Theorem areaf 26941

Description: Area measurement is a function whose values are nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areaf	⊢ area:dom area⟶(0[,)+∞)

Proof of Theorem areaf

Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfarea 26940	. 2 ⊢ area = (𝑠 ∈ dom area ↦ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
2		areambl 26938	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) ∈ ℝ))
3	2	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
4		dmarea 26937	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ dom area ↔ (𝑠 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑠 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑠 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
5	4	simp3bi 1148	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑠 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
6	3, 5	itgrecl 25778	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ ℝ)
7	2	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
8		mblss 25511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (𝑠 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
9		ovolge0 25461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
11		mblvol 25510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
12	7, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
13	10, 12	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol‘(𝑠 “ {𝑥})))
14	5, 3, 13	itgge0 25791	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → 0 ≤ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
15		elrege0 13401	. . 3 ⊢ (∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥))
16	6, 14, 15	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ (0[,)+∞))
17	1, 16	fmpti 7059	1 ⊢ area:dom area⟶(0[,)+∞)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  +∞cpnf 11170   ≤ cle 11174  [,)cico 13294  vol*covol 25442  volcvol 25443  𝐿¹cibl 25597  ∫citg 25598  areacarea 26935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xadd 13058  df-ioo 13296  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643  df-xmet 21340  df-met 21341  df-ovol 25444  df-vol 25445  df-mbf 25599  df-itg1 25600  df-itg2 25601  df-ibl 25602  df-itg 25603  df-0p 25650  df-area 26936

This theorem is referenced by:  areacl  26942  areage0  26943