MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem4 26080
Description: Lemma for ftc1 26083. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
ftc1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
ftc1.y1 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.y2 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftc1lem4
StepHypRef Expression
1 ovexd 7466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ V)
2 ftc1.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 ftc1.x1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5 ftc1.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
72, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
84, 7mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵))
98simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑋)
10 iooss1 13422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
113, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
125rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
13 ftc1.y1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
152, 5, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
1613, 15mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵))
1716simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝐵)
18 iooss2 13423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑌𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1912, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2011, 19sstrd 3994 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
21 ftc1.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
2220, 21sstrd 3994 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
2322sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
24 ftc1.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
25 ftc1.le . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
26 ftc1.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
27 ftc1.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
28 ftc1.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
29 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
30 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐿t ℝ)
31 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
32 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
3324, 2, 5, 25, 21, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32ftc1lem3 26079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3433ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
3523, 34syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
36 ioombl 25600 . . . . . . . . . . 11 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
38 fvexd 6921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
3933feqmptd 6977 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
4039, 27eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
4122, 37, 38, 40iblss 25840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
4221, 28sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝐷)
4333, 42ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4443adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
45 fconstmpt 5747 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝐶))
46 mblvol 25565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
4736, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
48 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
50 iccssre 13469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
512, 5, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5251, 4sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5351, 13sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
54 iccmbl 25601 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
5552, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
56 mblss 25566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
58 mblvol 25565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
60 iccvolcl 25602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
6152, 53, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
6259, 61eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
63 ovolsscl 25521 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
6449, 57, 62, 63syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
6547, 64eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
66 iblconst 25853 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) ∈ 𝐿1)
6737, 65, 43, 66syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) ∈ 𝐿1)
6845, 67eqeltrrid 2846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ∈ 𝐿1)
6935, 41, 44, 68iblsub 25857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ 𝐿1)
701, 69itgcl 25819 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
7170adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
7253, 52resubcld 11691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
7372adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
7473recnd 11289 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
7552, 53posdifd 11850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌𝑋)))
7675biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌𝑋))
7776gt0ne0d 11827 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ≠ 0)
7871, 74, 77divcld 12043 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
7943adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
80 ltle 11349 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
8152, 53, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
8281imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
8324, 2, 5, 25, 21, 26, 27, 33, 4, 13ftc1lem1 26076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8482, 83syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8535, 44npcand 11624 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) = (𝐹𝑡))
8685itgeq2dv 25817 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8735, 44subcld 11620 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
8887, 69, 44, 68itgadd 25860 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
8986, 88eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
9089adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
91 itgconst 25854 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
9237, 65, 43, 91syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
9392adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
9452adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
9553adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
96 ovolioo 25603 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
9794, 95, 82, 96syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
9847, 97eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
9998oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)))
10093, 99eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)))
101100oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))))
10284, 90, 1013eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))))
103102oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)))
10479, 74mulcld 11281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
10571, 104, 74, 77divdird 12081 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))))
10679, 74, 77divcan4d 12049 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋)) = (𝐹𝐶))
107106oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)))
108103, 105, 1073eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)))
10978, 79, 108mvrraddd 11675 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)))
110109fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋))))
11171, 74, 77absdivd 15494 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))))
112 0re 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
113 ltle 11349 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
114112, 73, 113sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
11576, 114mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌𝑋))
11673, 115absidd 15461 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌𝑋)) = (𝑌𝑋))
117116oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
118110, 111, 1173eqtrd 2781 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
11970abscld 15475 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
120119adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
12187abscld 15475 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ ℝ)
1221, 69iblabs 25864 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ 𝐿1)
123121, 122itgrecl 25833 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
124123adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
125 ftc1.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
126125rpred 13077 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
12772, 126remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
128127adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
12987, 69itgabs 25870 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)
130129adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)
13176, 98breqtrrd 5171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (vol‘(𝑋(,)𝑌)))
132126adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
133 fconstmpt 5747 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
134126recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
135 iblconst 25853 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
13637, 65, 134, 135syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
137133, 136eqeltrrid 2846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
138132, 137, 121, 122iblsub 25857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))) ∈ 𝐿1)
139138adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))) ∈ 𝐿1)
14026, 42sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
141 ftc1.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
142141rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
143140, 142resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
144143adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
14552adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
14622, 26sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
147146sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
148 ftc1.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
14952, 140, 142absdifltd 15472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝐶 + 𝑅))))
150148, 149mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝐶 + 𝑅)))
151150simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝑋)
152151adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) < 𝑋)
153 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
154153adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
155154simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
156144, 145, 147, 152, 155lttrd 11422 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) < 𝑡)
15753adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
158140, 142readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
159158adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
160154simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
161 ftc1.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅)
16253, 140, 142absdifltd 15472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝐶 + 𝑅))))
163161, 162mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝐶 + 𝑅)))
164163simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
165164adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
166147, 157, 159, 160, 165lttrd 11422 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝐶 + 𝑅))
167140adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℝ)
168142adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
169147, 167, 168absdifltd 15472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑡𝑡 < (𝐶 + 𝑅))))
170156, 166, 169mpbir2and 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅)
171 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(𝑡𝐶)))
172171breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅))
173172imbrov2fvoveq 7456 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)))
174 ftc1.fc . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
175174ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
176175adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
177173, 176, 23rspcdva 3623 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
178170, 177mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
179 difrp 13073 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+))
180121, 132, 179syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+))
181178, 180mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+)
182181adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+)
183131, 139, 182itggt0 25879 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡)
184132, 137, 121, 122itgsub 25861 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
185184adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
186 itgconst 25854 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
18737, 65, 134, 186syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
188187adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
18998oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌𝑋)))
19072recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
191134, 190mulcomd 11282 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
192191adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
193188, 189, 1923eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
194193oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡) = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
195185, 194eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
196183, 195breqtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
197123, 127posdifd 11850 . . . . . 6 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)))
198197biimpar 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
199196, 198syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
200120, 124, 128, 130, 199lelttrd 11419 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
20171abscld 15475 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
202126adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
203 ltdivmul 12143 . . . 4 (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
204201, 202, 73, 76, 203syl112anc 1376 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
205200, 204mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸)
206118, 205eqbrtrd 5165 1 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  abscabs 15273  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364   CnP ccnp 23233  vol*covol 25497  volcvol 25498  𝐿1cibl 25652  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  ftc1lem5  26081
  Copyright terms: Public domain W3C validator