Theorem itg11 24855

Description: The integral of an indicator function is the volume of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
itg11	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem itg11

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovol0 24657	. . . . 5 ⊢ (vol*‘∅) = 0
2		0mbl 24703	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ dom vol
3		mblvol 24694	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
5		itg10 24852	. . . . 5 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2777	. . . 4 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = (vol‘∅)
7		noel 4264	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8		eleq2 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
9	7, 8	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
10	9	iffalsed 4470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
11	10	mpteq2dv 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
12		i1f1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
13		fconstmpt 5649	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2803	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐹 = (ℝ × {0}))
15	14	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (vol‘𝐴) = (vol‘∅))
17	6, 15, 16	3eqtr4a 2804	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
19		n0 4280	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
20	12	i1f1 24854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
22		itg1val 24847	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
24	12	i1f1lem 24853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))
25	24	simpli 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
26		frn 6607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
28		ssdif 4074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ {0, 1} → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0}))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0})
30		difprsnss 4732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
31	29, 30	sstri 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1})
33		mblss 24695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
35	34	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
37	36	ifbid 4482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
38		1ex 10971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ V
39		c0ex 10969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
40	38, 39	ifex 4509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
41	37, 12, 40	fvmpt 6875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
42	35, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
43		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
45	42, 44	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = 1)
46		ffn 6600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
47	25, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 Fn ℝ
48		fnfvelrn 6958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
49	47, 35, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
50	45, 49	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ran 𝐹)
51		ax-1ne0 10940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
52		eldifsn 4720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ran 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
53	50, 51, 52	sylanblrc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
54	53	snssd 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {1} ⊆ (ran 𝐹 ∖ {0}))
55	32, 54	eqssd 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) = {1})
56	55	sumeq1d 15413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
57		1re 10975	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
58	24	simpri 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
59	58	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
60	59	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {1})) = (vol‘𝐴))
61	60	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) = (1 · (vol‘𝐴)))
62		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
64	63	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘𝐴)) = (vol‘𝐴))
65	61, 64	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) = (vol‘𝐴))
66	65, 63	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ)
67		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 = 1)
68		sneq 4571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 1 → {𝑧} = {1})
69	68	imaeq2d 5969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 1 → (◡𝐹 “ {𝑧}) = (◡𝐹 “ {1}))
70	69	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧})) = (vol‘(◡𝐹 “ {1})))
71	67, 70	oveq12d 7293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
72	71	sumsn 15458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
73	57, 66, 72	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
74	73, 65	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
75	56, 74	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
76	23, 75	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))
77	76	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
78	77	exlimdv 1936	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
79	19, 78	syl5bi 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
80	18, 79	pm2.61dne 3031	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ifcif 4459  {csn 4561  {cpr 4563   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  Σcsu 15397  vol*covol 24626  volcvol 24627  ∫₁citg1 24779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-xmet 20590  df-met 20591  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784

This theorem is referenced by:  itg2const  24905  itg2addnclem  35828