MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mblss 23639
Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblss (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbl 23634 . 2 (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))))
21simplbi 492 1 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  cdif 3766  cin 3768  wss 3769  𝒫 cpw 4349  dom cdm 5312  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223   + caddc 10227  vol*covol 23570  volcvol 23571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-ovol 23572  df-vol 23573
This theorem is referenced by:  volss  23641  nulmbl2  23644  unmbl  23645  shftmbl  23646  unidmvol  23649  inmbl  23650  difmbl  23651  volun  23653  volinun  23654  volfiniun  23655  voliunlem2  23659  voliunlem3  23660  volsup  23664  volsup2  23713  volcn  23714  vitalilem4  23719  vitalilem5  23720  vitali  23721  ismbf  23736  ismbfcn  23737  mbfconst  23741  mbfid  23743  cncombf  23766  cnmbf  23767  i1fima2  23787  i1fd  23789  itg1ge0  23794  i1f1lem  23797  itg11  23799  i1fadd  23803  i1fmul  23804  itg1addlem2  23805  itg1addlem5  23808  i1fres  23813  itg1ge0a  23819  itg1climres  23822  mbfi1fseqlem4  23826  mbfi1flim  23831  mbfmullem2  23832  itg2const2  23849  itg2splitlem  23856  itg2split  23857  itg2gt0  23868  itg2cnlem2  23870  ibladdlem  23927  itgaddlem1  23930  iblabslem  23935  itggt0  23949  itgcn  23950  ftc1lem4  24143  itgulm  24503  areaf  25040  dmvlsiga  30708  volsupnfl  33943  cnambfre  33946  itg2addnclem  33949  ibladdnclem  33954  itgaddnclem1  33956  iblabsnclem  33961  ftc1cnnclem  33971  volge0  40916  dmvolss  40941  vonvol  41618
  Copyright terms: Public domain W3C validator