Theorem mblss 24600

Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblss	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbl 24595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805  vol*covol 24531  volcvol 24532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-ovol 24533  df-vol 24534

This theorem is referenced by:  volss  24602  nulmbl2  24605  unmbl  24606  shftmbl  24607  unidmvol  24610  inmbl  24611  difmbl  24612  volun  24614  volinun  24615  volfiniun  24616  voliunlem2  24620  voliunlem3  24621  volsup  24625  volsup2  24674  volcn  24675  vitalilem4  24680  vitalilem5  24681  vitali  24682  ismbf  24697  ismbfcn  24698  mbfconst  24702  mbfid  24704  cncombf  24727  cnmbf  24728  i1fima2  24748  i1fd  24750  itg1ge0  24755  i1f1lem  24758  itg11  24760  i1fadd  24764  i1fmul  24765  itg1addlem2  24766  itg1addlem5  24770  i1fres  24775  itg1ge0a  24781  itg1climres  24784  mbfi1fseqlem4  24788  mbfi1flim  24793  mbfmullem2  24794  itg2const2  24811  itg2splitlem  24818  itg2split  24819  itg2gt0  24830  itg2cnlem2  24832  ibladdlem  24889  itgaddlem1  24892  iblabslem  24897  itggt0  24913  itgcn  24914  ftc1lem4  25108  itgulm  25472  areaf  26016  dmvlsiga  31997  volsupnfl  35749  cnambfre  35752  itg2addnclem  35755  ibladdnclem  35760  itgaddnclem1  35762  iblabsnclem  35767  ftc1cnnclem  35775  volge0  43392  dmvolss  43416  vonvol  44090