Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  arearect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arearect 41592
Description: The area of a rectangle whose sides are parallel to the coordinate axes in (ℝ Γ— ℝ) is its width multiplied by its height. (Contributed by Jon Pennant, 19-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
arearect.1 𝐴 ∈ ℝ
arearect.2 𝐡 ∈ ℝ
arearect.3 𝐢 ∈ ℝ
arearect.4 𝐷 ∈ ℝ
arearect.5 𝐴 ≀ 𝐡
arearect.6 𝐢 ≀ 𝐷
arearect.7 𝑆 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷))
Assertion
Ref Expression
arearect (areaβ€˜π‘†) = ((𝐡 βˆ’ 𝐴) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢))

Proof of Theorem arearect
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 arearect.7 . . . . 5 𝑆 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷))
2 arearect.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
3 arearect.2 . . . . . . 7 𝐡 ∈ ℝ
4 iccssre 13352 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
52, 3, 4mp2an 691 . . . . . 6 (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ
6 arearect.3 . . . . . . 7 𝐢 ∈ ℝ
7 arearect.4 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℝ
8 iccssre 13352 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ (𝐢[,]𝐷) βŠ† ℝ)
96, 7, 8mp2an 691 . . . . . 6 (𝐢[,]𝐷) βŠ† ℝ
10 xpss12 5649 . . . . . 6 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝐢[,]𝐷) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
115, 9, 10mp2an 691 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
121, 11eqsstri 3979 . . . 4 𝑆 βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
13 iftrue 4493 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
141imaeq1i 6011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 β€œ {π‘₯}) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷)) β€œ {π‘₯})
15 iftrue 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐢[,]𝐷), βˆ…) = (𝐢[,]𝐷))
16 xpimasn 6138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷)) β€œ {π‘₯}) = (𝐢[,]𝐷))
1715, 16eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐢[,]𝐷), βˆ…) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷)) β€œ {π‘₯}))
18 iffalse 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐢[,]𝐷), βˆ…) = βˆ…)
19 disjsn 4673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴[,]𝐡) ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
20 xpima1 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴[,]𝐡) ∩ {π‘₯}) = βˆ… β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷)) β€œ {π‘₯}) = βˆ…)
2119, 20sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷)) β€œ {π‘₯}) = βˆ…)
2218, 21eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐢[,]𝐷), βˆ…) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷)) β€œ {π‘₯}))
2317, 22pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐢[,]𝐷), βˆ…) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐢[,]𝐷)) β€œ {π‘₯})
2414, 23eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 β€œ {π‘₯}) = if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐢[,]𝐷), βˆ…)
2524fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) = (volβ€˜if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐢[,]𝐷), βˆ…))
2615fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (volβ€˜if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐢[,]𝐷), βˆ…)) = (volβ€˜(𝐢[,]𝐷)))
2725, 26eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) = (volβ€˜(𝐢[,]𝐷)))
28 iccmbl 24946 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ (𝐢[,]𝐷) ∈ dom vol)
296, 7, 28mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐢[,]𝐷) ∈ dom vol
30 mblvol 24910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢[,]𝐷) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(𝐢[,]𝐷)) = (vol*β€˜(𝐢[,]𝐷)))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (volβ€˜(𝐢[,]𝐷)) = (vol*β€˜(𝐢[,]𝐷))
32 arearect.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐢 ≀ 𝐷
33 ovolicc 24903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ≀ 𝐷) β†’ (vol*β€˜(𝐢[,]𝐷)) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
346, 7, 32, 33mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*β€˜(𝐢[,]𝐷)) = (𝐷 βˆ’ 𝐢)
3531, 34eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 (volβ€˜(𝐢[,]𝐷)) = (𝐷 βˆ’ 𝐢)
3627, 35eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
3713, 36eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) = (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})))
38 iffalse 4496 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) = 0)
3918fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (volβ€˜if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐢[,]𝐷), βˆ…)) = (volβ€˜βˆ…))
4025, 39eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) = (volβ€˜βˆ…))
41 0mbl 24919 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… ∈ dom vol
42 mblvol 24910 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ… ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…)
44 ovol0 24873 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*β€˜βˆ…) = 0
4543, 44eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 (volβ€˜βˆ…) = 0
4640, 45eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) = 0)
4738, 46eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) = (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})))
4837, 47pm2.61i 182 . . . . . . . . 9 if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) = (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯}))
4948eqcomi 2742 . . . . . . . 8 (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) = if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0)
5049a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) = if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0))
517, 6resubcli 11468 . . . . . . . 8 (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ
52 0re 11162 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
5351, 52ifcli 4534 . . . . . . 7 if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) ∈ ℝ
5450, 53eqeltrdi 2842 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
55 volf 24909 . . . . . . . 8 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
56 ffun 6672 . . . . . . . 8 (vol:dom vol⟢(0[,]+∞) β†’ Fun vol)
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun vol
5829, 41ifcli 4534 . . . . . . . 8 if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐢[,]𝐷), βˆ…) ∈ dom vol
5924, 58eqeltri 2830 . . . . . . 7 (𝑆 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol
60 fvimacnv 7004 . . . . . . 7 ((Fun vol ∧ (𝑆 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol) β†’ ((volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ ↔ (𝑆 β€œ {π‘₯}) ∈ (β—‘vol β€œ ℝ)))
6157, 59, 60mp2an 691 . . . . . 6 ((volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ ↔ (𝑆 β€œ {π‘₯}) ∈ (β—‘vol β€œ ℝ))
6254, 61sylib 217 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑆 β€œ {π‘₯}) ∈ (β—‘vol β€œ ℝ))
6362rgen 3063 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑆 β€œ {π‘₯}) ∈ (β—‘vol β€œ ℝ)
645a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
65 rembl 24920 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
6665a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ ℝ ∈ dom vol)
6736, 51eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
6867adantl 483 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
69 eldifn 4088 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
7069, 46syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)) β†’ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) = 0)
7170adantl 483 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) β†’ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) = 0)
7236mpteq2ia 5209 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯}))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝐷 βˆ’ 𝐢))
7351recni 11174 . . . . . . . . . 10 (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚
74 ax-resscn 11113 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
755, 74sstri 3954 . . . . . . . . . 10 (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚
76 ssid 3967 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
77 cncfmptc 24291 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
7873, 75, 76, 77mp3an 1462 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)
79 cniccibl 25221 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ∈ 𝐿1)
802, 3, 78, 79mp3an 1462 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ∈ 𝐿1
8172, 80eqeltri 2830 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯}))) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯}))) ∈ 𝐿1)
8364, 66, 68, 71, 82iblss2 25186 . . . . 5 (0 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯}))) ∈ 𝐿1)
8452, 83ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯}))) ∈ 𝐿1
85 dmarea 26323 . . . 4 (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 βŠ† (ℝ Γ— ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑆 β€œ {π‘₯}) ∈ (β—‘vol β€œ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯}))) ∈ 𝐿1))
8612, 63, 84, 85mpbir3an 1342 . . 3 𝑆 ∈ dom area
87 areaval 26330 . . 3 (𝑆 ∈ dom area β†’ (areaβ€˜π‘†) = βˆ«β„(volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) dπ‘₯)
8886, 87ax-mp 5 . 2 (areaβ€˜π‘†) = βˆ«β„(volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) dπ‘₯
89 itgeq2 25158 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) = if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) β†’ βˆ«β„(volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) dπ‘₯ = βˆ«β„if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) dπ‘₯)
9089, 50mprg 3067 . . 3 βˆ«β„(volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) dπ‘₯ = βˆ«β„if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) dπ‘₯
91 iccmbl 24946 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) ∈ dom vol)
922, 3, 91mp2an 691 . . . . 5 (𝐴[,]𝐡) ∈ dom vol
93 mblvol 24910 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐡) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)) = (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . 7 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)) = (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡))
95 arearect.5 . . . . . . . 8 𝐴 ≀ 𝐡
96 ovolicc 24903 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
972, 3, 95, 96mp3an 1462 . . . . . . 7 (vol*β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
9894, 97eqtri 2761 . . . . . 6 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
993, 2resubcli 11468 . . . . . 6 (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ
10098, 99eqeltri 2830 . . . . 5 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)) ∈ ℝ
101 itgconst 25199 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐡) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)) ∈ ℝ ∧ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚) β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(𝐷 βˆ’ 𝐢) dπ‘₯ = ((𝐷 βˆ’ 𝐢) Β· (volβ€˜(𝐴[,]𝐡))))
10292, 100, 73, 101mp3an 1462 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐡)(𝐷 βˆ’ 𝐢) dπ‘₯ = ((𝐷 βˆ’ 𝐢) Β· (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
103 itgss2 25193 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(𝐷 βˆ’ 𝐢) dπ‘₯ = βˆ«β„if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) dπ‘₯)
1045, 103ax-mp 5 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐡)(𝐷 βˆ’ 𝐢) dπ‘₯ = βˆ«β„if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) dπ‘₯
10598oveq2i 7369 . . . 4 ((𝐷 βˆ’ 𝐢) Β· (volβ€˜(𝐴[,]𝐡))) = ((𝐷 βˆ’ 𝐢) Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))
106102, 104, 1053eqtr3i 2769 . . 3 βˆ«β„if(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), (𝐷 βˆ’ 𝐢), 0) dπ‘₯ = ((𝐷 βˆ’ 𝐢) Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))
10790, 106eqtri 2761 . 2 βˆ«β„(volβ€˜(𝑆 β€œ {π‘₯})) dπ‘₯ = ((𝐷 βˆ’ 𝐢) Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))
10899recni 11174 . . 3 (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚
10973, 108mulcomi 11168 . 2 ((𝐷 βˆ’ 𝐢) Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = ((𝐡 βˆ’ 𝐴) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢))
11088, 107, 1093eqtri 2765 1 (areaβ€˜π‘†) = ((𝐡 βˆ’ 𝐴) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056   Β· cmul 11061  +∞cpnf 11191   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  [,]cicc 13273  β€“cnβ†’ccncf 24255  vol*covol 24842  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998  areacarea 26321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-area 26322
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator