Theorem mblss 25858

Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblss	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbl 25853	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203   + caddc 11207  vol*covol 25789  volcvol 25790

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-ovol 25791  df-vol 25792

This theorem is used by:  volss  25860  nulmbl2  25863  unmbl  25864  shftmbl  25865  unidmvol  25868  inmbl  25869  difmbl  25870  volun  25872  volinun  25873  volfiniun  25874  voliunlem2  25878  voliunlem3  25879  volsup  25883  volsup2  25932  volcn  25933  vitalilem4  25938  vitalilem5  25939  vitali  25940  ismbf  25955  ismbfcn  25956  mbfconst  25960  mbfid  25962  cncombf  25985  cnmbf  25986  i1fima2  26006  i1fd  26008  itg1ge0  26013  i1f1lem  26016  itg11  26018  i1fadd  26022  i1fmul  26023  itg1addlem2  26024  itg1addlem5  26027  i1fres  26032  itg1ge0a  26038  itg1climres  26041  mbfi1fseqlem4  26045  mbfi1flim  26050  mbfmullem2  26051  itg2const2  26068  itg2splitlem  26075  itg2split  26076  itg2gt0  26087  itg2cnlem2  26089  ibladdlem  26146  itgaddlem1  26149  iblabslem  26154  itggt0  26170  itgcn  26171  ftc1lem4  26365  itgulm  26741  areaf  27295  dmvlsiga  34808  volsupnfl  38677  cnambfre  38680  itg2addnclem  38683  ibladdnclem  38688  itgaddnclem1  38690  iblabsnclem  38695  ftc1cnnclem  38703  volge0  47065  dmvolss  47089  vonvol  47766