MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg11 25633
Description: The integral of an indicator function is the volume of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
itg11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itg11
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovol0 25435 . . . . 5 (vol*โ€˜โˆ…) = 0
2 0mbl 25481 . . . . . 6 โˆ… โˆˆ dom vol
3 mblvol 25472 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…)
5 itg10 25630 . . . . 5 (โˆซ1โ€˜(โ„ ร— {0})) = 0
61, 4, 53eqtr4ri 2767 . . . 4 (โˆซ1โ€˜(โ„ ร— {0})) = (volโ€˜โˆ…)
7 noel 4331 . . . . . . . . 9 ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…
8 eleq2 2818 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…))
97, 8mtbiri 327 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
109iffalsed 4540 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = 0)
1110mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0))
12 i1f1.1 . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
13 fconstmpt 5740 . . . . . 6 (โ„ ร— {0}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0)
1411, 12, 133eqtr4g 2793 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ๐น = (โ„ ร— {0}))
1514fveq2d 6901 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (โˆซ1โ€˜(โ„ ร— {0})))
16 fveq2 6897 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (volโ€˜๐ด) = (volโ€˜โˆ…))
176, 15, 163eqtr4a 2794 . . 3 (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
1817a1i 11 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
19 n0 4347 . . 3 (๐ด โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฆ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด)
2012i1f1 25632 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐น โˆˆ dom โˆซ1)
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐น โˆˆ dom โˆซ1)
22 itg1val 25625 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))))
2412i1f1lem 25631 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐น:โ„โŸถ{0, 1} โˆง (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {1}) = ๐ด))
2524simpli 483 . . . . . . . . . . . . 13 ๐น:โ„โŸถ{0, 1}
26 frn 6729 . . . . . . . . . . . . 13 (๐น:โ„โŸถ{0, 1} โ†’ ran ๐น โІ {0, 1})
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran ๐น โІ {0, 1}
28 ssdif 4138 . . . . . . . . . . . 12 (ran ๐น โІ {0, 1} โ†’ (ran ๐น โˆ– {0}) โІ ({0, 1} โˆ– {0}))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ran ๐น โˆ– {0}) โІ ({0, 1} โˆ– {0})
30 difprsnss 4803 . . . . . . . . . . 11 ({0, 1} โˆ– {0}) โІ {1}
3129, 30sstri 3989 . . . . . . . . . 10 (ran ๐น โˆ– {0}) โІ {1}
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (ran ๐น โˆ– {0}) โІ {1})
33 mblss 25473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ ๐ด โІ โ„)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โІ โ„)
3534sselda 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
36 eleq1w 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด))
3736ifbid 4552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
38 1ex 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ V
39 c0ex 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ V
4038, 39ifex 4579 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0) โˆˆ V
4137, 12, 40fvmpt 7005 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
4235, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
43 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = 1)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = 1)
4542, 44eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 1)
46 ffn 6722 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐น:โ„โŸถ{0, 1} โ†’ ๐น Fn โ„)
4725, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ๐น Fn โ„
48 fnfvelrn 7090 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น Fn โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ran ๐น)
4947, 35, 48sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ran ๐น)
5045, 49eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ ran ๐น)
51 ax-1ne0 11208 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰  0
52 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0}) โ†” (1 โˆˆ ran ๐น โˆง 1 โ‰  0))
5350, 51, 52sylanblrc 589 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0}))
5453snssd 4813 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ {1} โІ (ran ๐น โˆ– {0}))
5532, 54eqssd 3997 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (ran ๐น โˆ– {0}) = {1})
5655sumeq1d 15680 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))))
57 1re 11245 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
5824simpri 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {1}) = ๐ด)
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {1}) = ๐ด)
6059fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1})) = (volโ€˜๐ด))
6160oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) = (1 ยท (volโ€˜๐ด)))
62 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
6362recnd 11273 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6463mullidd 11263 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜๐ด)) = (volโ€˜๐ด))
6561, 64eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) = (volโ€˜๐ด))
6665, 63eqeltrd 2829 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) โˆˆ โ„‚)
67 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = 1 โ†’ ๐‘ง = 1)
68 sneq 4639 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = 1 โ†’ {๐‘ง} = {1})
6968imaeq2d 6063 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = 1 โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}) = (โ—ก๐น โ€œ {1}))
7069fveq2d 6901 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = 1 โ†’ (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง})) = (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1})))
7167, 70oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))))
7271sumsn 15725 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))))
7357, 66, 72sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))))
7473, 65eqtrd 2768 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (volโ€˜๐ด))
7556, 74eqtrd 2768 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (volโ€˜๐ด))
7623, 75eqtrd 2768 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
7776ex 412 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
7877exlimdv 1929 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
7919, 78biimtrid 241 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
8018, 79pm2.61dne 3025 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534  โˆƒwex 1774   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   โˆ– cdif 3944   โІ wss 3947  โˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5676  โ—กccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679   โ€œ cima 5681   Fn wfn 6543  โŸถwf 6544  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   ยท cmul 11144  ฮฃcsu 15665  vol*covol 25404  volcvol 25405  โˆซ1citg1 25557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562
This theorem is referenced by:  itg2const  25683  itg2addnclem  37144
  Copyright terms: Public domain W3C validator