MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg11 25071
Description: The integral of an indicator function is the volume of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
itg11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itg11
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovol0 24873 . . . . 5 (vol*โ€˜โˆ…) = 0
2 0mbl 24919 . . . . . 6 โˆ… โˆˆ dom vol
3 mblvol 24910 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…)
5 itg10 25068 . . . . 5 (โˆซ1โ€˜(โ„ ร— {0})) = 0
61, 4, 53eqtr4ri 2776 . . . 4 (โˆซ1โ€˜(โ„ ร— {0})) = (volโ€˜โˆ…)
7 noel 4295 . . . . . . . . 9 ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…
8 eleq2 2827 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…))
97, 8mtbiri 327 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
109iffalsed 4502 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = 0)
1110mpteq2dv 5212 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0))
12 i1f1.1 . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
13 fconstmpt 5699 . . . . . 6 (โ„ ร— {0}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0)
1411, 12, 133eqtr4g 2802 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ๐น = (โ„ ร— {0}))
1514fveq2d 6851 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (โˆซ1โ€˜(โ„ ร— {0})))
16 fveq2 6847 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (volโ€˜๐ด) = (volโ€˜โˆ…))
176, 15, 163eqtr4a 2803 . . 3 (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
1817a1i 11 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
19 n0 4311 . . 3 (๐ด โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฆ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด)
2012i1f1 25070 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐น โˆˆ dom โˆซ1)
2120adantr 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐น โˆˆ dom โˆซ1)
22 itg1val 25063 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))))
2412i1f1lem 25069 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐น:โ„โŸถ{0, 1} โˆง (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {1}) = ๐ด))
2524simpli 485 . . . . . . . . . . . . 13 ๐น:โ„โŸถ{0, 1}
26 frn 6680 . . . . . . . . . . . . 13 (๐น:โ„โŸถ{0, 1} โ†’ ran ๐น โŠ† {0, 1})
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran ๐น โŠ† {0, 1}
28 ssdif 4104 . . . . . . . . . . . 12 (ran ๐น โŠ† {0, 1} โ†’ (ran ๐น โˆ– {0}) โŠ† ({0, 1} โˆ– {0}))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ran ๐น โˆ– {0}) โŠ† ({0, 1} โˆ– {0})
30 difprsnss 4764 . . . . . . . . . . 11 ({0, 1} โˆ– {0}) โŠ† {1}
3129, 30sstri 3958 . . . . . . . . . 10 (ran ๐น โˆ– {0}) โŠ† {1}
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (ran ๐น โˆ– {0}) โŠ† {1})
33 mblss 24911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
3534sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
36 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด))
3736ifbid 4514 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
38 1ex 11158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ V
39 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ V
4038, 39ifex 4541 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0) โˆˆ V
4137, 12, 40fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
4235, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
43 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = 1)
4443adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = 1)
4542, 44eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 1)
46 ffn 6673 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐น:โ„โŸถ{0, 1} โ†’ ๐น Fn โ„)
4725, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ๐น Fn โ„
48 fnfvelrn 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น Fn โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ran ๐น)
4947, 35, 48sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ran ๐น)
5045, 49eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ ran ๐น)
51 ax-1ne0 11127 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰  0
52 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0}) โ†” (1 โˆˆ ran ๐น โˆง 1 โ‰  0))
5350, 51, 52sylanblrc 591 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0}))
5453snssd 4774 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ {1} โŠ† (ran ๐น โˆ– {0}))
5532, 54eqssd 3966 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (ran ๐น โˆ– {0}) = {1})
5655sumeq1d 15593 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))))
57 1re 11162 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
5824simpri 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {1}) = ๐ด)
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {1}) = ๐ด)
6059fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1})) = (volโ€˜๐ด))
6160oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) = (1 ยท (volโ€˜๐ด)))
62 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
6362recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6463mulid2d 11180 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜๐ด)) = (volโ€˜๐ด))
6561, 64eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) = (volโ€˜๐ด))
6665, 63eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) โˆˆ โ„‚)
67 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = 1 โ†’ ๐‘ง = 1)
68 sneq 4601 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = 1 โ†’ {๐‘ง} = {1})
6968imaeq2d 6018 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = 1 โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}) = (โ—ก๐น โ€œ {1}))
7069fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = 1 โ†’ (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง})) = (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1})))
7167, 70oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))))
7271sumsn 15638 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))))
7357, 66, 72sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))))
7473, 65eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (volโ€˜๐ด))
7556, 74eqtrd 2777 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (volโ€˜๐ด))
7623, 75eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
7776ex 414 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
7877exlimdv 1937 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
7919, 78biimtrid 241 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
8018, 79pm2.61dne 3032 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3912   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591  {cpr 4593   โ†ฆ cmpt 5193   ร— cxp 5636  โ—กccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   โ€œ cima 5641   Fn wfn 6496  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063  ฮฃcsu 15577  vol*covol 24842  volcvol 24843  โˆซ1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  itg2const  25121  itg2addnclem  36158
  Copyright terms: Public domain W3C validator