MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1addlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1addlem2 25214
Description: Lemma for itg1add 25219. The function 𝐼 represents the pieces into which we will break up the domain of the sum. Since it is infinite only when both 𝑖 and 𝑗 are zero, we arbitrarily define it to be zero there to simplify the sums that are manipulated in itg1addlem4 25216 and itg1addlem5 25218. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1add.3 𝐼 = (𝑖 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ ℝ ↦ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))))
Assertion
Ref Expression
itg1addlem2 (πœ‘ β†’ 𝐼:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐹   𝑖,𝐺,𝑗   πœ‘,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑖,𝑗)
Proof of Theorem itg1addlem2
StepHypRef Expression
1 iffalse 4538 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
21adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
3 i1fadd.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1fima 25195 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol)
6 i1fadd.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 i1fima 25195 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
9 inmbl 25059 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol)
105, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol)
12 mblvol 25047 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
142, 13eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
15 neorian 3038 . . . . . . 7 ((𝑖 β‰  0 ∨ 𝑗 β‰  0) ↔ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0))
16 inss1 4229 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑖})
175ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol)
18 mblss 25048 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) βŠ† ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) βŠ† ℝ)
20 mblvol 25047 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})))
223ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
23 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝑖 β‰  0)
25 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑖 β‰  0))
2623, 24, 25sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝑖 ∈ (ℝ βˆ– {0}))
27 i1fima2sn 25197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑖 ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ)
2822, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ)
2921, 28eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ)
30 ovolsscl 25003 . . . . . . . . 9 ((((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
3116, 19, 29, 30mp3an2i 1467 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
32 inss2 4230 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑗})
336adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
3433, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
3534adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
36 mblss 25048 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) βŠ† ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) βŠ† ℝ)
38 mblvol 25047 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})))
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})))
406ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
41 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
42 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝑗 β‰  0)
43 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 β‰  0))
4441, 42, 43sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝑗 ∈ (ℝ βˆ– {0}))
45 i1fima2sn 25197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑗 ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ)
4640, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ)
4739, 46eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ)
48 ovolsscl 25003 . . . . . . . . 9 ((((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
4932, 37, 47, 48mp3an2i 1467 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5031, 49jaodan 957 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ (𝑖 β‰  0 ∨ 𝑗 β‰  0)) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5115, 50sylan2br 596 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5214, 51eqeltrd 2834 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5352ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ))
54 iftrue 4535 . . . . 5 ((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = 0)
55 0re 11216 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5654, 55eqeltrdi 2842 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5753, 56pm2.61d2 181 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5857ralrimivva 3201 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
59 itg1add.3 . . 3 𝐼 = (𝑖 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ ℝ ↦ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))))
6059fmpo 8054 . 2 (βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ ↔ 𝐼:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„)
6158, 60sylib 217 1 (πœ‘ β†’ 𝐼:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544   ∈ cmpo 7411  β„cr 11109  0cc0 11110  vol*covol 24979  volcvol 24980  βˆ«1citg1 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  itg1addlem5  25218
  Copyright terms: Public domain W3C validator