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Theorem ftc1a 25401
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function 𝐺 formed by varying the right endpoint of an integral of 𝐹 is continuous if 𝐹 is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1a (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1a
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 𝑟 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1a.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1lem2 25400 . 2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10 fvexd 6857 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐷) → (𝐹𝑤) ∈ V)
118feqmptd 6910 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)))
1211, 7eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐿1)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐿1)
14 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
1510, 13, 14itgcn 25209 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
16 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (𝑠𝑟) = (𝑧𝑦))
1716fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (abs‘(𝑠𝑟)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
1817breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑))
19 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑧))
20 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑦 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑦))
2119, 20oveqan12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)))
2221fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) = (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))))
2322breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
2418, 23imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
2524ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 = 𝑦𝑠 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
26 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (𝑠𝑟) = (𝑦𝑧))
2726fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (abs‘(𝑠𝑟)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
2827breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑))
29 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑦 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑦))
30 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑧 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑧))
3129, 30oveqan12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟)) = ((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)))
3231fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) = (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))))
3332breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒))
3428, 33imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
3534ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 = 𝑧𝑠 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
36 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
372, 3, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3837ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3937ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4139, 40sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ)
4241recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℂ)
43 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4439, 43sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4544recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
4642, 45abssubd 15338 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4746breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑))
489ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
4948, 40ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5048, 43ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑦) ∈ ℂ)
5149, 50abssubd 15338 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) = (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))))
5251breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒))
5347, 52imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
54 simpr3 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
552adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
563adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴𝐵)
585adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
596adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
607adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
618adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
62 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
641, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63ftc1lem1 25399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6554, 64mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6665adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6766ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6867fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) = (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡))
69 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
702ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7170rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
72 simprl1 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
733ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ)
74 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
7570, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
7672, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
7776simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴𝑦)
78 iooss1 13299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑦) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
7971, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
8073rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81 simprl2 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8370, 73, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8481, 83mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
8584simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧𝐵)
86 iooss2 13300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑧𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
8780, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
8879, 87sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
895ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
9088, 89sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷)
91 ioombl 24929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol)
93 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
948feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
9594, 7eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9695ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9790, 92, 93, 96iblss 25169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9869, 97itgcl 25148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
9998abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) ∈ ℝ)
100 iblmbf 25132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1 → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
10197, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
102101, 69mbfmptcl 25000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
103102abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
10469, 97iblabs 25193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1)
105103, 104itgrecl 25162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 ∈ ℝ)
106 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
107106ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
108107rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ)
10969, 97itgabs 25199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) ≤ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
110 mblvol 24894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧)))
11191, 110ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧))
112 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ
113 ovolcl 24842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
114112, 113mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
11584simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ ℝ)
11676simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117115, 116resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ)
118117rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ*)
119 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
120119ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
121120rpxrd 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
122 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
123 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
124116, 115, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
125 ovolss 24849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) ∧ (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
126122, 124, 125sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
127 simprl3 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦𝑧)
128 ovolicc 24887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
129116, 115, 127, 128syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
130126, 129breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (𝑧𝑦))
131116, 115, 127abssubge0d 15316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
132 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)
133131, 132eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) < 𝑑)
134114, 118, 121, 130, 133xrlelttrd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
135111, 134eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
136 sseq1 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (𝑢𝐷 ↔ (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷))
137 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (vol‘𝑢) = (vol‘(𝑦(,)𝑧)))
138137breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
139136, 138anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) ↔ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)))
140 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑡 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
141140cbvitgv 25141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 = ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡
142 itgeq1 25137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
143141, 142eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
144143breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒 ↔ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
145139, 144imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) ↔ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
146 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
147145, 146, 92rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
14890, 135, 147mp2and 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒)
14999, 105, 108, 109, 148lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) < 𝑒)
15068, 149eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)
151150expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
15225, 35, 38, 53, 151wlogle 11688 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
153152ralrimivva 3197 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
154153ex 413 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
155154anassrs 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
156155reximdva 3165 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
15715, 156mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
158 r19.12 3297 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
159157, 158syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
160159ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
161 ralcom 3272 . . 3 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
162160, 161sylib 217 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
163 ax-resscn 11108 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
16437, 163sstrdi 3956 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
165 ssid 3966 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
166 elcncf2 24253 . . 3 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))))
167164, 165, 166sylancl 586 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))))
1689, 162, 167mpbir2and 711 1 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  abscabs 15119  cnccncf 24239  vol*covol 24826  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  𝐿1cibl 24981  citg 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034
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