MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg11 25564
Description: The integral of an indicator function is the volume of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
itg11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itg11
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovol0 25366 . . . . 5 (vol*โ€˜โˆ…) = 0
2 0mbl 25412 . . . . . 6 โˆ… โˆˆ dom vol
3 mblvol 25403 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…)
5 itg10 25561 . . . . 5 (โˆซ1โ€˜(โ„ ร— {0})) = 0
61, 4, 53eqtr4ri 2763 . . . 4 (โˆซ1โ€˜(โ„ ร— {0})) = (volโ€˜โˆ…)
7 noel 4323 . . . . . . . . 9 ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…
8 eleq2 2814 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…))
97, 8mtbiri 327 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
109iffalsed 4532 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = 0)
1110mpteq2dv 5241 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0))
12 i1f1.1 . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
13 fconstmpt 5729 . . . . . 6 (โ„ ร— {0}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0)
1411, 12, 133eqtr4g 2789 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ๐น = (โ„ ร— {0}))
1514fveq2d 6886 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (โˆซ1โ€˜(โ„ ร— {0})))
16 fveq2 6882 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (volโ€˜๐ด) = (volโ€˜โˆ…))
176, 15, 163eqtr4a 2790 . . 3 (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
1817a1i 11 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
19 n0 4339 . . 3 (๐ด โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฆ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด)
2012i1f1 25563 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐น โˆˆ dom โˆซ1)
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐น โˆˆ dom โˆซ1)
22 itg1val 25556 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))))
2412i1f1lem 25562 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐น:โ„โŸถ{0, 1} โˆง (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {1}) = ๐ด))
2524simpli 483 . . . . . . . . . . . . 13 ๐น:โ„โŸถ{0, 1}
26 frn 6715 . . . . . . . . . . . . 13 (๐น:โ„โŸถ{0, 1} โ†’ ran ๐น โІ {0, 1})
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran ๐น โІ {0, 1}
28 ssdif 4132 . . . . . . . . . . . 12 (ran ๐น โІ {0, 1} โ†’ (ran ๐น โˆ– {0}) โІ ({0, 1} โˆ– {0}))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ran ๐น โˆ– {0}) โІ ({0, 1} โˆ– {0})
30 difprsnss 4795 . . . . . . . . . . 11 ({0, 1} โˆ– {0}) โІ {1}
3129, 30sstri 3984 . . . . . . . . . 10 (ran ๐น โˆ– {0}) โІ {1}
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (ran ๐น โˆ– {0}) โІ {1})
33 mblss 25404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ ๐ด โІ โ„)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โІ โ„)
3534sselda 3975 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
36 eleq1w 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด))
3736ifbid 4544 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
38 1ex 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ V
39 c0ex 11207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ V
4038, 39ifex 4571 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0) โˆˆ V
4137, 12, 40fvmpt 6989 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
4235, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
43 iftrue 4527 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = 1)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, 1, 0) = 1)
4542, 44eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 1)
46 ffn 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐น:โ„โŸถ{0, 1} โ†’ ๐น Fn โ„)
4725, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ๐น Fn โ„
48 fnfvelrn 7073 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น Fn โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ran ๐น)
4947, 35, 48sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ran ๐น)
5045, 49eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ ran ๐น)
51 ax-1ne0 11176 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰  0
52 eldifsn 4783 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0}) โ†” (1 โˆˆ ran ๐น โˆง 1 โ‰  0))
5350, 51, 52sylanblrc 589 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0}))
5453snssd 4805 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ {1} โІ (ran ๐น โˆ– {0}))
5532, 54eqssd 3992 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (ran ๐น โˆ– {0}) = {1})
5655sumeq1d 15649 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))))
57 1re 11213 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
5824simpri 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {1}) = ๐ด)
5958ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {1}) = ๐ด)
6059fveq2d 6886 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1})) = (volโ€˜๐ด))
6160oveq2d 7418 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) = (1 ยท (volโ€˜๐ด)))
62 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
6362recnd 11241 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6463mullidd 11231 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜๐ด)) = (volโ€˜๐ด))
6561, 64eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) = (volโ€˜๐ด))
6665, 63eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) โˆˆ โ„‚)
67 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = 1 โ†’ ๐‘ง = 1)
68 sneq 4631 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = 1 โ†’ {๐‘ง} = {1})
6968imaeq2d 6050 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = 1 โ†’ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}) = (โ—ก๐น โ€œ {1}))
7069fveq2d 6886 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = 1 โ†’ (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง})) = (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1})))
7167, 70oveq12d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))))
7271sumsn 15694 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))))
7357, 66, 72sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (1 ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {1}))))
7473, 65eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ {1} (๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (volโ€˜๐ด))
7556, 74eqtrd 2764 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ (ran ๐น โˆ– {0})(๐‘ง ยท (volโ€˜(โ—ก๐น โ€œ {๐‘ง}))) = (volโ€˜๐ด))
7623, 75eqtrd 2764 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
7776ex 412 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
7877exlimdv 1928 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
7919, 78biimtrid 241 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด)))
8018, 79pm2.61dne 3020 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐น) = (volโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   โˆ– cdif 3938   โІ wss 3941  โˆ…c0 4315  ifcif 4521  {csn 4621  {cpr 4623   โ†ฆ cmpt 5222   ร— cxp 5665  โ—กccnv 5666  dom cdm 5667  ran crn 5668   โ€œ cima 5670   Fn wfn 6529  โŸถwf 6530  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   ยท cmul 11112  ฮฃcsu 15634  vol*covol 25335  volcvol 25336  โˆซ1citg1 25488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xadd 13094  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-xmet 21227  df-met 21228  df-ovol 25337  df-vol 25338  df-mbf 25492  df-itg1 25493
This theorem is referenced by:  itg2const  25614  itg2addnclem  37043
  Copyright terms: Public domain W3C validator