
24	23	biantrur 532	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)))
25		snex 5432	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ∈ V
26	25	elpw 4607	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27		dmhashres 14301	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
28	27	eleq2i 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29		1ex 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
30	29	snss 4790	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
31	26, 28, 30	3bitr4i 303	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
32	31	notbii 320	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
33	24, 32	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34		nelne1 3040	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
35	33, 34	sylbir 234	. . . 4 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
36	35	necomd 2997	. . 3 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37		dmeq 5904	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
38	37	necon3i 2974	. . 3 ⊢ (dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
40	22, 39	pm2.61i 182	1 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  dom cdm 5677   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ♯chash 14290  vol*covol 24979  volcvol 24980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982

This theorem is referenced by: (None)