MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1addlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1addlem2 25446
Description: Lemma for itg1add 25451. The function 𝐼 represents the pieces into which we will break up the domain of the sum. Since it is infinite only when both 𝑖 and 𝑗 are zero, we arbitrarily define it to be zero there to simplify the sums that are manipulated in itg1addlem4 25448 and itg1addlem5 25450. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1add.3 𝐼 = (𝑖 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ ℝ ↦ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))))
Assertion
Ref Expression
itg1addlem2 (πœ‘ β†’ 𝐼:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐹   𝑖,𝐺,𝑗   πœ‘,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑖,𝑗)
Proof of Theorem itg1addlem2
StepHypRef Expression
1 iffalse 4536 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
21adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
3 i1fadd.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1fima 25427 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol)
6 i1fadd.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 i1fima 25427 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
9 inmbl 25291 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol)
105, 8, 9syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol)
1110ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol)
12 mblvol 25279 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
142, 13eqtrd 2770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))))
15 neorian 3035 . . . . . . 7 ((𝑖 β‰  0 ∨ 𝑗 β‰  0) ↔ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0))
16 inss1 4227 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑖})
175ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol)
18 mblss 25280 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) βŠ† ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) βŠ† ℝ)
20 mblvol 25279 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})))
223ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
23 simplrl 773 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
24 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝑖 β‰  0)
25 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑖 β‰  0))
2623, 24, 25sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ 𝑖 ∈ (ℝ βˆ– {0}))
27 i1fima2sn 25429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑖 ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ)
2822, 26, 27syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ)
2921, 28eqeltrrd 2832 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ)
30 ovolsscl 25235 . . . . . . . . 9 ((((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑖}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑖})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
3116, 19, 29, 30mp3an2i 1464 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑖 β‰  0) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
32 inss2 4228 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑗})
336adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
3433, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
3534adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol)
36 mblss 25280 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) βŠ† ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) βŠ† ℝ)
38 mblvol 25279 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})))
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})))
406ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
41 simplrr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
42 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝑗 β‰  0)
43 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 β‰  0))
4441, 42, 43sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ 𝑗 ∈ (ℝ βˆ– {0}))
45 i1fima2sn 25429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑗 ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ)
4640, 44, 45syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ)
4739, 46eqeltrrd 2832 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ)
48 ovolsscl 25235 . . . . . . . . 9 ((((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑗}) ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑗}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑗})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
4932, 37, 47, 48mp3an2i 1464 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ 𝑗 β‰  0) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5031, 49jaodan 954 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ (𝑖 β‰  0 ∨ 𝑗 β‰  0)) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5115, 50sylan2br 593 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗}))) ∈ ℝ)
5214, 51eqeltrd 2831 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) ∧ Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5352ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (Β¬ (𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ))
54 iftrue 4533 . . . . 5 ((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) = 0)
55 0re 11220 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5654, 55eqeltrdi 2839 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5753, 56pm2.61d2 181 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
5857ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ)
59 itg1add.3 . . 3 𝐼 = (𝑖 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ ℝ ↦ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))))
6059fmpo 8056 . 2 (βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ ℝ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {𝑖}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑗})))) ∈ ℝ ↔ 𝐼:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„)
6158, 60sylib 217 1 (πœ‘ β†’ 𝐼:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111  0cc0 11112  vol*covol 25211  volcvol 25212  βˆ«1citg1 25364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25448  itg1addlem4OLD  25449  itg1addlem5  25450
  Copyright terms: Public domain W3C validator