MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem4 24093
Description: Lemma for ftc1 24096. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
ftc1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
ftc1.y1 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.y2 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftc1lem4
StepHypRef Expression
1 ovexd 6876 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ V)
2 ftc1.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 ftc1.x1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5 ftc1.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 elicc2 12440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
72, 5, 6syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
84, 7mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵))
98simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑋)
10 iooss1 12412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
113, 9, 10syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
125rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
13 ftc1.y1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14 elicc2 12440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
152, 5, 14syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
1613, 15mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵))
1716simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝐵)
18 iooss2 12413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑌𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1912, 17, 18syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2011, 19sstrd 3771 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
21 ftc1.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
2220, 21sstrd 3771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
2322sselda 3761 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
24 ftc1.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
25 ftc1.le . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
26 ftc1.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
27 ftc1.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
28 ftc1.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
29 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
30 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐿t ℝ)
31 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
32 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
3324, 2, 5, 25, 21, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32ftc1lem3 24092 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3433ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
3523, 34syldan 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
36 ioombl 23623 . . . . . . . . . . 11 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
38 fvexd 6390 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
3933feqmptd 6438 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
4039, 27eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
4122, 37, 38, 40iblss 23862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
4221, 28sseldd 3762 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝐷)
4333, 42ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4443adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
45 fconstmpt 5333 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝐶))
46 mblvol 23588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
4736, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
48 ioossicc 12461 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
50 iccssre 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
512, 5, 50syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5251, 4sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5351, 13sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
54 iccmbl 23624 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
5552, 53, 54syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
56 mblss 23589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
58 mblvol 23588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
60 iccvolcl 23625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
6152, 53, 60syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
6259, 61eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
63 ovolsscl 23544 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
6449, 57, 62, 63syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
6547, 64syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
66 iblconst 23875 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) ∈ 𝐿1)
6737, 65, 43, 66syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) ∈ 𝐿1)
6845, 67syl5eqelr 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ∈ 𝐿1)
6935, 41, 44, 68iblsub 23879 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ 𝐿1)
701, 69itgcl 23841 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
7170adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
7253, 52resubcld 10712 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
7372adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
7473recnd 10322 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
7552, 53posdifd 10868 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌𝑋)))
7675biimpa 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌𝑋))
7776gt0ne0d 10846 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ≠ 0)
7871, 74, 77divcld 11055 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
7943adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
80 ltle 10380 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
8152, 53, 80syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
8281imp 395 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
8324, 2, 5, 25, 21, 26, 27, 33, 4, 13ftc1lem1 24089 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8482, 83syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8535, 44npcand 10650 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) = (𝐹𝑡))
8685itgeq2dv 23839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8735, 44subcld 10646 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
8887, 69, 44, 68itgadd 23882 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
8986, 88eqtr3d 2801 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
9089adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
91 itgconst 23876 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
9237, 65, 43, 91syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
9392adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
9452adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
9553adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
96 ovolioo 23626 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
9794, 95, 82, 96syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
9847, 97syl5eq 2811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
9998oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)))
10093, 99eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)))
101100oveq2d 6858 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))))
10284, 90, 1013eqtrd 2803 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))))
103102oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)))
10479, 74mulcld 10314 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
10571, 104, 74, 77divdird 11093 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))))
10679, 74, 77divcan4d 11061 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋)) = (𝐹𝐶))
107106oveq2d 6858 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)))
108103, 105, 1073eqtrd 2803 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)))
10978, 79, 108mvrraddd 10699 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)))
110109fveq2d 6379 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋))))
11171, 74, 77absdivd 14481 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))))
112 0re 10295 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
113 ltle 10380 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
114112, 73, 113sylancr 581 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
11576, 114mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌𝑋))
11673, 115absidd 14448 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌𝑋)) = (𝑌𝑋))
117116oveq2d 6858 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
118110, 111, 1173eqtrd 2803 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
11970abscld 14462 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
120119adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
12187abscld 14462 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ ℝ)
1221, 69iblabs 23886 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ 𝐿1)
123121, 122itgrecl 23855 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
124123adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
125 ftc1.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
126125rpred 12070 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
12772, 126remulcld 10324 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
128127adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
12987, 69itgabs 23892 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)
130129adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)
13176, 98breqtrrd 4837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (vol‘(𝑋(,)𝑌)))
132126adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
133 fconstmpt 5333 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
134126recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
135 iblconst 23875 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
13637, 65, 134, 135syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
137133, 136syl5eqelr 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
138132, 137, 121, 122iblsub 23879 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))) ∈ 𝐿1)
139138adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))) ∈ 𝐿1)
14026, 42sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
141 ftc1.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
142141rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
143140, 142resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
144143adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
14552adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
14622, 26sstrd 3771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
147146sselda 3761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
148 ftc1.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
14952, 140, 142absdifltd 14459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝐶 + 𝑅))))
150148, 149mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝐶 + 𝑅)))
151150simpld 488 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝑋)
152151adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) < 𝑋)
153 eliooord 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
154153adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
155154simpld 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
156144, 145, 147, 152, 155lttrd 10452 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) < 𝑡)
15753adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
158140, 142readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
159158adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
160154simprd 489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
161 ftc1.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅)
16253, 140, 142absdifltd 14459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝐶 + 𝑅))))
163161, 162mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝐶 + 𝑅)))
164163simprd 489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
165164adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
166147, 157, 159, 160, 165lttrd 10452 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝐶 + 𝑅))
167140adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℝ)
168142adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
169147, 167, 168absdifltd 14459 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑡𝑡 < (𝐶 + 𝑅))))
170156, 166, 169mpbir2and 704 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅)
171 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(𝑡𝐶)))
172171breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅))
173172imbrov2fvoveq 6867 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)))
174 ftc1.fc . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
175174ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
176175adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
177173, 176, 23rspcdva 3467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
178170, 177mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
179 difrp 12066 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+))
180121, 132, 179syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+))
181178, 180mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+)
182181adantlr 706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+)
183131, 139, 182itggt0 23899 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡)
184132, 137, 121, 122itgsub 23883 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
185184adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
186 itgconst 23876 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
18737, 65, 134, 186syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
188187adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
18998oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌𝑋)))
19072recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
191134, 190mulcomd 10315 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
192191adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
193188, 189, 1923eqtrd 2803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
194193oveq1d 6857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡) = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
195185, 194eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
196183, 195breqtrd 4835 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
197123, 127posdifd 10868 . . . . . 6 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)))
198197biimpar 469 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
199196, 198syldan 585 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
200120, 124, 128, 130, 199lelttrd 10449 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
20171abscld 14462 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
202126adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
203 ltdivmul 11152 . . . 4 (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
204201, 202, 73, 76, 203syl112anc 1493 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
205200, 204mpbird 248 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸)
206118, 205eqbrtrd 4831 1 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  dom cdm 5277  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  +crp 12028  (,)cioo 12377  [,]cicc 12380  abscabs 14261  t crest 16349  TopOpenctopn 16350  fldccnfld 20019   CnP ccnp 21309  vol*covol 23520  volcvol 23521  𝐿1cibl 23675  citg 23676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-symdif 4005  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679  df-ibl 23680  df-itg 23681  df-0p 23728
This theorem is referenced by:  ftc1lem5  24094
  Copyright terms: Public domain W3C validator