Theorem cntnevol 34527

Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cntnevol	⊢ (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11144	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3		snelpwi 5413	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4		fvres 6888	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
6		1re 11183	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		hashsng 14384	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (♯‘{1}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{1}) = 1
9	5, 8	eqtrdi 2815	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10		snssi 4746	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11		ovolsn 25559	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12		nulmbl 25599	. . . . . . 7 ⊢ (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
13	10, 11, 12	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14		mblvol 25594	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
15	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘{1}) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2815	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
17	6, 13, 16	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (vol‘{1}) = 0
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
19	2, 9, 18	3netr4d 3036	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20		fveq1 6868	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
21	20	necon3i 2991	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
22	19, 21	syl 17	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
23	6, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ∈ dom vol
24	23	biantrur 538	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)))
25		snex 5398	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ∈ V
26	25	elpw 4561	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27		dmhashres 14356	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
28	27	eleq2i 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29		1ex 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
30	29	snss 4745	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
31	26, 28, 30	3bitr4i 305	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
32	31	notbii 322	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
33	24, 32	bitr3i 279	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34		nelne1 3056	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
35	33, 34	sylbir 237	. . . 4 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
36	35	necomd 3014	. . 3 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37		dmeq 5881	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
38	37	necon3i 2991	. . 3 ⊢ (dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
40	22, 39	pm2.61i 183	1 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  dom cdm 5649   ↾ cres 5651  ‘cfv 6523  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ♯chash 14345  vol*covol 25526  volcvol 25527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xadd 13117  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-sum 15716  df-xmet 21419  df-met 21420  df-ovol 25528  df-vol 25529

This theorem is referenced by: (None)