Theorem mblss 25765

Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblss	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbl 25760	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127   + caddc 11131  vol*covol 25696  volcvol 25697

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-ovol 25698  df-vol 25699

This theorem is used by:  volss  25767  nulmbl2  25770  unmbl  25771  shftmbl  25772  unidmvol  25775  inmbl  25776  difmbl  25777  volun  25779  volinun  25780  volfiniun  25781  voliunlem2  25785  voliunlem3  25786  volsup  25790  volsup2  25839  volcn  25840  vitalilem4  25845  vitalilem5  25846  vitali  25847  ismbf  25862  ismbfcn  25863  mbfconst  25867  mbfid  25869  cncombf  25892  cnmbf  25893  i1fima2  25913  i1fd  25915  itg1ge0  25920  i1f1lem  25923  itg11  25925  i1fadd  25929  i1fmul  25930  itg1addlem2  25931  itg1addlem5  25934  i1fres  25939  itg1ge0a  25945  itg1climres  25948  mbfi1fseqlem4  25952  mbfi1flim  25957  mbfmullem2  25958  itg2const2  25975  itg2splitlem  25982  itg2split  25983  itg2gt0  25994  itg2cnlem2  25996  ibladdlem  26054  itgaddlem1  26057  iblabslem  26062  itggt0  26078  itgcn  26079  ftc1lem4  26273  itgulm  26651  areaf  27206  dmvlsiga  34647  volsupnfl  38422  cnambfre  38425  itg2addnclem  38428  ibladdnclem  38433  itgaddnclem1  38435  iblabsnclem  38440  ftc1cnnclem  38448  volge0  46797  dmvolss  46821  vonvol  47498