MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg11 25739
Description: The integral of an indicator function is the volume of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
itg11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem itg11
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovol0 25541 . . . . 5 (vol*‘∅) = 0
2 0mbl 25587 . . . . . 6 ∅ ∈ dom vol
3 mblvol 25578 . . . . . 6 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
5 itg10 25736 . . . . 5 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
61, 4, 53eqtr4ri 2773 . . . 4 (∫1‘(ℝ × {0})) = (vol‘∅)
7 noel 4343 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑥 ∈ ∅
8 eleq2 2827 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
97, 8mtbiri 327 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝑥𝐴)
109iffalsed 4541 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → if(𝑥𝐴, 1, 0) = 0)
1110mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
12 i1f1.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
13 fconstmpt 5750 . . . . . 6 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
1411, 12, 133eqtr4g 2799 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐹 = (ℝ × {0}))
1514fveq2d 6910 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∫1𝐹) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16 fveq2 6906 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (vol‘𝐴) = (vol‘∅))
176, 15, 163eqtr4a 2800 . . 3 (𝐴 = ∅ → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
1817a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = ∅ → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
19 n0 4358 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
2012i1f1 25738 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
22 itg1val 25731 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∫1𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))))
2412i1f1lem 25737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴))
2524simpli 483 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
26 frn 6743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
28 ssdif 4153 . . . . . . . . . . . 12 (ran 𝐹 ⊆ {0, 1} → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0}))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0})
30 difprsnss 4803 . . . . . . . . . . 11 ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
3129, 30sstri 4004 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1})
33 mblss 25579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3534sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
3736ifbid 4553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 1, 0) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
38 1ex 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
39 c0ex 11252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
4038, 39ifex 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑦𝐴, 1, 0) ∈ V
4137, 12, 40fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
4235, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
43 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1)
4542, 44eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) = 1)
46 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
4725, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 Fn ℝ
48 fnfvelrn 7099 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
4947, 35, 48sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
5045, 49eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 1 ∈ ran 𝐹)
51 ax-1ne0 11221 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
52 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ran 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
5350, 51, 52sylanblrc 590 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
5453snssd 4813 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → {1} ⊆ (ran 𝐹 ∖ {0}))
5532, 54eqssd 4012 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) = {1})
5655sumeq1d 15732 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))))
57 1re 11258 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
5824simpri 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
5958ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
6059fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (vol‘(𝐹 “ {1})) = (vol‘𝐴))
6160oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) = (1 · (vol‘𝐴)))
62 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
6362recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
6463mullidd 11276 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘𝐴)) = (vol‘𝐴))
6561, 64eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) = (vol‘𝐴))
6665, 63eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ)
67 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → 𝑧 = 1)
68 sneq 4640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 1 → {𝑧} = {1})
6968imaeq2d 6079 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 1 → (𝐹 “ {𝑧}) = (𝐹 “ {1}))
7069fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → (vol‘(𝐹 “ {𝑧})) = (vol‘(𝐹 “ {1})))
7167, 70oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))))
7271sumsn 15778 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))))
7357, 66, 72sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))))
7473, 65eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
7556, 74eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
7623, 75eqtrd 2774 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
7776ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
7877exlimdv 1930 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑦 𝑦𝐴 → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
7919, 78biimtrid 242 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ ∅ → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
8018, 79pm2.61dne 3025 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632  cmpt 5230   × cxp 5686  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  Σcsu 15718  vol*covol 25510  volcvol 25511  1citg1 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-xmet 21374  df-met 21375  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668
This theorem is referenced by:  itg2const  25789  itg2addnclem  37657
  Copyright terms: Public domain W3C validator