Theorem ftc1a 24640

Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function 𝐺 formed by varying the right endpoint of an integral of 𝐹 is continuous if 𝐹 is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ftc1a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1a

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 𝑟 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
2		ftc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ftc1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ftc1.le	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		ftc1.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6		ftc1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
7		ftc1.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
8		ftc1a.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ftc1lem2 24639	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10		fvexd 6660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑤) ∈ V)
11	8	feqmptd 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)))
12	11, 7	eqeltrrd 2891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)) ∈ 𝐿1)
13	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)) ∈ 𝐿1)
14		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
15	10, 13, 14	itgcn 24448	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
16		oveq12 7144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (𝑠 − 𝑟) = (𝑧 − 𝑦))
17	16	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (abs‘(𝑠 − 𝑟)) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
18	17	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑))
19		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐺‘𝑠) = (𝐺‘𝑧))
20		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑦))
21	19, 20	oveqan12d 7154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟)) = ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)))
22	21	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))))
23	22	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
24	18, 23	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
25	24	ancoms 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 = 𝑦 ∧ 𝑠 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
26		oveq12 7144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (𝑠 − 𝑟) = (𝑦 − 𝑧))
27	26	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (abs‘(𝑠 − 𝑟)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
28	27	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑))
29		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐺‘𝑠) = (𝐺‘𝑦))
30		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑧))
31	29, 30	oveqan12d 7154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟)) = ((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧)))
32	31	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))))
33	32	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒))
34	28, 33	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
35	34	ancoms 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 = 𝑧 ∧ 𝑠 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
36		iccssre 12807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37	2, 3, 36	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	37	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
39	37	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	39, 40	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ)
42	41	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℂ)
43		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	39, 43	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
45	44	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
46	42, 45	abssubd 14805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
47	46	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑))
48	9	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
49	48, 40	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
50	48, 43	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
51	49, 50	abssubd 14805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))))
52	51	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒))
53	47, 52	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
54		simpr3 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
55	2	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
56	3	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	4	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
58	5	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
59	6	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
60	7	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
61	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
62		simpr1 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63		simpr2 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64	1, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63	ftc1lem1 24638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
65	54, 64	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
66	65	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
67	66	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
68	67	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
69		fvexd 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
70	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ)
71	70	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
72		simprl1 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	3	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ)
74		elicc2 12790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
75	70, 73, 74	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
76	72, 75	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
77	76	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
78		iooss1 12761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
79	71, 77, 78	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
80	73	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81		simprl2 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82		elicc2 12790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
83	70, 73, 82	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
84	81, 83	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵))
85	84	simp3d 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
86		iooss2 12762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
87	80, 85, 86	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
88	79, 87	sstrd 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
89	5	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
90	88, 89	sstrd 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷)
91		ioombl 24169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol)
93		fvexd 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
94	8	feqmptd 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
95	94, 7	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
96	95	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
97	90, 92, 93, 96	iblss 24408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
98	69, 97	itgcl 24387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
99	98	abscld 14788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) ∈ ℝ)
100		iblmbf 24371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1 → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
101	97, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
102	101, 69	mbfmptcl 24240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
103	102	abscld 14788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
104	69, 97	iblabs 24432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
105	103, 104	itgrecl 24401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 ∈ ℝ)
106		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
107	106	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
108	107	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ)
109	69, 97	itgabs 24438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) ≤ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
110		mblvol 24134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧)))
111	91, 110	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧))
112		ioossre 12786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ
113		ovolcl 24082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
114	112, 113	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
115	84	simp1d 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ ℝ)
116	76	simp1d 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117	115, 116	resubcld 11057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
118	117	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ*)
119		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
120	119	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
121	120	rpxrd 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
122		ioossicc 12811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
123		iccssre 12807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
124	116, 115, 123	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
125		ovolss 24089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) ∧ (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
126	122, 124, 125	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
127		simprl3 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
128		ovolicc 24127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
129	116, 115, 127, 128	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
130	126, 129	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (𝑧 − 𝑦))
131	116, 115, 127	abssubge0d 14783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (𝑧 − 𝑦))
132		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)
133	131, 132	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) < 𝑑)
134	114, 118, 121, 130, 133	xrlelttrd 12541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
135	111, 134	eqbrtrid 5065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
136		sseq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (𝑢 ⊆ 𝐷 ↔ (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷))
137		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (vol‘𝑢) = (vol‘(𝑦(,)𝑧)))
138	137	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
139	136, 138	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) ↔ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)))
140		2fveq3 6650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
141	140	cbvitgv 24380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 = ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡
142		itgeq1 24376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
143	141, 142	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
144	143	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒 ↔ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
145	139, 144	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) ↔ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
146		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
147	145, 146, 92	rspcdva 3573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
148	90, 135, 147	mp2and 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒)
149	99, 105, 108, 109, 148	lelttrd 10787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) < 𝑒)
150	68, 149	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)
151	150	expr 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
152	25, 35, 38, 53, 151	wlogle 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
153	152	ralrimivva 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
154	153	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
155	154	anassrs 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
156	155	reximdva 3233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
157	15, 156	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
158		r19.12 3283	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
159	157, 158	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
160	159	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
161		ralcom 3307	. . 3 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
162	160, 161	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
163		ax-resscn 10583	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
164	37, 163	sstrdi 3927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
165		ssid 3937	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
166		elcncf2 23495	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))))
167	164, 165, 166	sylancl 589	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))))
168	9, 162, 167	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℝ⁺crp 12377  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  abscabs 14585  –cn→ccncf 23481  vol*covol 24066  volcvol 24067  MblFncmbf 24218  𝐿¹cibl 24221  ∫citg 24222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-symdif 4169  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-itg2 24225  df-ibl 24226  df-itg 24227  df-0p 24274

This theorem is referenced by:  ftc2  24647