Theorem mblss 25579

Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblss	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbl 25574	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058   ∖ cdif 3959   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  𝒫 cpw 4604  dom cdm 5688  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151   + caddc 11155  vol*covol 25510  volcvol 25511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-ovol 25512  df-vol 25513

This theorem is referenced by:  volss  25581  nulmbl2  25584  unmbl  25585  shftmbl  25586  unidmvol  25589  inmbl  25590  difmbl  25591  volun  25593  volinun  25594  volfiniun  25595  voliunlem2  25599  voliunlem3  25600  volsup  25604  volsup2  25653  volcn  25654  vitalilem4  25659  vitalilem5  25660  vitali  25661  ismbf  25676  ismbfcn  25677  mbfconst  25681  mbfid  25683  cncombf  25706  cnmbf  25707  i1fima2  25727  i1fd  25729  itg1ge0  25734  i1f1lem  25737  itg11  25739  i1fadd  25743  i1fmul  25744  itg1addlem2  25745  itg1addlem5  25749  i1fres  25754  itg1ge0a  25760  itg1climres  25763  mbfi1fseqlem4  25767  mbfi1flim  25772  mbfmullem2  25773  itg2const2  25790  itg2splitlem  25797  itg2split  25798  itg2gt0  25809  itg2cnlem2  25811  ibladdlem  25869  itgaddlem1  25872  iblabslem  25877  itggt0  25893  itgcn  25894  ftc1lem4  26094  itgulm  26465  areaf  27018  dmvlsiga  34109  volsupnfl  37651  cnambfre  37654  itg2addnclem  37657  ibladdnclem  37662  itgaddnclem1  37664  iblabsnclem  37669  ftc1cnnclem  37677  volge0  45916  dmvolss  45940  vonvol  46617