MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1addlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1addlem2 25061
Description: Lemma for itg1add 25066. The function 𝐼 represents the pieces into which we will break up the domain of the sum. Since it is infinite only when both 𝑖 and 𝑗 are zero, we arbitrarily define it to be zero there to simplify the sums that are manipulated in itg1addlem4 25063 and itg1addlem5 25065. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1add.3 𝐼 = (𝑖 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ ℝ ↦ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))))
Assertion
Ref Expression
itg1addlem2 (𝜑𝐼:(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐹   𝑖,𝐺,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem itg1addlem2
StepHypRef Expression
1 iffalse 4495 . . . . . . . 8 (¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) → if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))) = (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))))
21adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ ¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) → if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))) = (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))))
3 i1fadd.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1fima 25042 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {𝑖}) ∈ dom vol)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑖}) ∈ dom vol)
6 i1fadd.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
7 i1fima 25042 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 “ {𝑗}) ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 “ {𝑗}) ∈ dom vol)
9 inmbl 24906 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ {𝑖}) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ {𝑗}) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})) ∈ dom vol)
105, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})) ∈ dom vol)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ ¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) → ((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})) ∈ dom vol)
12 mblvol 24894 . . . . . . . 8 (((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})) ∈ dom vol → (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))) = (vol*‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ ¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) → (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))) = (vol*‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))))
142, 13eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ ¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) → if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))) = (vol*‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))))
15 neorian 3039 . . . . . . 7 ((𝑖 ≠ 0 ∨ 𝑗 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0))
16 inss1 4188 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})) ⊆ (𝐹 “ {𝑖})
175ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 ≠ 0) → (𝐹 “ {𝑖}) ∈ dom vol)
18 mblss 24895 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ {𝑖}) ∈ dom vol → (𝐹 “ {𝑖}) ⊆ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 ≠ 0) → (𝐹 “ {𝑖}) ⊆ ℝ)
20 mblvol 24894 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 “ {𝑖}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑖})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑖})))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 ≠ 0) → (vol‘(𝐹 “ {𝑖})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑖})))
223ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 ≠ 0) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
23 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 ≠ 0) → 𝑖 ∈ ℝ)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 ≠ 0) → 𝑖 ≠ 0)
25 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ≠ 0))
2623, 24, 25sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 ≠ 0) → 𝑖 ∈ (ℝ ∖ {0}))
27 i1fima2sn 25044 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑖 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑖})) ∈ ℝ)
2822, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 ≠ 0) → (vol‘(𝐹 “ {𝑖})) ∈ ℝ)
2921, 28eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 ≠ 0) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑖})) ∈ ℝ)
30 ovolsscl 24850 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})) ⊆ (𝐹 “ {𝑖}) ∧ (𝐹 “ {𝑖}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐹 “ {𝑖})) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))) ∈ ℝ)
3116, 19, 29, 30mp3an2i 1466 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 ≠ 0) → (vol*‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))) ∈ ℝ)
32 inss2 4189 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})) ⊆ (𝐺 “ {𝑗})
336adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
3433, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝐺 “ {𝑗}) ∈ dom vol)
3534adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 ≠ 0) → (𝐺 “ {𝑗}) ∈ dom vol)
36 mblss 24895 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 “ {𝑗}) ∈ dom vol → (𝐺 “ {𝑗}) ⊆ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 ≠ 0) → (𝐺 “ {𝑗}) ⊆ ℝ)
38 mblvol 24894 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 “ {𝑗}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐺 “ {𝑗})) = (vol*‘(𝐺 “ {𝑗})))
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 ≠ 0) → (vol‘(𝐺 “ {𝑗})) = (vol*‘(𝐺 “ {𝑗})))
406ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 ≠ 0) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
41 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 ≠ 0) → 𝑗 ∈ ℝ)
42 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 ≠ 0) → 𝑗 ≠ 0)
43 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≠ 0))
4441, 42, 43sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 ≠ 0) → 𝑗 ∈ (ℝ ∖ {0}))
45 i1fima2sn 25044 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝑗 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(𝐺 “ {𝑗})) ∈ ℝ)
4640, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 ≠ 0) → (vol‘(𝐺 “ {𝑗})) ∈ ℝ)
4739, 46eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 ≠ 0) → (vol*‘(𝐺 “ {𝑗})) ∈ ℝ)
48 ovolsscl 24850 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})) ⊆ (𝐺 “ {𝑗}) ∧ (𝐺 “ {𝑗}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐺 “ {𝑗})) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))) ∈ ℝ)
4932, 37, 47, 48mp3an2i 1466 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 ≠ 0) → (vol*‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5031, 49jaodan 956 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ (𝑖 ≠ 0 ∨ 𝑗 ≠ 0)) → (vol*‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5115, 50sylan2br 595 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ ¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) → (vol*‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5214, 51eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ ¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) → if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5352ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) → if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))) ∈ ℝ))
54 iftrue 4492 . . . . 5 ((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) → if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))) = 0)
55 0re 11157 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5654, 55eqeltrdi 2846 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) → if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5753, 56pm2.61d2 181 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5857ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))) ∈ ℝ)
59 itg1add.3 . . 3 𝐼 = (𝑖 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ ℝ ↦ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))))
6059fmpo 8000 . 2 (∀𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((𝐹 “ {𝑖}) ∩ (𝐺 “ {𝑗})))) ∈ ℝ ↔ 𝐼:(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
6158, 60sylib 217 1 (𝜑𝐼:(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  cmpo 7359  cr 11050  0cc0 11051  vol*covol 24826  volcvol 24827  1citg1 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25063  itg1addlem4OLD  25064  itg1addlem5  25065
  Copyright terms: Public domain W3C validator