Theorem cntnevol 33164

Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cntnevol	⊢ (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11175	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3		snelpwi 5442	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4		fvres 6907	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
6		1re 11210	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		hashsng 14325	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (♯‘{1}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{1}) = 1
9	5, 8	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10		snssi 4810	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11		ovolsn 24994	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12		nulmbl 25034	. . . . . . 7 ⊢ (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14		mblvol 25029	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
15	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘{1}) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2789	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
17	6, 13, 16	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (vol‘{1}) = 0
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
19	2, 9, 18	3netr4d 3019	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20		fveq1 6887	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
21	20	necon3i 2974	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
22	19, 21	syl 17	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
23	6, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ∈ dom vol
24	23	biantrur 532	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)))
25		snex 5430	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ∈ V
26	25	elpw 4605	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27		dmhashres 14297	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
28	27	eleq2i 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29		1ex 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
30	29	snss 4788	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
31	26, 28, 30	3bitr4i 303	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
32	31	notbii 320	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
33	24, 32	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34		nelne1 3040	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
35	33, 34	sylbir 234	. . . 4 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
36	35	necomd 2997	. . 3 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37		dmeq 5901	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
38	37	necon3i 2974	. . 3 ⊢ (dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
40	22, 39	pm2.61i 182	1 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  dom cdm 5675   ↾ cres 5677  ‘cfv 6540  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ♯chash 14286  vol*covol 24961  volcvol 24962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20922  df-met 20923  df-ovol 24963  df-vol 24964

This theorem is referenced by: (None)