Theorem itg11 25811

Description: The integral of an indicator function is the volume of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
itg11	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem itg11

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovol0 25613	. . . . 5 ⊢ (vol*‘∅) = 0
2		0mbl 25659	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ dom vol
3		mblvol 25650	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
5		itg10 25808	. . . . 5 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2799	. . . 4 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = (vol‘∅)
7		noel 4293	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8		eleq2 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
9	7, 8	mtbiri 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
10	9	iffalsed 4494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
11	10	mpteq2dv 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
12		i1f1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
13		fconstmpt 5714	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐹 = (ℝ × {0}))
15	14	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16		fveq2 6871	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (vol‘𝐴) = (vol‘∅))
17	6, 15, 16	3eqtr4a 2826	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
19		n0 4308	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
20	12	i1f1 25810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
21	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
22		itg1val 25803	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
24	12	i1f1lem 25809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))
25	24	simpli 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
26		frn 6703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
28		ssdif 4100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ {0, 1} → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0}))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0})
30		difprsnss 4762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
31	29, 30	sstri 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1})
33		mblss 25651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
35	34	sselda 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
37	36	ifbid 4507	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
38		1ex 11191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ V
39		c0ex 11188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
40	38, 39	ifex 4534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
41	37, 12, 40	fvmpt 6979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
42	35, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
43		iftrue 4489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
44	43	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
45	42, 44	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = 1)
46		ffn 6695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
47	25, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 Fn ℝ
48		fnfvelrn 7065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
49	47, 35, 48	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
50	45, 49	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ran 𝐹)
51		ax-1ne0 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
52		eldifsn 4749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ran 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
53	50, 51, 52	sylanblrc 601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
54	53	snssd 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {1} ⊆ (ran 𝐹 ∖ {0}))
55	32, 54	eqssd 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) = {1})
56	55	sumeq1d 15741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))))
57		1re 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
58	24	simpri 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
59	58	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
60	59	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {1})) = (vol‘𝐴))
61	60	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) = (1 · (vol‘𝐴)))
62		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
64	63	mullidd 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘𝐴)) = (vol‘𝐴))
65	61, 64	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) = (vol‘𝐴))
66	65, 63	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ)
67		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 = 1)
68		sneq 4595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 1 → {𝑧} = {1})
69	68	imaeq2d 6053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 1 → (◡𝐹 “ {𝑧}) = (◡𝐹 “ {1}))
70	69	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧})) = (vol‘(◡𝐹 “ {1})))
71	67, 70	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
72	71	sumsn 15787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
73	57, 66, 72	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(◡𝐹 “ {1}))))
74	73, 65	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
75	56, 74	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
76	23, 75	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))
77	76	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
78	77	exlimdv 1956	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
79	19, 78	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ ∅ → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴)))
80	18, 79	pm2.61dne 3046	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘𝐹) = (vol‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  ifcif 4483  {csn 4585  {cpr 4587   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652  ran crn 5653   “ cima 5655   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093  Σcsu 15727  vol*covol 25582  volcvol 25583  ∫₁citg1 25735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13129  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-xmet 21475  df-met 21476  df-ovol 25584  df-vol 25585  df-mbf 25739  df-itg1 25740

This theorem is referenced by:  itg2const  25860  itg2addnclem  38182