Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  arearect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arearect 39328
Description: The area of a rectangle whose sides are parallel to the coordinate axes in (ℝ × ℝ) is its width multiplied by its height. (Contributed by Jon Pennant, 19-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
arearect.1 𝐴 ∈ ℝ
arearect.2 𝐵 ∈ ℝ
arearect.3 𝐶 ∈ ℝ
arearect.4 𝐷 ∈ ℝ
arearect.5 𝐴𝐵
arearect.6 𝐶𝐷
arearect.7 𝑆 = ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷))
Assertion
Ref Expression
arearect (area‘𝑆) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))

Proof of Theorem arearect
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 arearect.7 . . . . 5 𝑆 = ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷))
2 arearect.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
3 arearect.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 iccssre 12672 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
52, 3, 4mp2an 688 . . . . . 6 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
6 arearect.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℝ
7 arearect.4 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℝ
8 iccssre 12672 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
96, 7, 8mp2an 688 . . . . . 6 (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ
10 xpss12 5465 . . . . . 6 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) ⊆ (ℝ × ℝ))
115, 9, 10mp2an 688 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) ⊆ (ℝ × ℝ)
121, 11eqsstri 3928 . . . 4 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ)
13 iftrue 4393 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (𝐷𝐶))
141imaeq1i 5810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 “ {𝑥}) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥})
15 iftrue 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (𝐶[,]𝐷))
16 xpimasn 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = (𝐶[,]𝐷))
1715, 16eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}))
18 iffalse 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = ∅)
19 disjsn 4560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴[,]𝐵) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20 xpima1 5923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴[,]𝐵) ∩ {𝑥}) = ∅ → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = ∅)
2119, 20sylbir 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = ∅)
2218, 21eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}))
2317, 22pm2.61i 183 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥})
2414, 23eqtr4i 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 “ {𝑥}) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)
2524fveq2i 6548 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅))
2615fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)) = (vol‘(𝐶[,]𝐷)))
2725, 26syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘(𝐶[,]𝐷)))
28 iccmbl 23854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol)
296, 7, 28mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol
30 mblvol 23818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol → (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (vol*‘(𝐶[,]𝐷)))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (vol*‘(𝐶[,]𝐷))
32 arearect.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶𝐷
33 ovolicc 23811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐷) → (vol*‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶))
346, 7, 32, 33mp3an 1453 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶)
3531, 34eqtri 2821 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶)
3627, 35syl6eq 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (𝐷𝐶))
3713, 36eqtr4d 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
38 iffalse 4396 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = 0)
3918fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)) = (vol‘∅))
4025, 39syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘∅))
41 0mbl 23827 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ dom vol
42 mblvol 23818 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
44 ovol0 23781 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘∅) = 0
4543, 44eqtri 2821 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘∅) = 0
4640, 45syl6eq 2849 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
4738, 46eqtr4d 2836 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
4837, 47pm2.61i 183 . . . . . . . . 9 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))
4948eqcomi 2806 . . . . . . . 8 (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0)
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0))
517, 6resubcli 10802 . . . . . . . 8 (𝐷𝐶) ∈ ℝ
52 0re 10496 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
5351, 52ifcli 4433 . . . . . . 7 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) ∈ ℝ
5450, 53syl6eqel 2893 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
55 volf 23817 . . . . . . . 8 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
56 ffun 6392 . . . . . . . 8 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → Fun vol)
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun vol
5829, 41ifcli 4433 . . . . . . . 8 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) ∈ dom vol
5924, 58eqeltri 2881 . . . . . . 7 (𝑆 “ {𝑥}) ∈ dom vol
60 fvimacnv 6695 . . . . . . 7 ((Fun vol ∧ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ dom vol) → ((vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ ↔ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ)))
6157, 59, 60mp2an 688 . . . . . 6 ((vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ ↔ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ))
6254, 61sylib 219 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ))
6362rgen 3117 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ)
645a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65 rembl 23828 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
6665a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → ℝ ∈ dom vol)
6736, 51syl6eqel 2893 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
6867adantl 482 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
69 eldifn 4031 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7069, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
7170adantl 482 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
7236mpteq2ia 5058 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶))
7351recni 10508 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝐶) ∈ ℂ
74 ax-resscn 10447 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
755, 74sstri 3904 . . . . . . . . . 10 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ
76 ssid 3916 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
77 cncfmptc 23206 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7873, 75, 76, 77mp3an 1453 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
79 cniccibl 24128 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ 𝐿1)
802, 3, 78, 79mp3an 1453 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ 𝐿1
8172, 80eqeltri 2881 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
8364, 66, 68, 71, 82iblss2 24093 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
8452, 83ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1
85 dmarea 25221 . . . 4 (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
8612, 63, 84, 85mpbir3an 1334 . . 3 𝑆 ∈ dom area
87 areaval 25228 . . 3 (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)
8886, 87ax-mp 5 . 2 (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥
89 itgeq2 24065 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) → ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥)
9089, 50mprg 3121 . . 3 ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥
91 iccmbl 23854 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)
922, 3, 91mp2an 688 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol
93 mblvol 23818 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . 7 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵))
95 arearect.5 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
96 ovolicc 23811 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
972, 3, 95, 96mp3an 1453 . . . . . . 7 (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴)
9894, 97eqtri 2821 . . . . . 6 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴)
993, 2resubcli 10802 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ∈ ℝ
10098, 99eqeltri 2881 . . . . 5 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ
101 itgconst 24106 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵))))
10292, 100, 73, 101mp3an 1453 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
103 itgss2 24100 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥)
1045, 103ax-mp 5 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥
10598oveq2i 7034 . . . 4 ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵))) = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
106102, 104, 1053eqtr3i 2829 . . 3 ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
10790, 106eqtri 2821 . 2 ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
10899recni 10508 . . 3 (𝐵𝐴) ∈ ℂ
10973, 108mulcomi 10502 . 2 ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))
11088, 107, 1093eqtri 2825 1 (area‘𝑆) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  cdif 3862  cin 3864  wss 3865  c0 4217  ifcif 4387  {csn 4478   class class class wbr 4968  cmpt 5047   × cxp 5448  ccnv 5449  dom cdm 5450  cima 5453  Fun wfun 6226  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390   · cmul 10395  +∞cpnf 10525  cle 10529  cmin 10723  [,]cicc 12595  cnccncf 23171  vol*covol 23750  volcvol 23751  𝐿1cibl 23905  citg 23906  areacarea 25219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cc 9710  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-disj 4937  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-ofr 7275  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-omul 7965  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-dju 9183  df-card 9221  df-acn 9224  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-cmp 21683  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-ovol 23752  df-vol 23753  df-mbf 23907  df-itg1 23908  df-itg2 23909  df-ibl 23910  df-itg 23911  df-0p 23958  df-area 25220
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator