MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volf 24909
Description: The domain and codomain of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volf vol:dom vol⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem volf
StepHypRef Expression
1 ovolf 24862 . . . . . 6 vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
2 ffun 6676 . . . . . 6 (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) → Fun vol*)
3 funres 6548 . . . . . 6 (Fun vol* → Fun (vol* ↾ dom vol))
41, 2, 3mp2b 10 . . . . 5 Fun (vol* ↾ dom vol)
5 volres 24908 . . . . . 6 vol = (vol* ↾ dom vol)
65funeqi 6527 . . . . 5 (Fun vol ↔ Fun (vol* ↾ dom vol))
74, 6mpbir 230 . . . 4 Fun vol
8 resss 5967 . . . . . 6 (vol* ↾ dom vol) ⊆ vol*
95, 8eqsstri 3983 . . . . 5 vol ⊆ vol*
10 fssxp 6701 . . . . . 6 (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) → vol* ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞)))
111, 10ax-mp 5 . . . . 5 vol* ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))
129, 11sstri 3958 . . . 4 vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))
137, 12pm3.2i 472 . . 3 (Fun vol ∧ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞)))
14 funssxp 6702 . . 3 ((Fun vol ∧ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ))
1513, 14mpbi 229 . 2 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ)
1615simpli 485 1 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  wss 3915  𝒫 cpw 4565   × cxp 5636  dom cdm 5638  cres 5640  Fun wfun 6495  wf 6497  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  [,]cicc 13274  vol*covol 24842  volcvol 24843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-ovol 24844  df-vol 24845
This theorem is referenced by:  volsup  24936  volsup2  24985  volivth  24987  itg1climres  25095  itg2const2  25122  itg2gt0  25141  areambl  26324  voliune  32868  volfiniune  32869  volmeas  32870  volsupnfl  36152  areacirc  36200  arearect  41578  areaquad  41579  volioof  44302  volicoff  44310  voliooicof  44311  fourierdlem87  44508  voliunsge0lem  44787  volmea  44789  hoidmv1lelem1  44906  hoidmv1lelem2  44907  hoidmv1lelem3  44908  ovolval4lem1  44964  ovolval5lem1  44967
  Copyright terms: Public domain W3C validator