Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntnevol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntnevol 30673
Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
cntnevol (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 10258 . . . . 5 1 ≠ 0
21a1i 11 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3 snelpwi 5068 . . . . . 6 (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4 fvres 6394 . . . . . 6 ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
53, 4syl 17 . . . . 5 (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
6 1re 10293 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
7 hashsng 13361 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (♯‘{1}) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘{1}) = 1
95, 8syl6eq 2815 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10 snssi 4493 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11 ovolsn 23553 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12 nulmbl 23593 . . . . . . 7 (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
1310, 11, 12syl2anc 579 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14 mblvol 23588 . . . . . . 7 ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
156, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (vol*‘{1}) = 0
1614, 15syl6eq 2815 . . . . . 6 ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
176, 13, 16mp2b 10 . . . . 5 (vol‘{1}) = 0
1817a1i 11 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
192, 9, 183netr4d 3014 . . 3 (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20 fveq1 6374 . . . 4 ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
2120necon3i 2969 . . 3 (((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
2219, 21syl 17 . 2 (1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
236, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 {1} ∈ dom vol
2423biantrur 526 . . . . . 6 (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)))
25 snex 5064 . . . . . . . . 9 {1} ∈ V
2625elpw 4321 . . . . . . . 8 ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27 dmhashres 13333 . . . . . . . . 9 dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
2827eleq2i 2836 . . . . . . . 8 ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29 1ex 10289 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3029snss 4470 . . . . . . . 8 (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
3126, 28, 303bitr4i 294 . . . . . . 7 ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
3231notbii 311 . . . . . 6 (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
3324, 32bitr3i 268 . . . . 5 (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34 nelne1 3033 . . . . 5 (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
3533, 34sylbir 226 . . . 4 (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
3635necomd 2992 . . 3 (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37 dmeq 5492 . . . 4 ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
3837necon3i 2969 . . 3 (dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
3936, 38syl 17 . 2 (¬ 1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
4022, 39pm2.61i 176 1 (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wss 3732  𝒫 cpw 4315  {csn 4334  dom cdm 5277  cres 5279  cfv 6068  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  chash 13321  vol*covol 23520  volcvol 23521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xadd 12147  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-xmet 20012  df-met 20013  df-ovol 23522  df-vol 23523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator