Theorem itg11 25733

Description: The integral of an indicator function is the volume of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
itg11	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem itg11

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovol0 25535	. . . . 5 ⊢ (vol*‘∅) = 0
2		0mbl 25581	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ dom vol
3		mblvol 25572	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
5		itg10 25730	. . . . 5 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2795	. . . 4 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = (vol‘∅)
7		noel 4290	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8		eleq2 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
9	7, 8	mtbiri 329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
10	9	iffalsed 4490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
11	10	mpteq2dv 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
12		i1f1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
13		fconstmpt 5707	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐹 = (ℝ × {0}))
15	14	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16		fveq2 6863	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (vol‘𝐴) = (vol‘∅))
17	6, 15, 16	3eqtr4a 2822	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
19		n0 4305	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
20	12	i1f1 25732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
21	20	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
22		itg1val 25725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
24	12	i1f1lem 25731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))
25	24	simpli 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
26		frn 6695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
28		ssdif 4097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ {0, 1} → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0}))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0})
30		difprsnss 4758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
31	29, 30	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1})
33		mblss 25573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
34	33	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
35	34	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
37	36	ifbid 4503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
38		1ex 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ V
39		c0ex 11170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
40	38, 39	ifex 4530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
41	37, 12, 40	fvmpt 6971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
42	35, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
43		iftrue 4485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
44	43	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
45	42, 44	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = 1)
46		ffn 6687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
47	25, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 Fn ℝ
48		fnfvelrn 7057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
49	47, 35, 48	sylancr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
50	45, 49	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ran 𝐹)
51		ax-1ne0 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
52		eldifsn 4745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ran 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
53	50, 51, 52	sylanblrc 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
54	53	snssd 4744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {1} ⊆ (ran 𝐹 ∖ {0}))
55	32, 54	eqssd 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) = {1})
56	55	sumeq1d 15710	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
57		1re 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
58	24	simpri 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
59	58	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
60	59	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {1})) = (vol‘𝐴))
61	60	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) = (1 · (vol‘𝐴)))
62		simplr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
64	63	mullidd 11197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘𝐴)) = (vol‘𝐴))
65	61, 64	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) = (vol‘𝐴))
66	65, 63	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ)
67		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 = 1)
68		sneq 4591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 1 → {𝑧} = {1})
69	68	imaeq2d 6046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 1 → (◡𝐹 “ {𝑧}) = (◡𝐹 “ {1}))
70	69	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧})) = (vol‘(◡𝐹 “ {1})))
71	67, 70	oveq12d 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
72	71	sumsn 15756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
73	57, 66, 72	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
74	73, 65	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
75	56, 74	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
76	23, 75	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))
77	76	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
78	77	exlimdv 1952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
79	19, 78	biimtrid 244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
80	18, 79	pm2.61dne 3042	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4479  {csn 4581  {cpr 4583   ↦ cmpt 5180   × cxp 5643  ^◡ccnv 5644  dom cdm 5645  ran crn 5646   “ cima 5648   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075  Σcsu 15696  vol*covol 25504  volcvol 25505  ∫₁citg1 25657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xadd 13112  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-sum 15697  df-xmet 21397  df-met 21398  df-ovol 25506  df-vol 25507  df-mbf 25661  df-itg1 25662

This theorem is referenced by:  itg2const  25782  itg2addnclem  38134