Theorem cntnevol 34218

Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cntnevol	⊢ (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11137	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3		snelpwi 5403	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4		fvres 6877	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (♯‘{1}))
6		1re 11174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		hashsng 14334	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (♯‘{1}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{1}) = 1
9	5, 8	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10		snssi 4772	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11		ovolsn 25396	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12		nulmbl 25436	. . . . . . 7 ⊢ (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14		mblvol 25431	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
15	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘{1}) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
17	6, 13, 16	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (vol‘{1}) = 0
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
19	2, 9, 18	3netr4d 3002	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20		fveq1 6857	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
21	20	necon3i 2957	. . 3 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
22	19, 21	syl 17	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
23	6, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ∈ dom vol
24	23	biantrur 530	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)))
25		snex 5391	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ∈ V
26	25	elpw 4567	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27		dmhashres 14306	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
28	27	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29		1ex 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
30	29	snss 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
31	26, 28, 30	3bitr4i 303	. . . . . . 7 ⊢ ({1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
32	31	notbii 320	. . . . . 6 ⊢ (¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
33	24, 32	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34		nelne1 3022	. . . . 5 ⊢ (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
35	33, 34	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂))
36	35	necomd 2980	. . 3 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37		dmeq 5867	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
38	37	necon3i 2957	. . 3 ⊢ (dom (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (¬ 1 ∈ 𝑂 → (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
40	22, 39	pm2.61i 182	1 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069  ♯chash 14295  vol*covol 25363  volcvol 25364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-xmet 21257  df-met 21258  df-ovol 25365  df-vol 25366

This theorem is referenced by: (None)