Theorem volf 25505

Description: The domain and codomain of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volf	⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem volf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolf 25458	. . . . . 6 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
2		ffun 6663	. . . . . 6 ⊢ (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) → Fun vol*)
3		funres 6532	. . . . . 6 ⊢ (Fun vol* → Fun (vol* ↾ dom vol))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Fun (vol* ↾ dom vol)
5		volres 25504	. . . . . 6 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
6	5	funeqi 6511	. . . . 5 ⊢ (Fun vol ↔ Fun (vol* ↾ dom vol))
7	4, 6	mpbir 231	. . . 4 ⊢ Fun vol
8		resss 5958	. . . . . 6 ⊢ (vol* ↾ dom vol) ⊆ vol*
9	5, 8	eqsstri 3969	. . . . 5 ⊢ vol ⊆ vol*
10		fssxp 6687	. . . . . 6 ⊢ (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) → vol* ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞)))
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ vol* ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))
12	9, 11	sstri 3932	. . . 4 ⊢ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))
13	7, 12	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (Fun vol ∧ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞)))
14		funssxp 6688	. . 3 ⊢ ((Fun vol ∧ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ))
15	13, 14	mpbi 230	. 2 ⊢ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ)
16	15	simpli 483	1 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   × cxp 5620  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  +∞cpnf 11165  [,]cicc 13290  vol*covol 25438  volcvol 25439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-ovol 25440  df-vol 25441

This theorem is referenced by:  volsup  25532  volsup2  25581  volivth  25583  itg1climres  25690  itg2const2  25717  itg2gt0  25736  areambl  26939  voliune  34394  volfiniune  34395  volmeas  34396  volsupnfl  37997  areacirc  38045  arearect  43658  areaquad  43659  volioof  46430  volicoff  46438  voliooicof  46439  fourierdlem87  46636  voliunsge0lem  46915  volmea  46917  hoidmv1lelem1  47034  hoidmv1lelem2  47035  hoidmv1lelem3  47036  ovolval4lem1  47092  ovolval5lem1  47095