Theorem mblss 25498

Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblss	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbl 25493	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∖ cdif 3886   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   + caddc 11041  vol*covol 25429  volcvol 25430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-ovol 25431  df-vol 25432

This theorem is referenced by:  volss  25500  nulmbl2  25503  unmbl  25504  shftmbl  25505  unidmvol  25508  inmbl  25509  difmbl  25510  volun  25512  volinun  25513  volfiniun  25514  voliunlem2  25518  voliunlem3  25519  volsup  25523  volsup2  25572  volcn  25573  vitalilem4  25578  vitalilem5  25579  vitali  25580  ismbf  25595  ismbfcn  25596  mbfconst  25600  mbfid  25602  cncombf  25625  cnmbf  25626  i1fima2  25646  i1fd  25648  itg1ge0  25653  i1f1lem  25656  itg11  25658  i1fadd  25662  i1fmul  25663  itg1addlem2  25664  itg1addlem5  25667  i1fres  25672  itg1ge0a  25678  itg1climres  25681  mbfi1fseqlem4  25685  mbfi1flim  25690  mbfmullem2  25691  itg2const2  25708  itg2splitlem  25715  itg2split  25716  itg2gt0  25727  itg2cnlem2  25729  ibladdlem  25787  itgaddlem1  25790  iblabslem  25795  itggt0  25811  itgcn  25812  ftc1lem4  26006  itgulm  26373  areaf  26925  dmvlsiga  34273  volsupnfl  37986  cnambfre  37989  itg2addnclem  37992  ibladdnclem  37997  itgaddnclem1  37999  iblabsnclem  38004  ftc1cnnclem  38012  volge0  46389  dmvolss  46413  vonvol  47090