Theorem areaf 27298

Description: Area measurement is a function whose values are nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areaf	⊢ area:dom area⟶(0[,)+∞)

Proof of Theorem areaf

Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfarea 27297	. 2 ⊢ area = (𝑠 ∈ dom area ↦ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
2		areambl 27295	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) ∈ ℝ))
3	2	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
4		dmarea 27294	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ dom area ↔ (𝑠 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑠 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑠 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
5	4	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑠 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1)
6	3, 5	itgrecl 26127	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ ℝ)
7	2	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
8		mblss 25861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (𝑠 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
9		ovolge0 25811	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
11		mblvol 25860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
12	7, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝑠 “ {𝑥})))
13	10, 12	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ dom area ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol‘(𝑠 “ {𝑥})))
14	5, 3, 13	itgge0 26140	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → 0 ≤ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
15		elrege0 13592	. . 3 ⊢ (∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥))
16	6, 14, 15	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ dom area → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ (0[,)+∞))
17	1, 16	fmpti 7117	1 ⊢ area:dom area⟶(0[,)+∞)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   “ cima 5654  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  +∞cpnf 11347   ≤ cle 11351  [,)cico 13485  vol*covol 25792  volcvol 25793  𝐿¹cibl 25947  ∫citg 25948  areacarea 27292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xadd 13249  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-xmet 21680  df-met 21681  df-ovol 25794  df-vol 25795  df-mbf 25949  df-itg1 25950  df-itg2 25951  df-ibl 25952  df-itg 25953  df-0p 26000  df-area 27293

This theorem is used by:  areacl  27299  areage0  27300