Theorem ftc1a 25972

Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function 𝐺 formed by varying the right endpoint of an integral of 𝐹 is continuous if 𝐹 is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ftc1a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1a

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 𝑟 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
2		ftc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ftc1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ftc1.le	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		ftc1.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6		ftc1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
7		ftc1.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
8		ftc1a.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ftc1lem2 25971	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10		fvexd 6843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑤) ∈ V)
11	8	feqmptd 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)))
12	11, 7	eqeltrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)) ∈ 𝐿1)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)) ∈ 𝐿1)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
15	10, 13, 14	itgcn 25774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
16		oveq12 7361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (𝑠 − 𝑟) = (𝑧 − 𝑦))
17	16	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (abs‘(𝑠 − 𝑟)) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
18	17	breq1d 5103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑))
19		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐺‘𝑠) = (𝐺‘𝑧))
20		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑦))
21	19, 20	oveqan12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟)) = ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)))
22	21	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))))
23	22	breq1d 5103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
24	18, 23	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 = 𝑦 ∧ 𝑠 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
26		oveq12 7361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (𝑠 − 𝑟) = (𝑦 − 𝑧))
27	26	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (abs‘(𝑠 − 𝑟)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
28	27	breq1d 5103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑))
29		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐺‘𝑠) = (𝐺‘𝑦))
30		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑧))
31	29, 30	oveqan12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟)) = ((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧)))
32	31	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))))
33	32	breq1d 5103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒))
34	28, 33	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
35	34	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 = 𝑧 ∧ 𝑠 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
36		iccssre 13331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37	2, 3, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
39	37	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	39, 40	sseldd 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ)
42	41	recnd 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℂ)
43		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	39, 43	sseldd 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
45	44	recnd 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
46	42, 45	abssubd 15365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
47	46	breq1d 5103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑))
48	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
49	48, 40	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
50	48, 43	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
51	49, 50	abssubd 15365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))))
52	51	breq1d 5103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒))
53	47, 52	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
54		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
55	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
56	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
58	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
59	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
60	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
61	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
62		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64	1, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63	ftc1lem1 25970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
65	54, 64	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
66	65	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
67	66	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
68	67	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
69		fvexd 6843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
70	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
72		simprl1 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ)
74		elicc2 13313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
75	70, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
76	72, 75	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
77	76	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
78		iooss1 13282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
79	71, 77, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
80	73	rexrd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81		simprl2 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82		elicc2 13313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
83	70, 73, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
84	81, 83	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵))
85	84	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
86		iooss2 13283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
87	80, 85, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
88	79, 87	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
89	5	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
90	88, 89	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷)
91		ioombl 25494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol)
93		fvexd 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
94	8	feqmptd 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
95	94, 7	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
96	95	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
97	90, 92, 93, 96	iblss 25734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
98	69, 97	itgcl 25713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
99	98	abscld 15348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) ∈ ℝ)
100		iblmbf 25696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1 → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
101	97, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
102	101, 69	mbfmptcl 25565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
103	102	abscld 15348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
104	69, 97	iblabs 25758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
105	103, 104	itgrecl 25727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 ∈ ℝ)
106		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
107	106	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
108	107	rpred 12936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ)
109	69, 97	itgabs 25764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) ≤ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
110		mblvol 25459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧)))
111	91, 110	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧))
112		ioossre 13309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ
113		ovolcl 25407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
114	112, 113	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
115	84	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ ℝ)
116	76	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117	115, 116	resubcld 11552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
118	117	rexrd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ*)
119		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
120	119	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
121	120	rpxrd 12937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
122		ioossicc 13335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
123		iccssre 13331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
124	116, 115, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
125		ovolss 25414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) ∧ (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
126	122, 124, 125	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
127		simprl3 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
128		ovolicc 25452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
129	116, 115, 127, 128	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
130	126, 129	breqtrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (𝑧 − 𝑦))
131	116, 115, 127	abssubge0d 15343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (𝑧 − 𝑦))
132		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)
133	131, 132	eqbrtrrd 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) < 𝑑)
134	114, 118, 121, 130, 133	xrlelttrd 13061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
135	111, 134	eqbrtrid 5128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
136		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (𝑢 ⊆ 𝐷 ↔ (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷))
137		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (vol‘𝑢) = (vol‘(𝑦(,)𝑧)))
138	137	breq1d 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
139	136, 138	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) ↔ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)))
140		2fveq3 6833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
141	140	cbvitgv 25706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 = ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡
142		itgeq1 25702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
143	141, 142	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
144	143	breq1d 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒 ↔ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
145	139, 144	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) ↔ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
146		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
147	145, 146, 92	rspcdva 3574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
148	90, 135, 147	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒)
149	99, 105, 108, 109, 148	lelttrd 11278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) < 𝑒)
150	68, 149	eqbrtrd 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)
151	150	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
152	25, 35, 38, 53, 151	wlogle 11657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
153	152	ralrimivva 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
154	153	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
155	154	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
156	155	reximdva 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
157	15, 156	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
158		r19.12 3282	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
159	157, 158	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
160	159	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
161		ralcom 3261	. . 3 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
162	160, 161	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
163		ax-resscn 11070	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
164	37, 163	sstrdi 3943	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
165		ssid 3953	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
166		elcncf2 24811	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))))
167	164, 165, 166	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))))
168	9, 162, 167	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  dom cdm 5619  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351  ℝ⁺crp 12892  (,)cioo 13247  [,]cicc 13250  abscabs 15143  –cn→ccncf 24797  vol*covol 25391  volcvol 25392  MblFncmbf 25543  𝐿¹cibl 25546  ∫citg 25547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cc 10333  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-acn 9842  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-cmp 23303  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-ovol 25393  df-vol 25394  df-mbf 25548  df-itg1 25549  df-itg2 25550  df-ibl 25551  df-itg 25552  df-0p 25599

This theorem is referenced by:  ftc2  25979