Theorem mblss 25671

Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblss	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbl 25666	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4563  dom cdm 5663  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100   + caddc 11104  vol*covol 25602  volcvol 25603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-ovol 25604  df-vol 25605

This theorem is referenced by:  volss  25673  nulmbl2  25676  unmbl  25677  shftmbl  25678  unidmvol  25681  inmbl  25682  difmbl  25683  volun  25685  volinun  25686  volfiniun  25687  voliunlem2  25691  voliunlem3  25692  volsup  25696  volsup2  25745  volcn  25746  vitalilem4  25751  vitalilem5  25752  vitali  25753  ismbf  25768  ismbfcn  25769  mbfconst  25773  mbfid  25775  cncombf  25798  cnmbf  25799  i1fima2  25819  i1fd  25821  itg1ge0  25826  i1f1lem  25829  itg11  25831  i1fadd  25835  i1fmul  25836  itg1addlem2  25837  itg1addlem5  25840  i1fres  25845  itg1ge0a  25851  itg1climres  25854  mbfi1fseqlem4  25858  mbfi1flim  25863  mbfmullem2  25864  itg2const2  25881  itg2splitlem  25888  itg2split  25889  itg2gt0  25900  itg2cnlem2  25902  ibladdlem  25960  itgaddlem1  25963  iblabslem  25968  itggt0  25984  itgcn  25985  ftc1lem4  26179  itgulm  26549  areaf  27104  dmvlsiga  34497  volsupnfl  38294  cnambfre  38297  itg2addnclem  38300  ibladdnclem  38305  itgaddnclem1  38307  iblabsnclem  38312  ftc1cnnclem  38320  volge0  46655  dmvolss  46679  vonvol  47356