Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  arearect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arearect 40152
Description: The area of a rectangle whose sides are parallel to the coordinate axes in (ℝ × ℝ) is its width multiplied by its height. (Contributed by Jon Pennant, 19-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
arearect.1 𝐴 ∈ ℝ
arearect.2 𝐵 ∈ ℝ
arearect.3 𝐶 ∈ ℝ
arearect.4 𝐷 ∈ ℝ
arearect.5 𝐴𝐵
arearect.6 𝐶𝐷
arearect.7 𝑆 = ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷))
Assertion
Ref Expression
arearect (area‘𝑆) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))

Proof of Theorem arearect
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 arearect.7 . . . . 5 𝑆 = ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷))
2 arearect.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
3 arearect.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 iccssre 12811 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
52, 3, 4mp2an 691 . . . . . 6 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
6 arearect.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℝ
7 arearect.4 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℝ
8 iccssre 12811 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
96, 7, 8mp2an 691 . . . . . 6 (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ
10 xpss12 5538 . . . . . 6 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) ⊆ (ℝ × ℝ))
115, 9, 10mp2an 691 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) ⊆ (ℝ × ℝ)
121, 11eqsstri 3952 . . . 4 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ)
13 iftrue 4434 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (𝐷𝐶))
141imaeq1i 5897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 “ {𝑥}) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥})
15 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (𝐶[,]𝐷))
16 xpimasn 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = (𝐶[,]𝐷))
1715, 16eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}))
18 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = ∅)
19 disjsn 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴[,]𝐵) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20 xpima1 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴[,]𝐵) ∩ {𝑥}) = ∅ → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = ∅)
2119, 20sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}) = ∅)
2218, 21eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥}))
2317, 22pm2.61i 185 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) = (((𝐴[,]𝐵) × (𝐶[,]𝐷)) “ {𝑥})
2414, 23eqtr4i 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 “ {𝑥}) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)
2524fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅))
2615fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)) = (vol‘(𝐶[,]𝐷)))
2725, 26syl5eq 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘(𝐶[,]𝐷)))
28 iccmbl 24173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol)
296, 7, 28mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol
30 mblvol 24137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶[,]𝐷) ∈ dom vol → (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (vol*‘(𝐶[,]𝐷)))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (vol*‘(𝐶[,]𝐷))
32 arearect.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶𝐷
33 ovolicc 24130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐷) → (vol*‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶))
346, 7, 32, 33mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶)
3531, 34eqtri 2824 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐷𝐶)
3627, 35eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (𝐷𝐶))
3713, 36eqtr4d 2839 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
38 iffalse 4437 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = 0)
3918fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅)) = (vol‘∅))
4025, 39syl5eq 2848 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = (vol‘∅))
41 0mbl 24146 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ dom vol
42 mblvol 24137 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
44 ovol0 24100 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘∅) = 0
4543, 44eqtri 2824 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘∅) = 0
4640, 45eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
4738, 46eqtr4d 2839 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
4837, 47pm2.61i 185 . . . . . . . . 9 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))
4948eqcomi 2810 . . . . . . . 8 (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0)
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0))
517, 6resubcli 10941 . . . . . . . 8 (𝐷𝐶) ∈ ℝ
52 0re 10636 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
5351, 52ifcli 4474 . . . . . . 7 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) ∈ ℝ
5450, 53eqeltrdi 2901 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
55 volf 24136 . . . . . . . 8 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
56 ffun 6494 . . . . . . . 8 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → Fun vol)
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun vol
5829, 41ifcli 4474 . . . . . . . 8 if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐶[,]𝐷), ∅) ∈ dom vol
5924, 58eqeltri 2889 . . . . . . 7 (𝑆 “ {𝑥}) ∈ dom vol
60 fvimacnv 6804 . . . . . . 7 ((Fun vol ∧ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ dom vol) → ((vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ ↔ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ)))
6157, 59, 60mp2an 691 . . . . . 6 ((vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ ↔ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ))
6254, 61sylib 221 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ))
6362rgen 3119 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ)
645a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65 rembl 24147 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
6665a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → ℝ ∈ dom vol)
6736, 51eqeltrdi 2901 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
6867adantl 485 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
69 eldifn 4058 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7069, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
7170adantl 485 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = 0)
7236mpteq2ia 5124 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶))
7351recni 10648 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝐶) ∈ ℂ
74 ax-resscn 10587 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
755, 74sstri 3927 . . . . . . . . . 10 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ
76 ssid 3940 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
77 cncfmptc 23520 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7873, 75, 76, 77mp3an 1458 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
79 cniccibl 24447 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ 𝐿1)
802, 3, 78, 79mp3an 1458 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐷𝐶)) ∈ 𝐿1
8172, 80eqeltri 2889 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
8364, 66, 68, 71, 82iblss2 24412 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
8452, 83ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1
85 dmarea 25546 . . . 4 (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
8612, 63, 84, 85mpbir3an 1338 . . 3 𝑆 ∈ dom area
87 areaval 25553 . . 3 (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)
8886, 87ax-mp 5 . 2 (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥
89 itgeq2 24384 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ (vol‘(𝑆 “ {𝑥})) = if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) → ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥)
9089, 50mprg 3123 . . 3 ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥
91 iccmbl 24173 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)
922, 3, 91mp2an 691 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol
93 mblvol 24137 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . 7 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵))
95 arearect.5 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
96 ovolicc 24130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
972, 3, 95, 96mp3an 1458 . . . . . . 7 (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴)
9894, 97eqtri 2824 . . . . . 6 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴)
993, 2resubcli 10941 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ∈ ℝ
10098, 99eqeltri 2889 . . . . 5 (vol‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ
101 itgconst 24425 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵))))
10292, 100, 73, 101mp3an 1458 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
103 itgss2 24419 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥)
1045, 103ax-mp 5 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐷𝐶) d𝑥 = ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥
10598oveq2i 7150 . . . 4 ((𝐷𝐶) · (vol‘(𝐴[,]𝐵))) = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
106102, 104, 1053eqtr3i 2832 . . 3 ∫ℝif(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐷𝐶), 0) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
10790, 106eqtri 2824 . 2 ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 = ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴))
10899recni 10648 . . 3 (𝐵𝐴) ∈ ℂ
10973, 108mulcomi 10642 . 2 ((𝐷𝐶) · (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))
11088, 107, 1093eqtri 2828 1 (area‘𝑆) = ((𝐵𝐴) · (𝐷𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  cdif 3881  cin 3883  wss 3884  c0 4246  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113   × cxp 5521  ccnv 5522  dom cdm 5523  cima 5526  Fun wfun 6322  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530   · cmul 10535  +∞cpnf 10665  cle 10669  cmin 10863  [,]cicc 12733  cnccncf 23484  vol*covol 24069  volcvol 24070  𝐿1cibl 24224  citg 24225  areacarea 25544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226  df-itg1 24227  df-itg2 24228  df-ibl 24229  df-itg 24230  df-0p 24277  df-area 25545
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator