Theorem mblss 24295

Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblss	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbl 24290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054   ∖ cdif 3850   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4498  dom cdm 5535  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  ℝcr 10626   + caddc 10630  vol*covol 24226  volcvol 24227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-inf 8992  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-rp 12485  df-ico 12839  df-icc 12840  df-fz 12994  df-seq 13473  df-exp 13534  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-ovol 24228  df-vol 24229

This theorem is referenced by:  volss  24297  nulmbl2  24300  unmbl  24301  shftmbl  24302  unidmvol  24305  inmbl  24306  difmbl  24307  volun  24309  volinun  24310  volfiniun  24311  voliunlem2  24315  voliunlem3  24316  volsup  24320  volsup2  24369  volcn  24370  vitalilem4  24375  vitalilem5  24376  vitali  24377  ismbf  24392  ismbfcn  24393  mbfconst  24397  mbfid  24399  cncombf  24422  cnmbf  24423  i1fima2  24443  i1fd  24445  itg1ge0  24450  i1f1lem  24453  itg11  24455  i1fadd  24459  i1fmul  24460  itg1addlem2  24461  itg1addlem5  24465  i1fres  24470  itg1ge0a  24476  itg1climres  24479  mbfi1fseqlem4  24483  mbfi1flim  24488  mbfmullem2  24489  itg2const2  24506  itg2splitlem  24513  itg2split  24514  itg2gt0  24525  itg2cnlem2  24527  ibladdlem  24584  itgaddlem1  24587  iblabslem  24592  itggt0  24608  itgcn  24609  ftc1lem4  24803  itgulm  25167  areaf  25711  dmvlsiga  31679  volsupnfl  35477  cnambfre  35480  itg2addnclem  35483  ibladdnclem  35488  itgaddnclem1  35490  iblabsnclem  35495  ftc1cnnclem  35503  volge0  43084  dmvolss  43108  vonvol  43782