Theorem vonvol 45931

Description: The 1-dimensional Lebesgue measure agrees with the Lebesgue measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvol.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvol.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)

Assertion

Ref	Expression
vonvol	⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝐵 ↑m {𝐴})) = (vol‘𝐵))

Proof of Theorem vonvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonvol.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vonvol.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
3		mblss 25411	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
5	1, 4	ovnovol 45928	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵 ↑m {𝐴})) = (vol*‘𝐵))
6		snfi 9043	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
8	1, 4	vonvolmbl 45930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))
9	2, 8	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}))
10	7, 9	mblvon 45908	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝐵 ↑m {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵 ↑m {𝐴})))
11		mblvol 25410	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
12	2, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
13	5, 10, 12	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝐵 ↑m {𝐴})) = (vol‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  {csn 4623  dom cdm 5669  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  ℝcr 11108  vol*covol 25342  volcvol 25343  voln*covoln 45805  volncvoln 45807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-0g 17394  df-topgen 17396  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cmp 23242  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-sumge0 45632  df-ome 45759  df-caragen 45761  df-ovoln 45806  df-voln 45808

This theorem is referenced by:  vonvol2  45933