Theorem areaf 27023

Description: Area measurement is a function whose values are nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areaf	⊢ area:dom area⟶(0[,)+∞)

Proof of Theorem areaf

Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfarea 27022	. 2 ⊢ area = (𝑠 ∈ dom area ↦ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
2		areambl 27020	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) ∈ ℝ))
3	2	simprd 499	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
4		dmarea 27019	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ dom area ↔ (𝑠 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑠 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑠 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
5	4	simp3bi 1160	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑠 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
6	3, 5	itgrecl 25857	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ ℝ)
7	2	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
8		mblss 25590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (𝑠 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
9		ovolge0 25540	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
11		mblvol 25589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
12	7, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
13	10, 12	breqtrrd 5128	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol‘(𝑠 “ {𝑥})))
14	5, 3, 13	itgge0 25870	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → 0 ≤ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
15		elrege0 13458	. . 3 ⊢ (∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥))
16	6, 14, 15	sylanbrc 592	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ (0[,)+∞))
17	1, 16	fmpti 7093	1 ⊢ area:dom area⟶(0[,)+∞)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076   ⊆ wss 3904  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5645  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647   “ cima 5650  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  +∞cpnf 11213   ≤ cle 11217  [,)cico 13351  vol*covol 25521  volcvol 25522  𝐿¹cibl 25676  ∫citg 25677  areacarea 27017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xadd 13115  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714  df-xmet 21414  df-met 21415  df-ovol 25523  df-vol 25524  df-mbf 25678  df-itg1 25679  df-itg2 25680  df-ibl 25681  df-itg 25682  df-0p 25729  df-area 27018

This theorem is referenced by:  areacl  27024  areage0  27025