Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntnevol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntnevol 33164
Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
cntnevol (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 11175 . . . . 5 1 ≠ 0
21a1i 11 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3 snelpwi 5442 . . . . . 6 (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4 fvres 6907 . . . . . 6 ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
53, 4syl 17 . . . . 5 (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
6 1re 11210 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
7 hashsng 14325 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (♯‘{1}) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘{1}) = 1
95, 8eqtrdi 2789 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10 snssi 4810 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11 ovolsn 24994 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12 nulmbl 25034 . . . . . . 7 (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
1310, 11, 12syl2anc 585 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14 mblvol 25029 . . . . . . 7 ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
156, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (vol*‘{1}) = 0
1614, 15eqtrdi 2789 . . . . . 6 ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
176, 13, 16mp2b 10 . . . . 5 (vol‘{1}) = 0
1817a1i 11 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
192, 9, 183netr4d 3019 . . 3 (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20 fveq1 6887 . . . 4 ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
2120necon3i 2974 . . 3 (((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
2219, 21syl 17 . 2 (1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
236, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 {1} ∈ dom vol
2423biantrur 532 . . . . . 6 (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)))
25 snex 5430 . . . . . . . . 9 {1} ∈ V
2625elpw 4605 . . . . . . . 8 ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27 dmhashres 14297 . . . . . . . . 9 dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
2827eleq2i 2826 . . . . . . . 8 ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29 1ex 11206 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3029snss 4788 . . . . . . . 8 (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
3126, 28, 303bitr4i 303 . . . . . . 7 ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
3231notbii 320 . . . . . 6 (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
3324, 32bitr3i 277 . . . . 5 (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34 nelne1 3040 . . . . 5 (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
3533, 34sylbir 234 . . . 4 (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
3635necomd 2997 . . 3 (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37 dmeq 5901 . . . 4 ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
3837necon3i 2974 . . 3 (dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
3936, 38syl 17 . 2 (¬ 1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
4022, 39pm2.61i 182 1 (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wss 3947  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  dom cdm 5675  cres 5677  cfv 6540  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  chash 14286  vol*covol 24961  volcvol 24962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20922  df-met 20923  df-ovol 24963  df-vol 24964
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator