MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg11 24301
Description: The integral of an indicator function is the volume of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
itg11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem itg11
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovol0 24103 . . . . 5 (vol*‘∅) = 0
2 0mbl 24149 . . . . . 6 ∅ ∈ dom vol
3 mblvol 24140 . . . . . 6 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
5 itg10 24298 . . . . 5 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
61, 4, 53eqtr4ri 2858 . . . 4 (∫1‘(ℝ × {0})) = (vol‘∅)
7 noel 4280 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑥 ∈ ∅
8 eleq2 2904 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
97, 8mtbiri 330 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝑥𝐴)
109iffalsed 4461 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → if(𝑥𝐴, 1, 0) = 0)
1110mpteq2dv 5148 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
12 i1f1.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
13 fconstmpt 5601 . . . . . 6 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
1411, 12, 133eqtr4g 2884 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐹 = (ℝ × {0}))
1514fveq2d 6665 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∫1𝐹) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16 fveq2 6661 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (vol‘𝐴) = (vol‘∅))
176, 15, 163eqtr4a 2885 . . 3 (𝐴 = ∅ → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
1817a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = ∅ → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
19 n0 4293 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
2012i1f1 24300 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2120adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
22 itg1val 24293 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∫1𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))))
2412i1f1lem 24299 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴))
2524simpli 487 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
26 frn 6509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
28 ssdif 4102 . . . . . . . . . . . 12 (ran 𝐹 ⊆ {0, 1} → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0}))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0})
30 difprsnss 4716 . . . . . . . . . . 11 ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
3129, 30sstri 3962 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1})
33 mblss 24141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3433adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3534sselda 3953 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36 eleq1w 2898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
3736ifbid 4472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 1, 0) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
38 1ex 10635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
39 c0ex 10633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
4038, 39ifex 4498 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑦𝐴, 1, 0) ∈ V
4137, 12, 40fvmpt 6759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
4235, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
43 iftrue 4456 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1)
4443adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1)
4542, 44eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) = 1)
46 ffn 6503 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
4725, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 Fn ℝ
48 fnfvelrn 6839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
4947, 35, 48sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
5045, 49eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 1 ∈ ran 𝐹)
51 ax-1ne0 10604 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
52 eldifsn 4704 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ran 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
5350, 51, 52sylanblrc 593 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
5453snssd 4726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → {1} ⊆ (ran 𝐹 ∖ {0}))
5532, 54eqssd 3970 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) = {1})
5655sumeq1d 15058 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))))
57 1re 10639 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
5824simpri 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
6059fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (vol‘(𝐹 “ {1})) = (vol‘𝐴))
6160oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) = (1 · (vol‘𝐴)))
62 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
6362recnd 10667 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
6463mulid2d 10657 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘𝐴)) = (vol‘𝐴))
6561, 64eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) = (vol‘𝐴))
6665, 63eqeltrd 2916 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ)
67 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → 𝑧 = 1)
68 sneq 4560 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 1 → {𝑧} = {1})
6968imaeq2d 5916 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 1 → (𝐹 “ {𝑧}) = (𝐹 “ {1}))
7069fveq2d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → (vol‘(𝐹 “ {𝑧})) = (vol‘(𝐹 “ {1})))
7167, 70oveq12d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))))
7271sumsn 15101 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))))
7357, 66, 72sylancr 590 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))))
7473, 65eqtrd 2859 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
7556, 74eqtrd 2859 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
7623, 75eqtrd 2859 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
7776ex 416 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
7877exlimdv 1935 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑦 𝑦𝐴 → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
7919, 78syl5bi 245 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ ∅ → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
8018, 79pm2.61dne 3100 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  cdif 3916  wss 3919  c0 4276  ifcif 4450  {csn 4550  {cpr 4552  cmpt 5132   × cxp 5540  ccnv 5541  dom cdm 5542  ran crn 5543  cima 5545   Fn wfn 6338  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   · cmul 10540  Σcsu 15042  vol*covol 24072  volcvol 24073  1citg1 24225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xadd 12505  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-xmet 20091  df-met 20092  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-mbf 24229  df-itg1 24230
This theorem is referenced by:  itg2const  24350  itg2addnclem  35056
  Copyright terms: Public domain W3C validator