MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1addlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1addlem2 25077
Description: Lemma for itg1add 25082. The function 𝐼 represents the pieces into which we will break up the domain of the sum. Since it is infinite only when both 𝑖 and 𝑗 are zero, we arbitrarily define it to be zero there to simplify the sums that are manipulated in itg1addlem4 25079 and itg1addlem5 25081. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1add.3 𝐼 = (𝑖 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ ℝ ↦ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))))
Assertion
Ref Expression
itg1addlem2 (πœ‘ β†’ 𝐼:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐹   𝑖,𝐺,𝑗   πœ‘,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem itg1addlem2
StepHypRef Expression
1 iffalse 4500 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
21adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
3 i1fadd.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1fima 25058 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol)
6 i1fadd.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 i1fima 25058 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
9 inmbl 24922 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol)
105, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol)
12 mblvol 24910 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
142, 13eqtrd 2777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
15 neorian 3040 . . . . . . 7 ((𝑖 β‰  0 ∨ 𝑗 β‰  0) ↔ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0))
16 inss1 4193 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑖})
175ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol)
18 mblss 24911 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) βŠ† ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) βŠ† ℝ)
20 mblvol 24910 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})))
223ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
23 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝑖 β‰  0)
25 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑖 β‰  0))
2623, 24, 25sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝑖 ∈ (ℝ βˆ– {0}))
27 i1fima2sn 25060 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑖 ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ)
2822, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ)
2921, 28eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ)
30 ovolsscl 24866 . . . . . . . . 9 ((((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
3116, 19, 29, 30mp3an2i 1467 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
32 inss2 4194 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑗})
336adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
3433, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
3534adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
36 mblss 24911 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) βŠ† ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) βŠ† ℝ)
38 mblvol 24910 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})))
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})))
406ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
41 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
42 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝑗 β‰  0)
43 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 β‰  0))
4441, 42, 43sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝑗 ∈ (ℝ βˆ– {0}))
45 i1fima2sn 25060 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑗 ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ)
4640, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ)
4739, 46eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ)
48 ovolsscl 24866 . . . . . . . . 9 ((((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
4932, 37, 47, 48mp3an2i 1467 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5031, 49jaodan 957 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ (𝑖 β‰  0 ∨ 𝑗 β‰  0)) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5115, 50sylan2br 596 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5214, 51eqeltrd 2838 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5352ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ))
54 iftrue 4497 . . . . 5 ((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = 0)
55 0re 11164 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5654, 55eqeltrdi 2846 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5753, 56pm2.61d2 181 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5857ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
59 itg1add.3 . . 3 𝐼 = (𝑖 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ ℝ ↦ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))))
6059fmpo 8005 . 2 (βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ ↔ 𝐼:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„)
6158, 60sylib 217 1 (πœ‘ β†’ 𝐼:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {csn 4591   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501   ∈ cmpo 7364  β„cr 11057  0cc0 11058  vol*covol 24842  volcvol 24843  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25079  itg1addlem4OLD  25080  itg1addlem5  25081
  Copyright terms: Public domain W3C validator