Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem4 24738
 Description: Lemma for ftc1 24741. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
ftc1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
ftc1.y1 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.y2 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftc1lem4
StepHypRef Expression
1 ovexd 7185 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ V)
2 ftc1.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 10729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 ftc1.x1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5 ftc1.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 elicc2 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
72, 5, 6syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
84, 7mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵))
98simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑋)
10 iooss1 12814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
113, 9, 10syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
125rexrd 10729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
13 ftc1.y1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14 elicc2 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
152, 5, 14syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
1613, 15mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵))
1716simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝐵)
18 iooss2 12815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑌𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1912, 17, 18syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2011, 19sstrd 3902 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
21 ftc1.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
2220, 21sstrd 3902 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
2322sselda 3892 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
24 ftc1.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
25 ftc1.le . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
26 ftc1.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
27 ftc1.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
28 ftc1.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
29 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
30 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐿t ℝ)
31 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
32 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
3324, 2, 5, 25, 21, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32ftc1lem3 24737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3433ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
3523, 34syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
36 ioombl 24265 . . . . . . . . . . 11 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
38 fvexd 6673 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
3933feqmptd 6721 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
4039, 27eqeltrrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
4122, 37, 38, 40iblss 24504 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
4221, 28sseldd 3893 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝐷)
4333, 42ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4443adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
45 fconstmpt 5583 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝐶))
46 mblvol 24230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
4736, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
48 ioossicc 12865 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
50 iccssre 12861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
512, 5, 50syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5251, 4sseldd 3893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5351, 13sseldd 3893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
54 iccmbl 24266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
5552, 53, 54syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
56 mblss 24231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
58 mblvol 24230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
60 iccvolcl 24267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
6152, 53, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
6259, 61eqeltrrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
63 ovolsscl 24186 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
6449, 57, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
6547, 64eqeltrid 2856 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
66 iblconst 24517 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) ∈ 𝐿1)
6737, 65, 43, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) ∈ 𝐿1)
6845, 67eqeltrrid 2857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ∈ 𝐿1)
6935, 41, 44, 68iblsub 24521 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ 𝐿1)
701, 69itgcl 24483 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
7170adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
7253, 52resubcld 11106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
7372adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
7473recnd 10707 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
7552, 53posdifd 11265 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌𝑋)))
7675biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌𝑋))
7776gt0ne0d 11242 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ≠ 0)
7871, 74, 77divcld 11454 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
7943adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
80 ltle 10767 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
8152, 53, 80syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
8281imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
8324, 2, 5, 25, 21, 26, 27, 33, 4, 13ftc1lem1 24734 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8482, 83syldan 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8535, 44npcand 11039 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) = (𝐹𝑡))
8685itgeq2dv 24481 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8735, 44subcld 11035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
8887, 69, 44, 68itgadd 24524 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
8986, 88eqtr3d 2795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
9089adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
91 itgconst 24518 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
9237, 65, 43, 91syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
9392adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
9452adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
9553adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
96 ovolioo 24268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
9794, 95, 82, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
9847, 97syl5eq 2805 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
9998oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)))
10093, 99eqtrd 2793 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)))
101100oveq2d 7166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))))
10284, 90, 1013eqtrd 2797 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))))
103102oveq1d 7165 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)))
10479, 74mulcld 10699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
10571, 104, 74, 77divdird 11492 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))))
10679, 74, 77divcan4d 11460 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋)) = (𝐹𝐶))
107106oveq2d 7166 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)))
108103, 105, 1073eqtrd 2797 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)))
10978, 79, 108mvrraddd 11090 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)))
110109fveq2d 6662 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋))))
11171, 74, 77absdivd 14863 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))))
112 0re 10681 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
113 ltle 10767 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
114112, 73, 113sylancr 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
11576, 114mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌𝑋))
11673, 115absidd 14830 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌𝑋)) = (𝑌𝑋))
117116oveq2d 7166 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
118110, 111, 1173eqtrd 2797 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
11970abscld 14844 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
120119adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
12187abscld 14844 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ ℝ)
1221, 69iblabs 24528 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ 𝐿1)
123121, 122itgrecl 24497 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
124123adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
125 ftc1.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
126125rpred 12472 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
12772, 126remulcld 10709 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
128127adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
12987, 69itgabs 24534 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)
130129adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)
13176, 98breqtrrd 5060 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (vol‘(𝑋(,)𝑌)))
132126adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
133 fconstmpt 5583 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
134126recnd 10707 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
135 iblconst 24517 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
13637, 65, 134, 135syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
137133, 136eqeltrrid 2857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
138132, 137, 121, 122iblsub 24521 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))) ∈ 𝐿1)
139138adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))) ∈ 𝐿1)
14026, 42sseldd 3893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
141 ftc1.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
142141rpred 12472 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
143140, 142resubcld 11106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
144143adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
14552adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
14622, 26sstrd 3902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
147146sselda 3892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
148 ftc1.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
14952, 140, 142absdifltd 14841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝐶 + 𝑅))))
150148, 149mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝐶 + 𝑅)))
151150simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝑋)
152151adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) < 𝑋)
153 eliooord 12838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
154153adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
155154simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
156144, 145, 147, 152, 155lttrd 10839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) < 𝑡)
15753adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
158140, 142readdcld 10708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
159158adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
160154simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
161 ftc1.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅)
16253, 140, 142absdifltd 14841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝐶 + 𝑅))))
163161, 162mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝐶 + 𝑅)))
164163simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
165164adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
166147, 157, 159, 160, 165lttrd 10839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝐶 + 𝑅))
167140adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℝ)
168142adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
169147, 167, 168absdifltd 14841 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑡𝑡 < (𝐶 + 𝑅))))
170156, 166, 169mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅)
171 fvoveq1 7173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(𝑡𝐶)))
172171breq1d 5042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅))
173172imbrov2fvoveq 7175 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)))
174 ftc1.fc . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
175174ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
176175adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
177173, 176, 23rspcdva 3543 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
178170, 177mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
179 difrp 12468 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+))
180121, 132, 179syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+))
181178, 180mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+)
182181adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+)
183131, 139, 182itggt0 24543 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡)
184132, 137, 121, 122itgsub 24525 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
185184adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
186 itgconst 24518 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
18737, 65, 134, 186syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
188187adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
18998oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌𝑋)))
19072recnd 10707 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
191134, 190mulcomd 10700 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
192191adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
193188, 189, 1923eqtrd 2797 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
194193oveq1d 7165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡) = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
195185, 194eqtrd 2793 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
196183, 195breqtrd 5058 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
197123, 127posdifd 11265 . . . . . 6 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)))
198197biimpar 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
199196, 198syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
200120, 124, 128, 130, 199lelttrd 10836 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
20171abscld 14844 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
202126adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
203 ltdivmul 11553 . . . 4 (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
204201, 202, 73, 76, 203syl112anc 1371 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
205200, 204mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸)
206118, 205eqbrtrd 5054 1 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  {csn 4522   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522  dom cdm 5524  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575   + caddc 10578   · cmul 10580  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908   / cdiv 11335  ℝ+crp 12430  (,)cioo 12779  [,]cicc 12782  abscabs 14641   ↾t crest 16752  TopOpenctopn 16753  ℂfldccnfld 20166   CnP ccnp 21925  vol*covol 24162  volcvol 24163  𝐿1cibl 24317  ∫citg 24318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cc 9895  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-symdif 4147  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-disj 4998  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-omul 8117  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-dju 9363  df-card 9401  df-acn 9404  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ioc 12784  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-cmp 22087  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-cncf 23579  df-ovol 24164  df-vol 24165  df-mbf 24319  df-itg1 24320  df-itg2 24321  df-ibl 24322  df-itg 24323  df-0p 24370 This theorem is referenced by:  ftc1lem5  24739
 Copyright terms: Public domain W3C validator