Theorem mblss 25727

Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblss	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbl 25722	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ∖ cdif 3905   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117   + caddc 11121  vol*covol 25658  volcvol 25659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-ovol 25660  df-vol 25661

This theorem is used by:  volss  25729  nulmbl2  25732  unmbl  25733  shftmbl  25734  unidmvol  25737  inmbl  25738  difmbl  25739  volun  25741  volinun  25742  volfiniun  25743  voliunlem2  25747  voliunlem3  25748  volsup  25752  volsup2  25801  volcn  25802  vitalilem4  25807  vitalilem5  25808  vitali  25809  ismbf  25824  ismbfcn  25825  mbfconst  25829  mbfid  25831  cncombf  25854  cnmbf  25855  i1fima2  25875  i1fd  25877  itg1ge0  25882  i1f1lem  25885  itg11  25887  i1fadd  25891  i1fmul  25892  itg1addlem2  25893  itg1addlem5  25896  i1fres  25901  itg1ge0a  25907  itg1climres  25910  mbfi1fseqlem4  25914  mbfi1flim  25919  mbfmullem2  25920  itg2const2  25937  itg2splitlem  25944  itg2split  25945  itg2gt0  25956  itg2cnlem2  25958  ibladdlem  26016  itgaddlem1  26019  iblabslem  26024  itggt0  26040  itgcn  26041  ftc1lem4  26235  itgulm  26608  areaf  27163  dmvlsiga  34550  volsupnfl  38357  cnambfre  38360  itg2addnclem  38363  ibladdnclem  38368  itgaddnclem1  38370  iblabsnclem  38375  ftc1cnnclem  38383  volge0  46716  dmvolss  46740  vonvol  47417