Theorem mblss 25832

Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblss	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbl 25827	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  dom cdm 5651  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180   + caddc 11184  vol*covol 25763  volcvol 25764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-ovol 25765  df-vol 25766

This theorem is used by:  volss  25834  nulmbl2  25837  unmbl  25838  shftmbl  25839  unidmvol  25842  inmbl  25843  difmbl  25844  volun  25846  volinun  25847  volfiniun  25848  voliunlem2  25852  voliunlem3  25853  volsup  25857  volsup2  25906  volcn  25907  vitalilem4  25912  vitalilem5  25913  vitali  25914  ismbf  25929  ismbfcn  25930  mbfconst  25934  mbfid  25936  cncombf  25959  cnmbf  25960  i1fima2  25980  i1fd  25982  itg1ge0  25987  i1f1lem  25990  itg11  25992  i1fadd  25996  i1fmul  25997  itg1addlem2  25998  itg1addlem5  26001  i1fres  26006  itg1ge0a  26012  itg1climres  26015  mbfi1fseqlem4  26019  mbfi1flim  26024  mbfmullem2  26025  itg2const2  26042  itg2splitlem  26049  itg2split  26050  itg2gt0  26061  itg2cnlem2  26063  ibladdlem  26120  itgaddlem1  26123  iblabslem  26128  itggt0  26144  itgcn  26145  ftc1lem4  26339  itgulm  26717  areaf  27271  dmvlsiga  34743  volsupnfl  38551  cnambfre  38554  itg2addnclem  38557  ibladdnclem  38562  itgaddnclem1  38564  iblabsnclem  38569  ftc1cnnclem  38577  volge0  46915  dmvolss  46939  vonvol  47616