Theorem volf 25450

Description: The domain and codomain of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volf	⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem volf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolf 25403	. . . . . 6 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
2		ffun 6650	. . . . . 6 ⊢ (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) → Fun vol*)
3		funres 6519	. . . . . 6 ⊢ (Fun vol* → Fun (vol* ↾ dom vol))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Fun (vol* ↾ dom vol)
5		volres 25449	. . . . . 6 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
6	5	funeqi 6498	. . . . 5 ⊢ (Fun vol ↔ Fun (vol* ↾ dom vol))
7	4, 6	mpbir 231	. . . 4 ⊢ Fun vol
8		resss 5947	. . . . . 6 ⊢ (vol* ↾ dom vol) ⊆ vol*
9	5, 8	eqsstri 3979	. . . . 5 ⊢ vol ⊆ vol*
10		fssxp 6674	. . . . . 6 ⊢ (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) → vol* ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞)))
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ vol* ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))
12	9, 11	sstri 3942	. . . 4 ⊢ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))
13	7, 12	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (Fun vol ∧ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞)))
14		funssxp 6675	. . 3 ⊢ ((Fun vol ∧ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ))
15	13, 14	mpbi 230	. 2 ⊢ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ)
16	15	simpli 483	1 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4548   × cxp 5612  dom cdm 5614   ↾ cres 5616  Fun wfun 6471  ⟶wf 6473  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998  +∞cpnf 11135  [,]cicc 13240  vol*covol 25383  volcvol 25384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-ovol 25385  df-vol 25386

This theorem is referenced by:  volsup  25477  volsup2  25526  volivth  25528  itg1climres  25635  itg2const2  25662  itg2gt0  25681  areambl  26888  voliune  34232  volfiniune  34233  volmeas  34234  volsupnfl  37684  areacirc  37732  arearect  43227  areaquad  43228  volioof  46004  volicoff  46012  voliooicof  46013  fourierdlem87  46210  voliunsge0lem  46489  volmea  46491  hoidmv1lelem1  46608  hoidmv1lelem2  46609  hoidmv1lelem3  46610  ovolval4lem1  46666  ovolval5lem1  46669