Theorem ftc1a 26078

Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function 𝐺 formed by varying the right endpoint of an integral of 𝐹 is continuous if 𝐹 is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ftc1a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1a

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 𝑟 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
2		ftc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ftc1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ftc1.le	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		ftc1.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6		ftc1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
7		ftc1.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
8		ftc1a.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ftc1lem2 26077	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10		fvexd 6921	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑤) ∈ V)
11	8	feqmptd 6977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)))
12	11, 7	eqeltrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)) ∈ 𝐿1)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)) ∈ 𝐿1)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
15	10, 13, 14	itgcn 25880	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
16		oveq12 7440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (𝑠 − 𝑟) = (𝑧 − 𝑦))
17	16	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (abs‘(𝑠 − 𝑟)) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
18	17	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑))
19		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐺‘𝑠) = (𝐺‘𝑧))
20		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑦))
21	19, 20	oveqan12d 7450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟)) = ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)))
22	21	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))))
23	22	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
24	18, 23	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 = 𝑦 ∧ 𝑠 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
26		oveq12 7440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (𝑠 − 𝑟) = (𝑦 − 𝑧))
27	26	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (abs‘(𝑠 − 𝑟)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
28	27	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑))
29		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐺‘𝑠) = (𝐺‘𝑦))
30		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑧))
31	29, 30	oveqan12d 7450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟)) = ((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧)))
32	31	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))))
33	32	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒))
34	28, 33	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
35	34	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 = 𝑧 ∧ 𝑠 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
36		iccssre 13469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37	2, 3, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
39	37	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	39, 40	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ)
42	41	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℂ)
43		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	39, 43	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
45	44	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
46	42, 45	abssubd 15492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
47	46	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑))
48	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
49	48, 40	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
50	48, 43	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
51	49, 50	abssubd 15492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))))
52	51	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒))
53	47, 52	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
54		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
55	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
56	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
58	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
59	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
60	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
61	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
62		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64	1, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63	ftc1lem1 26076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
65	54, 64	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
66	65	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
67	66	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
68	67	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
69		fvexd 6921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
70	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
72		simprl1 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ)
74		elicc2 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
75	70, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
76	72, 75	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
77	76	simp2d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
78		iooss1 13422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
79	71, 77, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
80	73	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81		simprl2 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82		elicc2 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
83	70, 73, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
84	81, 83	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵))
85	84	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
86		iooss2 13423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
87	80, 85, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
88	79, 87	sstrd 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
89	5	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
90	88, 89	sstrd 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷)
91		ioombl 25600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol)
93		fvexd 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
94	8	feqmptd 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
95	94, 7	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
96	95	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
97	90, 92, 93, 96	iblss 25840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
98	69, 97	itgcl 25819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
99	98	abscld 15475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) ∈ ℝ)
100		iblmbf 25802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1 → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
101	97, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
102	101, 69	mbfmptcl 25671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
103	102	abscld 15475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
104	69, 97	iblabs 25864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
105	103, 104	itgrecl 25833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 ∈ ℝ)
106		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
107	106	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
108	107	rpred 13077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ)
109	69, 97	itgabs 25870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) ≤ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
110		mblvol 25565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧)))
111	91, 110	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧))
112		ioossre 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ
113		ovolcl 25513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
114	112, 113	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
115	84	simp1d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ ℝ)
116	76	simp1d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117	115, 116	resubcld 11691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
118	117	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ*)
119		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
120	119	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
121	120	rpxrd 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
122		ioossicc 13473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
123		iccssre 13469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
124	116, 115, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
125		ovolss 25520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) ∧ (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
126	122, 124, 125	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
127		simprl3 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
128		ovolicc 25558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
129	116, 115, 127, 128	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
130	126, 129	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (𝑧 − 𝑦))
131	116, 115, 127	abssubge0d 15470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (𝑧 − 𝑦))
132		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)
133	131, 132	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) < 𝑑)
134	114, 118, 121, 130, 133	xrlelttrd 13202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
135	111, 134	eqbrtrid 5178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
136		sseq1 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (𝑢 ⊆ 𝐷 ↔ (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷))
137		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (vol‘𝑢) = (vol‘(𝑦(,)𝑧)))
138	137	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
139	136, 138	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) ↔ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)))
140		2fveq3 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
141	140	cbvitgv 25812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 = ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡
142		itgeq1 25808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
143	141, 142	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
144	143	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒 ↔ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
145	139, 144	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) ↔ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
146		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
147	145, 146, 92	rspcdva 3623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
148	90, 135, 147	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒)
149	99, 105, 108, 109, 148	lelttrd 11419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) < 𝑒)
150	68, 149	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)
151	150	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
152	25, 35, 38, 53, 151	wlogle 11796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
153	152	ralrimivva 3202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
154	153	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
155	154	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
156	155	reximdva 3168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
157	15, 156	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
158		r19.12 3314	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
159	157, 158	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
160	159	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
161		ralcom 3289	. . 3 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
162	160, 161	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
163		ax-resscn 11212	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
164	37, 163	sstrdi 3996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
165		ssid 4006	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
166		elcncf2 24916	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))))
167	164, 165, 166	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))))
168	9, 162, 167	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  abscabs 15273  –cn→ccncf 24902  vol*covol 25497  volcvol 25498  MblFncmbf 25649  𝐿¹cibl 25652  ∫citg 25653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705

This theorem is referenced by:  ftc2  26085