Theorem itg11 24295

Description: The integral of an indicator function is the volume of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
itg11	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem itg11

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovol0 24097	. . . . 5 ⊢ (vol*‘∅) = 0
2		0mbl 24143	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ dom vol
3		mblvol 24134	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
5		itg10 24292	. . . . 5 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2832	. . . 4 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = (vol‘∅)
7		noel 4247	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8		eleq2 2878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
9	7, 8	mtbiri 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
10	9	iffalsed 4436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
11	10	mpteq2dv 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
12		i1f1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
13		fconstmpt 5578	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2858	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐹 = (ℝ × {0}))
15	14	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16		fveq2 6645	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (vol‘𝐴) = (vol‘∅))
17	6, 15, 16	3eqtr4a 2859	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
19		n0 4260	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
20	12	i1f1 24294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
21	20	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
22		itg1val 24287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
24	12	i1f1lem 24293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))
25	24	simpli 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
26		frn 6493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
28		ssdif 4067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ {0, 1} → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0}))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0})
30		difprsnss 4692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
31	29, 30	sstri 3924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1})
33		mblss 24135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
34	33	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
35	34	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36		eleq1w 2872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
37	36	ifbid 4447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
38		1ex 10626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ V
39		c0ex 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
40	38, 39	ifex 4473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
41	37, 12, 40	fvmpt 6745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
42	35, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
43		iftrue 4431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
44	43	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
45	42, 44	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = 1)
46		ffn 6487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
47	25, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 Fn ℝ
48		fnfvelrn 6825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
49	47, 35, 48	sylancr 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
50	45, 49	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ran 𝐹)
51		ax-1ne0 10595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
52		eldifsn 4680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ran 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
53	50, 51, 52	sylanblrc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
54	53	snssd 4702	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {1} ⊆ (ran 𝐹 ∖ {0}))
55	32, 54	eqssd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) = {1})
56	55	sumeq1d 15050	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
57		1re 10630	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
58	24	simpri 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
59	58	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
60	59	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {1})) = (vol‘𝐴))
61	60	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) = (1 · (vol‘𝐴)))
62		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
63	62	recnd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
64	63	mulid2d 10648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘𝐴)) = (vol‘𝐴))
65	61, 64	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) = (vol‘𝐴))
66	65, 63	eqeltrd 2890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ)
67		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 = 1)
68		sneq 4535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 1 → {𝑧} = {1})
69	68	imaeq2d 5896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 1 → (◡𝐹 “ {𝑧}) = (◡𝐹 “ {1}))
70	69	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧})) = (vol‘(◡𝐹 “ {1})))
71	67, 70	oveq12d 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
72	71	sumsn 15093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
73	57, 66, 72	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
74	73, 65	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
75	56, 74	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
76	23, 75	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))
77	76	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
78	77	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
79	19, 78	syl5bi 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
80	18, 79	pm2.61dne 3073	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ifcif 4425  {csn 4525  {cpr 4527   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  Σcsu 15034  vol*covol 24066  volcvol 24067  ∫₁citg1 24219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-xmet 20084  df-met 20085  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224

This theorem is referenced by:  itg2const  24344  itg2addnclem  35108