Theorem areaf 27177

Description: Area measurement is a function whose values are nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areaf	⊢ area:dom area⟶(0[,)+∞)

Proof of Theorem areaf

Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfarea 27176	. 2 ⊢ area = (𝑠 ∈ dom area ↦ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
2		areambl 27174	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) ∈ ℝ))
3	2	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
4		dmarea 27173	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ dom area ↔ (𝑠 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑠 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑠 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
5	4	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑠 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
6	3, 5	itgrecl 26008	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ ℝ)
7	2	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
8		mblss 25741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (𝑠 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
9		ovolge0 25691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
11		mblvol 25740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
12	7, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
13	10, 12	breqtrrd 5141	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol‘(𝑠 “ {𝑥})))
14	5, 3, 13	itgge0 26021	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → 0 ≤ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
15		elrege0 13497	. . 3 ⊢ (∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥))
16	6, 14, 15	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ (0[,)+∞))
17	1, 16	fmpti 7111	1 ⊢ area:dom area⟶(0[,)+∞)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  +∞cpnf 11255   ≤ cle 11259  [,)cico 13390  vol*covol 25672  volcvol 25673  𝐿¹cibl 25827  ∫citg 25828  areacarea 27171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13154  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-sum 15762  df-xmet 21565  df-met 21566  df-ovol 25674  df-vol 25675  df-mbf 25829  df-itg1 25830  df-itg2 25831  df-ibl 25832  df-itg 25833  df-0p 25880  df-area 27172

This theorem is used by:  areacl  27178  areage0  27179