MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mblss 24061
Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblss (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbl 24056 . 2 (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))))
21simplbi 498 1 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  cdif 3932  cin 3934  wss 3935  𝒫 cpw 4537  dom cdm 5549  cfv 6349  (class class class)co 7145  cr 10525   + caddc 10529  vol*covol 23992  volcvol 23993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-ovol 23994  df-vol 23995
This theorem is referenced by:  volss  24063  nulmbl2  24066  unmbl  24067  shftmbl  24068  unidmvol  24071  inmbl  24072  difmbl  24073  volun  24075  volinun  24076  volfiniun  24077  voliunlem2  24081  voliunlem3  24082  volsup  24086  volsup2  24135  volcn  24136  vitalilem4  24141  vitalilem5  24142  vitali  24143  ismbf  24158  ismbfcn  24159  mbfconst  24163  mbfid  24165  cncombf  24188  cnmbf  24189  i1fima2  24209  i1fd  24211  itg1ge0  24216  i1f1lem  24219  itg11  24221  i1fadd  24225  i1fmul  24226  itg1addlem2  24227  itg1addlem5  24230  i1fres  24235  itg1ge0a  24241  itg1climres  24244  mbfi1fseqlem4  24248  mbfi1flim  24253  mbfmullem2  24254  itg2const2  24271  itg2splitlem  24278  itg2split  24279  itg2gt0  24290  itg2cnlem2  24292  ibladdlem  24349  itgaddlem1  24352  iblabslem  24357  itggt0  24371  itgcn  24372  ftc1lem4  24565  itgulm  24925  areaf  25467  dmvlsiga  31288  volsupnfl  34819  cnambfre  34822  itg2addnclem  34825  ibladdnclem  34830  itgaddnclem1  34832  iblabsnclem  34837  ftc1cnnclem  34847  volge0  42126  dmvolss  42151  vonvol  42825
  Copyright terms: Public domain W3C validator