MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mblss 24047
Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblss (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbl 24042 . 2 (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))))
21simplbi 498 1 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2106  wral 3142  cdif 3936  cin 3938  wss 3939  𝒫 cpw 4541  dom cdm 5553  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528   + caddc 10532  vol*covol 23978  volcvol 23979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-ovol 23980  df-vol 23981
This theorem is referenced by:  volss  24049  nulmbl2  24052  unmbl  24053  shftmbl  24054  unidmvol  24057  inmbl  24058  difmbl  24059  volun  24061  volinun  24062  volfiniun  24063  voliunlem2  24067  voliunlem3  24068  volsup  24072  volsup2  24121  volcn  24122  vitalilem4  24127  vitalilem5  24128  vitali  24129  ismbf  24144  ismbfcn  24145  mbfconst  24149  mbfid  24151  cncombf  24174  cnmbf  24175  i1fima2  24195  i1fd  24197  itg1ge0  24202  i1f1lem  24205  itg11  24207  i1fadd  24211  i1fmul  24212  itg1addlem2  24213  itg1addlem5  24216  i1fres  24221  itg1ge0a  24227  itg1climres  24230  mbfi1fseqlem4  24234  mbfi1flim  24239  mbfmullem2  24240  itg2const2  24257  itg2splitlem  24264  itg2split  24265  itg2gt0  24276  itg2cnlem2  24278  ibladdlem  24335  itgaddlem1  24338  iblabslem  24343  itggt0  24357  itgcn  24358  ftc1lem4  24551  itgulm  24911  areaf  25453  dmvlsiga  31275  volsupnfl  34805  cnambfre  34808  itg2addnclem  34811  ibladdnclem  34816  itgaddnclem1  34818  iblabsnclem  34823  ftc1cnnclem  34833  volge0  42108  dmvolss  42133  vonvol  42807
  Copyright terms: Public domain W3C validator