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Theorem ftc1a 24626
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function 𝐺 formed by varying the right endpoint of an integral of 𝐹 is continuous if 𝐹 is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1a (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1a
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 𝑟 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1a.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1lem2 24625 . 2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10 fvexd 6678 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐷) → (𝐹𝑤) ∈ V)
118feqmptd 6726 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)))
1211, 7eqeltrrd 2912 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐿1)
1312adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐿1)
14 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
1510, 13, 14itgcn 24435 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
16 oveq12 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (𝑠𝑟) = (𝑧𝑦))
1716fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (abs‘(𝑠𝑟)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
1817breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑))
19 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑧))
20 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑦 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑦))
2119, 20oveqan12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)))
2221fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) = (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))))
2322breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
2418, 23imbi12d 347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
2524ancoms 461 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 = 𝑦𝑠 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
26 oveq12 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (𝑠𝑟) = (𝑦𝑧))
2726fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (abs‘(𝑠𝑟)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
2827breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑))
29 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑦 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑦))
30 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑧 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑧))
3129, 30oveqan12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟)) = ((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)))
3231fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) = (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))))
3332breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒))
3428, 33imbi12d 347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
3534ancoms 461 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 = 𝑧𝑠 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
36 iccssre 12810 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
372, 3, 36syl2anc 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3837ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3937ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4139, 40sseldd 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ)
4241recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℂ)
43 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4439, 43sseldd 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4544recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
4642, 45abssubd 14805 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4746breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑))
489ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
4948, 40ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5048, 43ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑦) ∈ ℂ)
5149, 50abssubd 14805 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) = (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))))
5251breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒))
5347, 52imbi12d 347 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
54 simpr3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
552adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
563adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
574adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴𝐵)
585adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
596adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
607adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
618adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
62 simpr1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63 simpr2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
641, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63ftc1lem1 24624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6554, 64mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6665adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6766ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6867fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) = (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡))
69 fvexd 6678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
702ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7170rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
72 simprl1 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
733ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ)
74 elicc2 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
7570, 73, 74syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
7672, 75mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
7776simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴𝑦)
78 iooss1 12765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑦) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
7971, 77, 78syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
8073rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81 simprl2 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82 elicc2 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8370, 73, 82syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8481, 83mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
8584simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧𝐵)
86 iooss2 12766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑧𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
8780, 85, 86syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
8879, 87sstrd 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
895ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
9088, 89sstrd 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷)
91 ioombl 24158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol)
93 fvexd 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
948feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
9594, 7eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9695ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9790, 92, 93, 96iblss 24397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9869, 97itgcl 24376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
9998abscld 14788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) ∈ ℝ)
100 iblmbf 24360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1 → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
10197, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
102101, 69mbfmptcl 24229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
103102abscld 14788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
10469, 97iblabs 24421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1)
105103, 104itgrecl 24390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 ∈ ℝ)
106 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
107106ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
108107rpred 12423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ)
10969, 97itgabs 24427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) ≤ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
110 mblvol 24123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧)))
11191, 110ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧))
112 ioossre 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ
113 ovolcl 24071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
114112, 113mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
11584simp1d 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ ℝ)
11676simp1d 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117115, 116resubcld 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ)
118117rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ*)
119 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
120119ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
121120rpxrd 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
122 ioossicc 12814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
123 iccssre 12810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
124116, 115, 123syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
125 ovolss 24078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) ∧ (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
126122, 124, 125sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
127 simprl3 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦𝑧)
128 ovolicc 24116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
129116, 115, 127, 128syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
130126, 129breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (𝑧𝑦))
131116, 115, 127abssubge0d 14783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
132 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)
133131, 132eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) < 𝑑)
134114, 118, 121, 130, 133xrlelttrd 12545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
135111, 134eqbrtrid 5092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
136 sseq1 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (𝑢𝐷 ↔ (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷))
137 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (vol‘𝑢) = (vol‘(𝑦(,)𝑧)))
138137breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
139136, 138anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) ↔ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)))
140 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑡 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
141140cbvitgv 24369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 = ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡
142 itgeq1 24365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
143141, 142syl5eq 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
144143breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒 ↔ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
145139, 144imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) ↔ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
146 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
147145, 146, 92rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
14890, 135, 147mp2and 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒)
14999, 105, 108, 109, 148lelttrd 10790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) < 𝑒)
15068, 149eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)
151150expr 459 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
15225, 35, 38, 53, 151wlogle 11165 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
153152ralrimivva 3189 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
154153ex 415 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
155154anassrs 470 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
156155reximdva 3272 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
15715, 156mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
158 r19.12 3322 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
159157, 158syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
160159ralrimiva 3180 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
161 ralcom 3352 . . 3 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
162160, 161sylib 220 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
163 ax-resscn 10586 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
16437, 163sstrdi 3977 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
165 ssid 3987 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
166 elcncf2 23490 . . 3 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))))
167164, 165, 166sylancl 588 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))))
1689, 162, 167mpbir2and 711 1 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  wrex 3137  Vcvv 3493  wss 3934   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  +crp 12381  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733  abscabs 14585  cnccncf 23476  vol*covol 24055  volcvol 24056  MblFncmbf 24207  𝐿1cibl 24210  citg 24211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-symdif 4217  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-mbf 24212  df-itg1 24213  df-itg2 24214  df-ibl 24215  df-itg 24216  df-0p 24263
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